La forme la plus générale du principe fondamentale de la dynamique

[invite468a1524]

Bonjour,

Le principe fondamentale de la dynamique permet de définir la résultante des forces qui s'applique sur un système comme la variation de la quantité de mouvement au cours du temps .

On a la relation .

Il me semble que cette forme est considérée comme plus générale que .

Je joins un document PDF qui permet d'illustrer, à travers un exemple, l'utilisation de ces deux formes du principe fondamentale de la dynamique .

annecdote_PFD_savouret.pdf (A lire pour comprendre l’intérêt de ma question)


Pourquoi la forme est-elle considérée comme plus générale que pour étudier le mouvement d'un système dont la masse peut varier ?

Je me pose cette question dans le cadre du calcul de l'expression de l'énergie cinétique en mécanique relativiste. En effet lorsque l'on pose , le résultat obtenu en utilisant est différent de celui obtenu avec .


Merci beaucoup.

Cordialement,
-----

[GrisBleu]

Salut
dp = mdv + vdm
Donc la forme dp/dt permet de traiter des systemes a masse variable.
L'exemple que je trouve le plus parlant est celui de lapropulsion des fusees
Voir http://fr.wikipedia.org/wiki/Propuls..._r.C3.A9action
++

[invite468a1524]

Je connais bien ce dont tu parles et ce n'est pas parce que "dp = mdv + vdm" que la forme dp/dt est plus générale. Je peux aussi l'écrire dans l'autre sens "mdv = dp - vdm" et dire que dans certains cas on a "vdm" qui n'intervient pas.

[inviteafe88240]

Bonjour, je crois que c'est parce que pour construire les égalité de la mécanique relativiste tel que la fameuse E = gamma mc² on utilise la quadri impulsion dont la norme est E = mc² . Par ailleurs on passe aussi par la quantité de mouvement et l'Hamiltonien pour construire l'équation de Schrödinger.

En espérant ne pas vous avoir embrouillé.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Amanuensis]

Une question analogue est pourquoi on va dire que la variation de l'énergie est dE, plutôt que mv.dv. Parce que la notion d'énergie est générale, et que 1/2mv² en est un cas particulier limité au point matériel.

Pareil, la notion de quantité de mouvement est plus générale que mv. On peut par exemple parler de quantité de mouvement de la lumière (ou du champ électromagnétique), alors que sa masse est nulle.

Par ailleurs, il y a un schéma général, au-delà de F= dp/dt (qui ne concerne que les translations). Pour la rotation de solides rigides, on définit le couple comme dM/dt, M le moment cinétique, dont la relation avec le mouvement n'est pas une simple multiplication mais l'application du tenseur moment d'inertie au vecteur rotation.

Derrière cela se trouve un schéma général, la forme aboutie de la mécanique, qui est la mécanique analytique, à base de lagrangien ou de hamiltonien. La quantité de mouvement y apparaît naturellement comme la variable conjuguée des déplacements en translation, et peut être ainsi définie pour des systèmes bien plus complexes qu'un simple point matériel ou qu'un solide rigide.

On se retrouve avec une notion de "moment conjugué", ou "impulsion généralisée" (impulsion est un quasi synonyme de quantité de mouvement, beaucoup emploie les deux termes au même sens), qui généralise la notion de quantité de mouvement.

En résumé: F = m dv/dt est la forme spécifique au cas du point matériel ; F = dp/dt en est une autre écriture faisant un pas vers une mécanique plus aboutie, en introduisant la quantité de mouvement, une notion bien plus générale qu'une masse multipliée par une vitesse.

[invite468a1524]

Il me semble que la physique quantique et la relativité restreinte ne sont pas nécessaires à solutionner le problème dont je parle. Des élèves de classe préparatoire sont amenés à rencontrer ce problème sans connaître ni la physique relativiste, ni la physique quantique.

Je constate qu'en appliquant le principe fondamentale de la dynamique sous sa forme je prend en compte des effets particuliers qui n'interviennent pas nécessairement dans mes problèmes. Si la masse du système étudié varie au cours du temps alors en utilisant on suppose que la variation masse est initialement avec une vitesse nulle dans le référentiel d'étude. Il y a donc un effet d'entrainement qui est une situation particulière.

Avec la forme , je n'ai pas ces problèmes et je trouve toujours la bonne solution. Cela me dérange dans le sens que cette dernière forme est considérée comme un cas particulier.

Dans des cas comme celui que je présente dans le document joint, je suis obligé d'utiliser la forme pour trouver le résultat. Le résultat que je trouve avec la forme est faux. Il m'apparait que le système et le référentiel d'étude doivent vérifier un plus grand nombre d'hypothèses pour pouvoir appliquer la forme .

[GrisBleu]

Je connais bien ce dont tu parles et ce n'est pas parce que "dp = mdv + vdm" que la forme dp/dt est plus générale. Je peux aussi l'écrire dans l'autre sens "mdv = dp - vdm" et dire que dans certains cas on a "vdm" qui n'intervient pas.

Salut
Pas sur de comprendre ta remarque. ecrire F=dp/dt permet de traiter tous les cas (variation de masse par exemple). Si tu veux ecrire F-vdm/dt=mdv/dt, pas de probleme, mais je trouve ca moins "general". Sinon, la reponde d'Amanuensis est assez claire
A bientot

[invite468a1524]

Je pense qu'un exemple me permettrais de mieux comprendre.

Comment feriez-vous pour résoudre le problème que j'explique dans le document joint ?

Quant on y pense on peut même simplifier la situation en oubliant le train N°2. Le train N°1 se vide directement dans l'environnement avec une débit massique constant et perpendiculaire au mouvement.

[Amanuensis]

Dans le document joint, les calculs sont erronés.

On a dp = Fdt + vdm, avec dm=Ddt. Fdt est ce qui est amené par la force, et vdm représente la quantité de mouvement apportée par le liquide transféré ( v représente la vitesse du liquide), quantité de mouvement calculée, comme il se doit, selon le référentiel d'étude.

Comme par ailleurs dp = mdv + vdm (où la dm représente la variation de masse et v la vitesse du train), on a ma+vdm = Fdt + vdm, d'où ma = Fdt.

L'erreur est de n'avoir pas pris en compte la quantité de mouvement apportée par le liquide transféré.

(Et écrire directement ma = Fdt est juste une erreur conceptuelle; le résultat est correct "par hasard", c'est une particularité du cas choisi.)

[Amanuensis]

PS: Par ailleurs, le résultat en F-Dv est physiquement absurde, puisqu'il serait possible, avec un débit suffisant, d'obtenir une accélération négative, un ralentissement du train.

[invite468a1524]

Bonjour,

Si je te comprends, le forme n'est pas suffisante lorsqu'on traite un problème où la masse du système varie.

On a de façon générale où est la vitesse initiale de la masse ajoutée au système OU la vitesse finale s'il s'agit d'une perte de masse.

Cette méthode fonctionne mais elle n'est pas conceptuellement celle que je soutiens.


Ma méthode consiste à supposer que est la forme la plus générale du principe d'inertie.

est la force résultante qui s'applique sur le système.

est la masse du système.

est la vitesse du système, supposée indéformable, dans le référentiel d'étude.

Lorsque la masse du système varie je conserve la forme

C'est lorsque je fais le bilan des forces que je considère l'effet lié à l’entrainement de la masse ajoutée ou perdue par le système.
Cet effet supplémentaire se manifeste par une force où :

est la vitesse initiale (resp. finale) de la masse ajoutée (resp. perdue).

est la vitesse du système dans le référentiel d'étude.

est le débit massique (>0 si la masse du système augmente).


Mes résultats ne sont pas erronés mais mal compris au vu de ta dernière remarque.

Par ailleurs, le résultat en F-Dv est physiquement absurde, puisqu'il serait possible, avec un débit suffisant, d'obtenir une accélération négative, un ralentissement du train.

Ce n'est pas absurde. Si le débit massique qu'on ajoute au train N°1 est trop grand alors la force F est insuffisante pour que le train accélère dans le sens de son mouvement. Il est freiné par l'ajout du liquide qui a une vitesse initiale nulle dans le référentiel d'étude (le résultat dont tu parles suppose que le liquide est ajouté avec une vitesse nulle dans le référentiel d'étude).

J'aimerais avoir l'avis de LPFR.

[Amanuensis]

Si je te comprends, le forme n'est pas suffisante lorsqu'on traite un problème où la masse du système varie.

Mal compris. C'est le contraire. La démo que je donne montre au contraire que c'est la forme dp/dt qui permet de tout prendre en compte correctement.

Cette méthode fonctionne mais elle n'est pas conceptuellement celle que je soutiens.

Faites ce que vous voulez.

Ce n'est pas absurde.

Comme vous voulez. Soit vous le voyez, soit vous ne le voyez pas, j'ai donné l'information.

J'aimerais avoir l'avis de LPFR.

Vous êtes insultant.

[invite468a1524]

Bonjour,

Ce n'est contre vous que je souhaite d'autres avis. Comprenez que je puisse être en désaccord avec certains de vos commentaires.

Vous avez pris le temps de regarder mon problème et je vous en remercie. La méthode que vous m'avez écrite est celle que j'ai appris et que j'appliquais en classe préparatoire.

Soit vous le voyez, soit vous ne le voyez pas

le résultat en F-Dv est physiquement absurde

Vous pensez sans doute que vous avez raison et je n'en doute pas. Il y a un malentendu. Peut-être n'avez-vous pas compris que le débit massique D n'est pas à l'origine de la force F. Difficile de voir dans vos pensées.

Cordialement,

[albanxiii]

Bonjour,

J'aimerais avoir l'avis de LPFR.

Je ne répond bien évidemment pas pour LPFR, mais j'ai vu et lu les messages de cette discussion et je n'y ai pas répondu car Amanuensis a déjà donné une réponse claire et complète au message #5.
A quoi bon répéter la même chose ?

Si les réponses ne sont pas claires pour vous, prenez gougueule et cherchez des exercices de "mécanique des systèmes ouverts", vous pouvez même spécifier "exercices corrigés" et "fusée". Mettre les mains dans le cambouis vous aidera certainement à mieux comprendre.

@+

[invite468a1524]

La réponse de Amanuensis donnée au message #5 est claire. C'est ce que l'on m'a enseigné. Les exercices sur la question des systèmes ouverts ne me posent généralement pas de problèmes, j'ai souvent plusieurs méthodes pour les résoudre. Si c'était juste une question de méthode, ce ne serait pas gênant. Répéter la même chose ne changera rien, essayer de comprendre d'avantage les remarques qui ont été faites m'aidera.

[Amanuensis]

Ce n'est contre vous

Ce n'est pas une question de contre ou pour. C'est une question de lire ce qui est écrit, sans s'occuper de la source. J'indique une démo que j'estime complète et correcte, si vous ne la comprenez pas, posez des questions, si vous y voyez une erreur, indiquez-là. La science n'est pas une question de vote majoritaire ni d'autorité.

Comprenez que je puisse être en désaccord avec certains de vos commentaires.

Eh bien, indiquez vos points de désaccord, texte à l'appui, et qu'il en soit discuté (pas nécessairement par moi, ce n'est pas le point).

Peut-être n'avez-vous pas compris que le débit massique D n'est pas à l'origine de la force F.

Si vous pensez cela vous n'avez pas compris le texte de la manière attendue. Peut-être le texte est ambigu, ou autre hypothèse.

Difficile de voir dans vos pensées.

On se fout de mes pensées, il y a un texte, c'est du texte qu'il s'agit. Il peut ne pas être clair, ou être incorrect, etc. mais c'est le texte qu'on discute.

[invite468a1524]

Bonjour,

Je vais peut-être me répéter mais je souhaites savoir si j'ai bien compris votre démonstration.

Lorsqu'on étudie une système dont la masse varie, on a de façon générale où est la vitesse initiale de la masse ajoutée au système OU la vitesse finale s'il s'agit d'une perte de masse.

Le terme correspond à la force d'entrainement qu'exerce la masse ajoutée (resp. perdue) sur le système.

Dans le cas où , étant la vitesse du système dans le référentiel d'étude, alors on a la forme particulière où est la masse du système.

Dans le cas où alors on a la forme particulière où est la quantité de mouvement du système.

C'est exact ?

[Amanuensis]

EDIT : Croisement, message précédent non lu avant l'envoi de celui-ci

Tentative de réponse développée

Ce que dit le "principe fondamentale de la dynamique" est que si une force F est exercé sur un point matériel de masse invariable, F = ma.

Cela peut s'écrire aussi F = dp/dt, et aussi en différentielle dp = Fdt. Sous cette dernière forme, il faut comprendre que l'effet d'une force sur une masse m est de faire varier la quantité de mouvement de Fdt quand la force est exercée pendant dt.

Quand la masse est variable, il faut distinguer deux effets, l'un sur l'évolution de p, l'autre sur la relation entre la variation de p et la variation de la vitesse.

Le premier effet, sur la variation de p, est l'apparition d'un terme indiquant l'apport de quantité de mouvement lié à la masse ajoutée ou enlevée. On se retrouve avec dp = Fdt + dp'. Dans l'exemple pris d'un débit massique, on a dp' = v'dm, où v' est la vitesse de la masse apportée, et on a dp = Fdt + v'dm = Fdt + v'Ddt.

Le second effet est qu'il faut prendre la relation entre vitesse et quantité de mouvement valable quand la masse est variable, soit dp = mdv + vdm, où v est la vitesse de l'objet étudié.

La combinaison des deux permet d'éliminer la quantité de mouvement, et d'obtenir une relation donnant l'accélération. dp = mdv+vdm = Fdt+v'dm, d'où mdv = Fdt + (v'-v)dm, qu'on peut réécrire ma = F + (v'-v)dm/dt.

Cette description est la base physique du problème, et ne devrait pas être sujette à controverse.
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Maintenant, la question semble être s'il est judicieux d'écrire F'= (v'-v)dm/dt, de manière à "retrouver" une écriture classique, ma = F+F'?

On peut déjà remarquer qu'il y a un autre choix, écrire F"=v'dm/dt, pour retrouver dp/dt = F + F". Les deux possibilités montrent que le jeu d'écriture laisse ouvertes les deux possibilités. Un "avantage" de F' est que, contrairement à F", elle ne dépend pas du référentiel inertiel choisi pour décrire ce qu'il se passe, à l'instar de F.

Mais la question conceptuelle de fond est l'usage du mot "force" pour un transfert de quantité de mouvement lié à un transfert de matière. Le raisonnement donné au début se passe d'une telle notion, et décrit directement ce qu'il se passe pour la quantité de mouvement, et se base sur la forme générale, F=dp/dt considérée comme se limitant à une force sans transfert de matière. Le raisonnement est suffisant, et n'est pas amélioré en appelant "force" la quantité (v'-v)dm/dt.

À l'opposé, on peut remarquer que la notion de poussée quand on parle de "propulsion par réaction" et dans le cas où la masse expulsée vient du mobile (fusée), correspond bien bien à F=(v'-v)dm/dt (en faisant attention au signe...). Une variante de la question est si on peut appeler "force" la poussée et s'il est judicieux d'écrire ma = F, avec F la poussée.

Si on prend l'article http://fr.wikipedia.org/wiki/Propuls..._r%C3%A9action. L'explication donnée part du principe de l'action et la réaction, et donne la poussée comme F = dp/dt=-dp'/dt, avec p' la quantité de mouvement de la matière éjectée. Il faut avouer que sous cette forme la présentation n'est pas très claire, le référentiel n'est pas précisé et la relation avec l'accélération n'est pas donnée.

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Sur ces bases, je ne sais pas trop s'il y a une réponse claire à la question. Pour moi, ce qui est fondamental est F= dp/dt, compris pour une masse ne variant pas, ce qui est alors essentiellement équivalent à F=ma.

S'il faut conseiller quelque chose (mais ce n'est qu'une opinion), ma préférence va à en priorité mémoriser le raisonnement en terme de quantité de mouvement, comme présenté au début, ou à défaut mémoriser ma = F + (v'-v)dm/dt, en mettant l'accent sur l'idée que (v'-v) est la vitesse relative, ce qui évite les pièges du changement de référentiel.

Application au problème décrit: dire que ma = F + (v'-v)D et seulement ensuite remarquer que v'=v, et que dans ce cas particulier, cela se simplifie en ma = F.

[invite468a1524]

Bonjour,

Je suis plutôt d'accord avec votre commentaire, l'analyse est pertinente. Tant qu'on comprend ce que l'on fait, la signification des différents termes, qu'importe la méthode.

J'ai tout de même une remarque dont je souhaiterais avoir votre avis. Dans mon précédent commentaire, basé sur votre démonstration, je fais remarquer que la forme est aussi valable lorsque la masse du système varie au cours du temps *.

Pour moi, ce qui est fondamental est F= dp/dt, compris pour une masse ne variant pas, ce qui est alors essentiellement équivalent à F=ma.

L'invariance de la masse du système n'est pas une condition obligatoire pour utiliser . *Par contre, l'utilisation de cette forme dans un cas où la masse du système varierait impliquerait que la masse ajoutée (resp. perdue) au système soit initialement (resp. finalement) à la vitesse du système.

Cela revient à vous demander si vous êtes d'accord avec le commentaire de ce matin, pour moi il récapitule les différentes hypothèses associées aux différentes formes du principe fondamentale de la dynamique.

Cordialement,

[Amanuensis]

Lorsqu'on étudie une système dont la masse varie, on a de façon générale

Plutôt , non?

Plus clair en l'écrivant dans le sens "causal":



(C'est d'ailleurs un point intéressant sur la présentation du "PFD". F = ma se lit comme une définition de F; alors que dp/dt=F ou a =F/m se lisent comme des relations causales. Et d'une certaine manière, la deuxième loi de Newton, F=ma, est bien une définition...)

C'est exact ?

Formellement, oui. Ensuite, comme je l'indiquais dans mon message, la question est sur les avantages pédagogiques et conceptuels de le présenter ainsi.

[invite468a1524]

Bonjour,

C'est effectivement . On retrouve bien les formes particulière et en fonction de l'hypothèse faite sur .

Que donnerait la relation dans le cadre relativiste ?

Nous avons . La question porte sur le terme .

Aura t'on ?

[Amanuensis]

Je ne sais pas. Mais si je regardais, ce serait avec des 4-vecteurs...

[invite468a1524]

Par rapport à ce qu'on vient de voir :

Peut-on considérer un particule relativiste en accélération comme un système dont la masse (plus rigoureusement la qte de mouvement) varie aux cours du temps ?

Voir "Relativistic kinetic energy of rigid bodies" : http://en.wikipedia.org/wiki/Kinetic_energy

Dans le document, il utilise comme définition de l'énergie cinétique.

Pourquoi aurait on dans ce cas ?

N'est-il pas plus pertinent d'avoir ?

[Amanuensis]

[Je ne retrouve pas la réponse que j'avais faite hier, tentative de restauration de mémoire.]

Par rapport à ce qu'on vient de voir :

Peut-on considérer un particule relativiste en accélération comme un système dont la masse (plus rigoureusement la qte de mouvement) varie aux cours du temps ?

La masse non. La quantité de mouvement, bien sûr, mais ce n'est pas différent de la modélisation en classique.

Dans le document, il utilise comme définition de l'énergie cinétique.

Pourquoi aurait on dans ce cas ?

N'est-il pas plus pertinent d'avoir ?

La force 3D n'apporte pas grand chose en RR, et il est plus usuel de parler directement de dp/dt. La 3-force ne simplifie pas les formules, en particulier parce qu'elle n'est pas nécessairement colinéaire à l'accélération.

En classique l'accent est mis sur la force, et la quantité de mouvement la plupart du temps ignorée (elle n'a même pas d'unité nommée!).

En RR ou RG (et en quantique), c'est le contraire. Et travailler avec les deux n'apporte pas grand chose.

Notons qu'il y a une 4-force (qui permet des formules intéressantes), mais sa composante spatiale n'est pas la 3-force. (Cf. http://en.wikipedia.org/wiki/Force#Special_relativity, et http://en.wikipedia.org/wiki/Four-force)