Mesure de Sx²

[coussin]

Je trouve [Sx2,Sy2]=i(SxSzSy+SxSySz+SzSySx+SySzSx ) en appliquant les règles de commutateurs de produits d'opérateurs (j'espère sans me tromper )
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[invite8915d466]

Effectivement

J'aimerais que l'on me montre que :

[Sx2, Sy2] = 0

Si quelqu'un me fait la démonstration je n'hésiterais pas une demi-seconde à présenter mes excuses, d'une manière répétée pendant une semaine.

Pour résoudre ce problème il y a 2 façons:

1- a la mathématicienne:

Il suffit d'écrire les matrices de ces opérateurs dans une même base. Ensuite effectuée les multiplications des matrices pour calculer le commutateur.

c'est exactement ce que j'ai fait plus haut, écrire les matrices dans une même base, qui est juste astucieusement choisie : celle constituée par les trois vecteurs lSx = 0 >, |Sy = 0> , |Sz = 0> . Ce n'est pas la base habituellement choisie pour exprimer les opérateurs de spin (on choisit par exemple plutot |Sz= +1>, |Sz=0> , |Sz = -1>, ) mais en l'occurrence pour ce problème , elle est bien mieux adaptée ! (justement parce que les matrices sont diagonales dans cette base !) . Es tu d'accord oui ou non que les trois opérateurs Sx^2, Sy^2, Sz^2 , exprimés dans cette MEME base ont pour matrice respective des matrices DIAGONALES ayant sur leur diagonale respectivement (0,1,1) , (1,0,1) et (1,1,0) oui ou non ? si non donne moi les matrices alors. Si oui la propriété de commutation est triviale et se fait en bien moins de 40 lignes.

2- A la physicienne.

Démonstration:


1 Quand sur un vecteur quelconque de l'espace de Hilbert on applique l'opérateur Sx le vecteur résultant est vecteur propre de Sx noté |mx>.

proposition totalement fausse qui ridiculise les physiciens : depuis quand un opérateur transforme-t-il un vecteur non propre en vecteur propre ?

Question: Est ce que Sx2 et Sy2 peuvent avoir des vecteurs propres communs renvoie a la question: Est-ce que Sx et Sy peuvent avoir des vecteurs propres communs?

la question n'est absolument pas équivalentes, comme ce qui vient d'être démontré mathématiquement ci-dessus le prouve : on peut très bien avoir des vecteurs propres de Sx^2 qui ne sont pas vecteurs propres de Sx (par exemple le vecteur |Sy = 0 > )

[invite7ce6aa19]

semble montrer que tu penses que l'action d'un opérateur associé à une grandeur physique A sur un vecteur d'état est de le projeter sur un des vecteurs propres. C'est évidemment totalement faux et très surprenant si tu as enseigné la Meca Q ! Tu confonds l'action d'un opérateur avec celle d'un projecteur sur un vecteur propre Pa qui est totalement différent. L'action d'un projecteur Pa est invoqué lors d'une mesure (avec le problème qu'on ne connait pas d'avance le résultat et donc quel projecteur utiliser, ce qui est précisément le point central du problème de la mesure puisqu'il n'existe pas d'opérateur connu à l'avance , et donc pas d'évolution unitaire , avant d'avoir pris connaissance du résultat ! mais c'est un autre problème). L'action de l'opérateur A (Sx, ou Sy, ou Sx^2 , etc...) n'a rien à voir avec celle du projecteur.

Bonjour,

Non je ne confonds pas. J'ai employé le mot mesure car Amanuensis se place dans un contexte de mesure. Tu peux relire ce que j'ai écris en ignorant le mot mesure et en ne considérant que l'algébre de Lie du groupe SU(2). A savoir:

[S2,Sz] = 0

[Sx,Sy]= i.Sz = permutations circulaires.

Pour en revenir à la question, Amanuensis et ex-Misspacman ont bien sûr 100 % raison : ce n'est pas parce que Sx et Sy ne commutent pas que Sx^2 et Sy^2 ne commutent pas !!! Il est facile de démontrer que Sx^2 , Sy^2, Sz^2 commutent effectivement et de déterminer une base d'états propres communs pour un spin 1 : c'est simplement la base des 3 vecteurs (Sx = 0), (Sy=0) , (Sz= 0) : Par exemple pour Sx = 0 il est évident qu'on a alors Sy^2 = Sz^2 = 1 et que c'est donc aussi un vecteur propre de Sy^2 et Sz^2 avec la valeur propre 1. De même pour les autres. La matrice de Sx^2 dans cette base est donc Diag(0,1,1), celle de Sy^2 est Diag (1,0,1), et celle de Sz^2 est = Diag (1,1,0): la commutation de ces trois matrices est évidente.

Tout çà c'est incompréhensible pour moi

Sx, Sy, Sz sont des opérateurs et donc tu n'as pas le droit d'écrire Sx = 0

Il y a au moins sur ce point unanimité de langage. Pourrais-tu l'utiliser ce serait plus facile pour discuter:

Il y a les Opérateurs noté Sx etc.. les vecteurs quelconques notés | > , les vecteurs propres notés |mx> et les valeurs propres notés mx

La question d'Amanuensis sur la possibilité pratique de mesurer simultanément Sx^2, Sy^2, Sz^2 sans avoir à mesurer la projection Sx , Sy, Sz est très intéressante mais n'a pas reçue de réponse correcte sur ce fil.

Tiens revoilà, la mesure!!

Pour moi cette problématique est incompréhensible, mais vraiment incompréhensible!!

J'attends d'autre intervention car là je bloque

[invite8915d466]

Je trouve [Sx2,Sy2]=i(SxSzSy+SxSySz+SzSySx+SySzSx ) en appliquant les règles de commutateurs de produits d'opérateurs (j'espère sans me tromper )

tu peux poursuivre le calcul en utilisant l'anticommutativité des matrices de Pauli : SiSj + SjSi = 0

[Sx2, Sy2] = i (Sx (SzSy+SySz) + (SzSy+SySz)Sx ) = i (Sx.0 +0.Sx) = 0 , autre démonstration qui tient bien moins que 40 lignes effectivement .

[invite8915d466]

Bonjour,

Non je ne confonds pas. J'ai employé le mot mesure car Amanuensis se place dans un contexte de mesure. Tu peux relire ce que j'ai écris en ignorant le mot mesure et en ne considérant que l'algébre de Lie du groupe SU(2). A savoir:

[S2,Sz] = 0

[Sx,Sy]= i.Sz = permutations circulaires.

merci, je sais.

Tout çà c'est incompréhensible pour moi

Sx, Sy, Sz sont des opérateurs et donc tu n'as pas le droit d'écrire Sx = 0

je parle de l'état propre de valeur propre Msx = 0, si tu préfères = |Msx=0> Il est unique , à un coefficient de normalisation près (vp non dégénérée). De même il existe un unique vecteur Msy = 0, et un unique Msz = 0, qui sont mutuellement orthogonaux. Ce sont ces états propres que je considère (pour le moment orbital d'un état L= 1, cette base n'est rien d'autre que la base des orbitales Px, Py et Pz des chimistes, ce qui devrait t'etre bien plus familier !! : une orbitale "Pu" selon la direction du vecteur unitaire u est simplement le vecteur propre |Msu = 0> ).

[Amanuensis]

[Sx2, Sy2] = i (Sx (SzSy+SySz) + (SzSy+SySz)Sx ) = i (Sx.0 +0.Sx) = 0 , autre démonstration qui tient bien moins que 40 lignes effectivement .

J'étais en train de rédiger le calcul bourrin avec les matrices de Pauli, mais c'est bien plus rapide comme ça!!!

[invite7ce6aa19]

c'est exactement ce que j'ai fait plus haut, écrire les matrices dans une même base, qui est juste astucieusement choisie : celle constituée par les trois vecteurs lSx = 0 >, |Sy = 0> , |Sz = 0> . Ce n'est pas la base habituellement choisie pour exprimer les opérateurs de spin (on choisit par exemple plutot |Sz= +1>, |Sz=0> , |Sz = -1>, ) mais en l'occurrence pour ce problème , elle est bien mieux adaptée ! (justement parce que les matrices sont diagonales dans cette base !) . Es tu d'accord oui ou non que les trois opérateurs Sx^2, Sy^2, Sz^2 , exprimés dans cette MEME base ont pour matrice respective des matrices DIAGONALES ayant sur leur diagonale respectivement (0,1,1) , (1,0,1) et (1,1,0) oui ou non ? si non donne moi les matrices alors. Si oui la propriété de commutation est triviale et se fait en bien moins de 40 lignes.

OK, On prend usuellement la base standard de vecteurs propres de Sz. Tu choisis une autre base, pourquoi pas, qui selon tes notations correspondent aux vecteurs propres des 3 opérateurs Sx, Sy, Sz pour les quelles la valeur propre est nulle.

Dans ce cas, si j'ai bien compris:

1- Il faut exprimer les opérateurs Sx et Sy dans la base standard,

2- Chercher les vecteurs propres de ces opérateurs dans cette base standard

3- Récupérer les 2 vecteurs propres de valeurs propres nulles ce qui définit une nouvelle base.

4- Ecrire les matrices de Sx et de Sy dans cette nouvelle base.

5-Elever au carré et constater que les matrices sont diagonales.


Voilà comment je comprends ce que tu as écris. Es-tu d'accord sur ma compréhension et éventuellement as-tu une méthode plus rapide?

[invite7ce6aa19]

tu peux poursuivre le calcul en utilisant l'anticommutativité des matrices de Pauli : SiSj + SjSi = 0

[Sx2, Sy2] = i (Sx (SzSy+SySz) + (SzSy+SySz)Sx ) = i (Sx.0 +0.Sx) = 0 , autre démonstration qui tient bien moins que 40 lignes effectivement .

Bonjour,

je m'incline car c'est parfait.

Quand j'ai dit 40 lignes pour la raison suivante:

Pour faire le calcul j'aurais utilisé Les relations en Sx, Sy et les opérateurs S+ et S- (montée et descente) dont les éléments de matrices sont connus dans la base standard

A vue de nez çà prend évidemment un certain nombre de lignes.

Du coup j'ai un doute: Est-ce que l'anticommutation des matrices de Pauli est contenue dans l'algébre de Lie de SU(2)?

[invite69d38f86]

Le silence des modérateurs est assourdissant.
Il est loin le temps où un Rincevent osait prendre position.
Modérateurs soyez dignes de vos responsabilités.
.

[invite93279690]

Le silence des modérateurs est assourdissant.
Il est loin le temps où un Rincevent osait prendre position.
Modérateurs soyez dignes de vos responsabilités.
.

Salut,

Le role des modérateurs n'est pas de décider qui a raison mais de modérer le forum afin que les échanges restent courtois et scientifiques.

En tout cas, bravo et merci à Gillesh38 pour avoir mis tout le monde d'accord .

[Amanuensis]

Personnellement j'interprète le rôle des modérateurs en tant que modérateurs limité à faire respecter la charte, et c'est essentiellement sur la forme quand une discussion est dans le domaine d'application du forum (et ici il n'y a pas de doute sur ce point).

Où est-il écrit qu'ils auraient un rôle ou une compétence particulière sur le fond?

[Médiat]

Bonjour,

Etre modérateur ne signifie pas être une référence dans tous les domaines scientifiques ; à titre personnel, je suis modérateur en mathématiques, cela ne veut en aucun cas que je peux prendre position pour l'une ou l'autre thèse quand deux idées s'affrontent en mathématiques, il y a des tas de domaines où je n'ai pas les connaissances qui me le permettraient, et même quand il s'agit de mon domaine (logique mathématique et théorie des ensembles), quand j'interviens, c'est en tant que membre de FSG (écriture en noir), et non comme modérateur (écriture en vert).

Donc, cela n'a rien à voir avec la dignité, ou avec nos responsabilités !

[EDIT] Grillé par gatsu et Amanuensis

[invite7ce6aa19]

Le silence des modérateurs est assourdissant.
Il est loin le temps où un Rincevent osait prendre position.
Modérateurs soyez dignes de vos responsabilités.
.

Je suis d'accord avec Gatsu.

Les modérateurs interviennent à titre personnel ou en tant que modérateur en écrivant en vert.


Edit: 3 réponses identiques en 2 mn. On est tous d'accord.

[invite8915d466]

Dans ce cas, si j'ai bien compris:

1- Il faut exprimer les opérateurs Sx et Sy dans la base standard,

2- Chercher les vecteurs propres de ces opérateurs dans cette base standard

3- Récupérer les 2 vecteurs propres de valeurs propres nulles ce qui définit une nouvelle base.

4- Ecrire les matrices de Sx et de Sy dans cette nouvelle base.

5-Elever au carré et constater que les matrices sont diagonales.


Voilà comment je comprends ce que tu as écris. Es-tu d'accord sur ma compréhension et éventuellement as-tu une méthode plus rapide?

tout à fait, tu peux faire comme ça si tu désires être convaincu par la méthode "pédestre". Maintenant dans le cas d'un spin 1, tu peux le démontrer pratiquement sans calcul : tu vérifies que le vecteur propre |Sy= 0 > est orthogonal au vecteur propre |Sz = 0 >, et donc, il appartient au sous-espace orthogonal engendré par |Sz = +1> et |Sz = -1>. Ces deux vecteurs sont eux même vecteurs propres de Sz^2 avec la valeur propre +1 (trivial)( la vp est dégénérée, l'espace propre correspondant est un plan vectoriel de dim 2) . Et donc |Sy = 0 > est aussi vecteur propre de Sz^2 avec la même valeur propre +1 . Ca se généralise bien sûr à toutes les orientations orthogonales possibles.

[invite69d38f86]

L'argument de Gilesh38 est impeccable.
C'est don Misspacman qui avait raison.

[invite7ce6aa19]

tout à fait, tu peux faire comme ça si tu désires être convaincu par la méthode "pédestre". Maintenant dans le cas d'un spin 1, tu peux le démontrer pratiquement sans calcul : tu vérifies que le vecteur propre |Sy= 0 > est orthogonal au vecteur propre |Sz = 0 >, et donc, il appartient au sous-espace orthogonal engendré par |Sz = +1> et |Sz = -1>. Ces deux vecteurs sont eux même vecteurs propres de Sz^2 avec la valeur propre +1 (trivial)( la vp est dégénérée, l'espace propre correspondant est un plan vectoriel de dim 2) . Et donc |Sy = 0 > est aussi vecteur propre de Sz^2 avec la même valeur propre +1 . Ca se généralise bien sûr à toutes les orientations orthogonales possibles.

Oui OK pour ta démonstration, pour son caractère non pédestre, sauf pour le début: "tu vérifies que le vecteur propre |Sy= 0 > est orthogonal au vecteur propre |Sz = 0 >".

Dans ce cas il faut bien utiliser la démarche "pedestre". D'accord ou pas?

[invite7ce6aa19]

tout à fait, tu peux faire comme ça si tu désires être convaincu par la méthode "pédestre". Maintenant dans le cas d'un spin 1, tu peux le démontrer pratiquement sans calcul : tu vérifies que le vecteur propre |Sy= 0 > est orthogonal au vecteur propre |Sz = 0 >, et donc, il appartient au sous-espace orthogonal engendré par |Sz = +1> et |Sz = -1>. Ces deux vecteurs sont eux même vecteurs propres de Sz^2 avec la valeur propre +1 (trivial)( la vp est dégénérée, l'espace propre correspondant est un plan vectoriel de dim 2) . Et donc |Sy = 0 > est aussi vecteur propre de Sz^2 avec la même valeur propre +1 . Ca se généralise bien sûr à toutes les orientations orthogonales possibles.

D'accord pour ta démonstration non pédestre sauf pour: "tu vérifies que le vecteur propre |Sy= 0 > est orthogonal au vecteur propre |Sz = 0 >".

Dans ce cas il faut bien utiliser la méthode "pedestre" car je ne vois pas en un coup d'oeil que celui-ci soit orthogonal à |Sz=0>. As-tu éventuellement une solution élégante pour cette question?

[invite86150b1a]

Je ne comprends pas, ne peut-on pas juste dire que les matrices de Pauli vérifient et qu'il est donc évident que que et commutent l'une avec l'autre, sans avoir à les diagonaliser ?

[Amanuensis]

Je ne comprends pas, ne peut-on pas juste dire que les matrices de Pauli vérifient et qu'il est donc évident que que et commutent l'une avec l'autre, sans avoir à les diagonaliser ?

J'imagine que vous vouliez écrire "que et commutent l'une avec l'autre".

Oui, c'est évident, et depuis le début. Par ailleurs, force est de constaté qu'il a fallu plus de 45 messages...

Ceci dit, le raisonnement sur les matrices de Pauli est limité au spin 1/2. Pour le spin 1 et au-dessus, les carrés ne sont pas des matrices multiples de l'identité.

[invite69d38f86]

Cette histoire de commutateur de Sx2 et de Sy2 est un piège pour débutant dans lequel je ne suis pas le seul à être tombé.
La prudence de la ligne éditoriale a été payante.

[Amanuensis]

J'ai vu surtout des imprudences (et impudences) caractérisées.

Si on peut parler de prudence, c'est de la part de ceux qui ne sont pas intervenus du tout. La "ligne éditoriale" étant l'apanage de la modération, on peut effectivement parler de prudence.

[invite86150b1a]

Oui, j'avais oublié les carrés. Merci.

[coussin]

Pas la peine d'en rajouter... Si on se fait charrier comme ça dès qu'on commet une erreur, ça n'incite pas à participer.
Si c'était "évident, depuis le début", pourquoi ouvrir ce fil ?

[Amanuensis]

Relisez le message #1: la question ne porte pas sur la commutation des carré des composantes de spin, c'était un point acquis pour moi. La question porte sur l'existence de dispositifs de mesure.

Quand à respecter les sentiments... Je n'ai toujours pas digéré les premières réponses. Et pas à cause des erreurs. Si c'est pour se faire prendre de haut quand on pose des questions sensées, cela n'incite pas à poser des questions.

[invite7ce6aa19]

Cette histoire de commutateur de Sx2 et de Sy2 est un piège pour débutant dans lequel je ne suis pas le seul à être tombé.
La prudence de la ligne éditoriale a été payante.

Bonsoir,

Si c'était évident, pourquoi n'étais-tu intervenu? Non ce n'était pas évident. C'est justement parce que j'ai cru que c' était évident que j'ai cru réglé le problème sans calcul.

En fait je me suis emmêlé les crayons en me polarisant sur la non commutation de Sx et Sy et tout de suite de proclamer que Sx2 et Sy2 ne commutait pas comme allant de soi. Ou est mon erreur? Il m'avait échappé que les valeurs propres au carré engendraient un sous-espace dégénéré.

Si par contre on m'avait posé la question démontrer [Sx2,Sy2]= 0. Même si je pensais à priori que ce n'était pas nul j'aurais été bien obligé de constater qu il était nul (voir la méthologie standard que j'ai écrite en détail au poste 37).

je te ferais remarqué que lorsque l'on me montre que je fais une erreur, je le reconnais. C'est une exigence éthique de la démarche scientifique.

[invite69d38f86]

j'ai dit que j'étais tombé dans le piège. d'ailleurs j'avais demandé à Amanuensis où il avait trouvé celà. J'ai douté de la véracité.
En revanche je n'avais pas été persuadé par ton explication avec les projecteurs. dans ce cas les seules valeurs propres des projecteurs etant uniquement 0 et 1. J'avais vu que tu te plantais.
Je regrette que cet épisode aie causé le départ de Misspacman dont j' appréciais énormement les explications tant en math qu'en physique.
Je respecte ton parcours qui t'a mené d'ouvrier à prof dans le supérieur. Mais je déplore que tu rappelles inlassablement
que tu fais partie du gratin.
Je te dis çà en tant que fils de mineur.