Mesure de Sx²

[Amanuensis]

Bonjour,

En relisant des textes sur les théorème de Kochen-Specker, il m'est venu la question suivante dont je n'arrive pas à trouver la réponse.

On y parle de l'observable (S_x)², le carré de la projection du spin sur un axe, quel dispositif de mesure permet-il de la réaliser en pratique? (Par exemple pour une particule de masse non nul et de nombre de spin 1, ou pour un photon, ...)

Et il est indiqué que (S_x)², (S_y)² et (S_z)² commutent pour des axes orthogonaux. Quel dispositif de mesure (si ce n'est pas la combinaison de trois comme ci-dessus) permet de mesurer les trois simultanément?

Merci d'avance,
-----

[invite54165721]

Pour la iere question stern et gerlach dans la direction x je suppose.
Et pour la suite ou est il écit la commutativité dans le cas orthogonal?

[Amanuensis]

Pour un électron (pour une particule de nombre de spin 1/2) la question ne se pose pas, Sx² vaut toujours 1/4.

[coussin]

Pour un électron (pour une particule de nombre de spin 1/2) la question ne se pose pas, Sx² vaut toujours 1/4.

Seulement si Sy et Sz valent 0 avec certitude.
C'est S^2=Sx^2+Sy^2+Sz^2 qui vaut 1/4 avec certitude. Une analogie vactoriel permet de voir ce qui se passe : avant n'importe quel mesure, le spin est un vecteur de norme 1/2. C'est tout ce qu'on sait. Sa pointe (au vecteur) est quelque part sur une sphère de rayon 1/2 mais on sait pas où. Chacune des composantes Sx, Sy et Sz est donc indéterminée. Si on fait une mesure suivant, par exemple x, on détermine Sx (travailler avec Sx^2 ne résout pas +/- mS. On trouve 1/4 pour Sx^2, on ne sait pas si on a mesuré mS=+1/2 ou mS=-1/2). Après cette mesure, Sx est déterminé mais pas Sy ni Sz. On a alors un vecteur de norme 1/2 et dont la composante suivant x vaut +/- 1/2. Le spin est alors un vecteur de norme 1/2 qui se trouve quelque part sur un cône de hauteur 1/2 et d'axe x mais on ne sait pas où (car ni Sy ni Sz ne sont déterminés).

[A voir en vidéo sur Futura]

[mariposa]

Bonjour,

En relisant des textes sur les théorème de Kochen-Specker, il m'est venu la question suivante dont je n'arrive pas à trouver la réponse.

On y parle de l'observable (S_x)², le carré de la projection du spin sur un axe, quel dispositif de mesure permet-il de la réaliser en pratique? (Par exemple pour une particule de masse non nul et de nombre de spin 1, ou pour un photon, ...)

Bonjour,

(S_x)² = S_x.S_x

Cela veut dire que tu utilises 2 appareils identiques.

Le premier projette l'état comme vecteur propre de Sx et le deuxième fait la même chose, on autrement dit il ne change rien.

Et il est indiqué que (S_x)², (S_y)² et (S_z)² commutent pour des axes orthogonaux.

Ceci est franchement faux.

On a relation:

[(S_x), (S_y)] = i.(S_z)

Quel dispositif de mesure (si ce n'est pas la combinaison de trois comme ci-dessus) permet de mesurer les trois simultanément?

Aucun puisque les 3 opérateurs ne commutent pas.

[Amanuensis]

Seulement si Sy et Sz valent 0 avec certitude.
C'est S^2=Sx^2+Sy^2+Sz^2 qui vaut 1/4 avec certitude.

Je n'y comprends rien. La valeur propre de S², c'est s(s+1) en unité qui va bien, soit 3/4, et c'est cohérent avec chacun des carrés de composante à 1/4.

Pareil, pour le spin 1, la valeur propre de S², c'est 2, et c'est cohérent avec 1, 1, 0 pour les trois carrés de projection.

Et le reste du message, et encore plus celui de Mariposa, est en pleine contradiction avec ce que je lis dans des articles scientifiques.

[mariposa]

Seulement si Sy et Sz valent 0 avec certitude.

C'est S^2=Sx^2+Sy^2+Sz^2 qui vaut 1/4 avec certitude.
Bonjour,

Attention au vocabulaire: Les opérateurs ne valent jamais zéro. C'est éventuellement leurs valeurs propres.




Une analogie vectoriel permet de voir ce qui se passe : avant n'importe quel mesure, le spin est un vecteur de norme 1/2. C'est tout ce qu'on sait. Sa pointe (au vecteur) est quelque part sur une sphère de rayon 1/2 mais on sait pas où. Chacune des composantes Sx, Sy et Sz est donc indéterminée. Si on fait une mesure suivant, par exemple x, on déterminela valeur propre Sx (travailler avec Sx^2 ne résout pas +/- mS. On trouve 1/4 pour Sx^2seulement si le spin est dans un état propre de Sx, on ne sait pas si on a mesuré mS=+1/2 ou mS=-1/2). Après cette mesure,la valeur propre de Sx est déterminé mais pas Sy ni Sz. On a alors un vecteur de norme 1/2 et dont la composante suivant x vaut +/- 1/2. Le spin est alors un vecteur de norme 1/2 qui se trouve quelque part sur un cône de hauteur 1/2 et d'axe x mais on ne sait pas où (car ni Sy ni Sz ne sont déterminés).[/QUOTE]

[coussin]

En effet, je me suis trompé : la longueur du vecteur est sqrt(3)/2.
À part ça, ce que j'ai dit tiens.
Je répète : un vecteur de longueur sqrt(3)/2. Vous mesurer suivant x : vous fixez Sx=1/2 mais Sy et Sz reste indéterminés. Par contre l'application bête de Pythagore vous dit que le vecteur décrit un cône d'axe x, de hauteur 1/2 et dont le rayon du disque de base vaut 1/sqrt(2) (faudrait faire un dessin, désolé…)
Et comme le dit mariposa, vous ne pouvez pas fixer à la fois Sx, Sy et Sz.

[mariposa]

Et le reste du message, et encore plus celui de Mariposa, est en pleine contradiction avec ce que je lis dans des articles scientifiques.

Bonjour,

Ca m'étonnerait. L’algèbre des spins est dans tous les livres de MQ et c'est vraiment un standard.

Apparemment du confond, sauf erreur de ma part, les relations entre l’algèbre des opérateurs et les relations entre les valeurs propres des opérateurs (ces derniers ne présentant strictement aucun intérêt).

L'important c'est la relation:

[S2,Sz] = 0

qui indique que ces 2 opérateurs ont des vecteurs propres communs.

Par contre:

[Sx,Sy] = i.Sz

et 2 autres relations par permutation circulaires.

Ce qu'a écrit Coussin est parfaitement juste a condition de bien préciser si l'on parle d'opérateurs ou de valeurs propres de ces mêmes opérateurs.

[coussin]

Oui désolé : j'ai pris des libertés de langages Mais on se comprend je pense

[Amanuensis]

C'est comme vous voulez. Désolé d'avoir bien plus confiance dans des articles scientifiques que dans vos messages sur des forums. J'irais me renseigner ailleurs.

vous ne pouvez pas fixer à la fois Sx, Sy et Sz.

Où ai-je affirmé un truc pareil??? Cela vous étonne vraiment que je savais cela avant que vous l'indiquiez (ainsi que les autres trucs de base que vous avez la condescendance d'indiquer), et que je n'aurais pas posé la question de ce fil si c'était aussi simple que cela???

(Juste une citation, je vous laisse trouver d'où, je ne suis du genre à jouer de l'argument d'autorité, argument que je trouve ridicule:

Quantum mechanics predicts this axiom since for a spin 1 particle the squared spin operators s_x²,
s_y², and s_z² commute and have sum 2.

)

Suis déçu par Coussin, pour une fois.

[mariposa]

C'est comme vous voulez. Désolé d'avoir bien plus confiance dans des articles scientifiques que dans vos messages sur des forums. J'irais me renseigner ailleurs.

Bonjour,

Je pensais que tu savais que j'avais enseigné la MQ en DEA. On m'aurait donc sollicité pour raconter des conneries a de futurs chercheurs.

En plus tes questions concernent les bases de la mathématique du spin et tu trouveras çà dans un premier cours de MQ car c'est incontournable, c'est du niveau licence.

[invite54165721]

visiblement la citation vient de "deep beauty de Halvorson http://books.google.fr/books?id=s1dZ...rators&f=false

[invite76543456789]

Bonjour,

Et il est indiqué que (Sx)², (Sy)² et (Sz)² commutent pour des axes orthogonaux.

Ceci est franchement faux.

Apparement un prof de Dea de MQ ne sait pas calculer le carré d'une matrice...
Cela dit quand je me rappelle de mes prof de M2 en physique.... ca m'etonne pas plus que ca

[Amanuensis]

visiblement la citation vient de "deep beauty de Halvorson

Ce n'est pas de là que l'ai extraite.

[Amanuensis]

Correction: le livre cité est un recueil d'articles. Le titre du livre et son "auteur" n'ont aucun intérêt. Il s'agit bien de l'article et des auteurs (de l'article) d'où vient la citation. Ce n'est qu'un exemple, j'ai déjà fait diverses recherches sur le sujet avant de poser la question, d'où mon sentiment très négatif sur les premières réponses.

[mariposa]

Bonjour,

Apparement un prof de Dea de MQ ne sait pas calculer le carré d'une matrice...
Cela dit quand je me rappelle de mes prof de M2 en physique.... ca m'etonne pas plus que ca

bonjour,

Cela n' a rien à voir avec la question posée par Amanuensis a laquelle j'ai répondu:

1- Il est impossible de mesurer simultanément les valeurs attachées a ces trois opérateurs parce qu'ils ne commutent pas entre eux, un point c'est tout.

2- Mesurer Sx2 est sans intérêt puisque le premier opérateur projette l'état du système sur un état propre de Sx. Le deuxième opérateur ne sert a rien

puisque l'état est déjà projeté.


Tout ceci fait parti des connaissances de la première année de MQ.

[invite76543456789]

Oui, oui c'est clair qu'ecrire Sx² et Sy² commutent n'a rien a voir avec le fait que Sx² et Sy² commutent... Je suis ravie de savoir d'ailleurs qu'apparement Sx²=Sx puisque le second opérateur "ne sert a rien".
Mais bien sur votre réponse ne voulait pas du tout dire que comme Sx et Sy ne commutent pas alors Sx² et Sy² ne commutent pas, pas du tout....
Ce qui est bien sur faux comme quiconque aura deja rencontré les matrices de pauli (ou une rotation de pi/2 dans le plan for that matter) s'en sera rendu compte.
Les cours de Licence... je crois que c'est pas moi qui ai besoin de les repotasser.

[mariposa]

Oui, oui c'est clair qu'ecrire Sx² et Sy² commutent n'a rien a voir avec le fait que Sx² et Sy² commutent... Je suis ravie de savoir d'ailleurs qu'apparement Sx²=Sx puisque le second opérateur "ne sert a rien".[

Ou as-tu vu que j'ai écrit Ca? Que cherches-tu?

Ce n'est parce que 2 opérateurs ont le même vecteur propre qu'ils sont égaux.

En clair:

Sx |a> = b.|m> première mesure (en supposant que |a> n'est pas vecteur propre de Sx)

Sx2|a> =b.m|m> deuxième mesure

En termes physique ce veut dire que la deuxième opérateur ne change pas l'état du système

[invite76543456789]

Ce que je cherche? Rien. Juste pointer une enormité que tu as ecrite (ce qui en soi n'est pas grave, on en ecrit tous, mais se defendre de le reconnaitre et prendre pour des imbeciles ceux qui le signalent).

Et il est indiqué que (Sx)², (Sy)² et (Sz)² commutent pour des axes orthogonaux.

Ceci est franchement faux.

On a relation:

[(Sx), (Sy)] = i.(Sz)

[LPFR]

Bonjour.
Vous êtes priés de garder votre calme et de rester courtois.
Pour la modération.

[azizovsky]

Salut , on cherche A en trouve B :http://www.st-andrews.ac.uk/~qmanim/...php?anim_id=42
je ne sais pas est ce qu'il a un rapport avec la question , mais je me rappele que quelqu'un a proposé une double expéreince de SG.

[Amanuensis]

J'ai déjà expliqué que le cas d'une particule de nombre de spin 1/2 est sans intérêt pour ma question. Pour de telles particules le résultat de l'observable Sx² est connu à l'avance, elle n'a qu'une seule valeur propre, et tous les états sont états propres. En d'autres terme l'opérateur Sx² est 1/4 fois l'identité. (Ce qui se conçoit bien en multipliant certaines matrices, comme l'indique MissPacMan.)

Le cas "de base" est une particule de nombre de spin 1, et de masse non nulle. Doit y avoir l'équivalent de S&G, avec trois faisceaux, mais je n'ai jamais lu à propos d'expériences réelles.

Si on met deux SG putatifs en succession pour le spin 1, disons selon x puis selon y, en n'appliquant le second que sur les faisceaux + et -, faudrait un dispositif recombinant d'une manière "non distinguable" (des SG avec le champ dans l'autre sens?) d'une part les faisceaux (+/-1, 0) et d'autre part les faisceaux (+/-1, +/-1), ce qui donnerait trois faisceaux, le (0, 1, 1) , le (1, 0, 1) et le (1,1,0) respectivement. Aucune idée si c'est possible en pratique, ma question d'origine était de savoir si quelqu'un avait des données sur un dispositif comme celui-là (tiré de mon imagination), ou sur un autre donnant le même résultat.

Par ailleurs j'ai eu des réponses constructives par d'autres voies que ce forum, de spécialistes qui ont parfaitement compris ma question ainsi que sa pertinence. Mais sans indication certaine sur l'existence ou non d'un dispositif réalisant la mesure.

[mariposa]

J'ai déjà expliqué que le cas d'une particule de nombre de spin 1/2 est sans intérêt pour ma question. Pour de telles particules le résultat de l'observable Sx² est connu à l'avance, elle n'a qu'une seule valeur propre, et tous les états sont états propres. En d'autres terme l'opérateur Sx² est 1/4 fois l'identité. (Ce qui se conçoit bien en multipliant certaines matrices, comme l'indique MissPacMan.)

Bonsoir,


Quelques soient le spin S (entier ou demi-entier) les états propres de Sx2 sont:


Sx2 |m> = m2|m> où m varie de -S à + S par valeurs entières.

C'est bien de vouloir multiplier des matrices encore faudrait-il savoir quoi multiplier. (ce n'ai pas gentil de faire cautionner MissPacMan)

[invite54165721]

Ce fil s'est terminé en eau de boudin.
Amanuensis a écrit qu'il ira voir ailleurs pour trouver la réponse.
Mispacman écoeurée a fermé son compte.
Je résume les positions
Amanuensis a lu que les opérateurs Sx² et Sy² (de meme pour Sz² commutent
Mariposa écrit que "c'est franchement faux"
son argument Sx et Sy ne commutent pas or Sx est une projection donc appliquer Sx ou Sx² c'est pareil donc les carrés des opérateurs ne commutent pas.
Argument de Misspacman
Il existe une base ou les carrés des matrices (de Pauli par exemple) sont diagonales et commutent donc.
D'un coté un enseignant en DEA retraité referee d'une revue scientifique international et de l'autre un jeune enseignant.
Modérateurs à vous de trancher:
qui des deux a raté les 10 premieres pages de son introduction à la MQ
Quand il s'agit de zoldick vous n'hésitez pas à prendre position.
.

[Amanuensis]

Ce fil s'est terminé en eau de boudin.

Cela fait un bout de temps que j'ai proposé qu'il soit fermé...

Amanuensis a écrit qu'il ira voir ailleurs pour trouver la réponse.

Ce que j'ai fait, et trouvé des gens compétents pour répondre.

Mispacman écoeurée a fermé son compte.

Encore une perte pour le forum. Il y a une manière bien particulière pour certains de "faire place nette", pour fabriquer un forum "à leur mesure".

qui des deux a raté les 10 premieres pages de son introduction à la MQ

La réponse est évidente pour moi, mais cela ne sert à rien de l'exprimer. Que ce soit par moi ou par un modérateur d'ailleurs.

[GillesH38a]

Hum Mariposa, cette phrase

2- Mesurer Sx2 est sans intérêt puisque le premier opérateur projette l'état du système sur un état propre de Sx. Le deuxième opérateur ne sert a rien

puisque l'état est déjà projeté.

confirmée par

Sx |a> = b.|m> première mesure (en supposant que |a> n'est pas vecteur propre de Sx)

Sx2|a> =b.m|m> deuxième mesure

semble montrer que tu penses que l'action d'un opérateur associé à une grandeur physique A sur un vecteur d'état est de le projeter sur un des vecteurs propres. C'est évidemment totalement faux et très surprenant si tu as enseigné la Meca Q ! Tu confonds l'action d'un opérateur avec celle d'un projecteur sur un vecteur propre Pa qui est totalement différent. L'action d'un projecteur Pa est invoqué lors d'une mesure (avec le problème qu'on ne connait pas d'avance le résultat et donc quel projecteur utiliser, ce qui est précisément le point central du problème de la mesure puisqu'il n'existe pas d'opérateur connu à l'avance , et donc pas d'évolution unitaire , avant d'avoir pris connaissance du résultat ! mais c'est un autre problème). L'action de l'opérateur A (Sx, ou Sy, ou Sx^2 , etc...) n'a rien à voir avec celle du projecteur.

Pour en revenir à la question, Amanuensis et ex-Misspacman ont bien sûr 100 % raison : ce n'est pas parce que Sx et Sy ne commutent pas que Sx^2 et Sy^2 ne commutent pas !!! Il est facile de démontrer que Sx^2 , Sy^2, Sz^2 commutent effectivement et de déterminer une base d'états propres communs pour un spin 1 : c'est simplement la base des 3 vecteurs (Sx = 0), (Sy=0) , (Sz= 0) : Par exemple pour Sx = 0 il est évident qu'on a alors Sy^2 = Sz^2 = 1 et que c'est donc aussi un vecteur propre de Sy^2 et Sz^2 avec la valeur propre 1. De même pour les autres. La matrice de Sx^2 dans cette base est donc Diag(0,1,1), celle de Sy^2 est Diag (1,0,1), et celle de Sz^2 est = Diag (1,1,0): la commutation de ces trois matrices est évidente.

La question d'Amanuensis sur la possibilité pratique de mesurer simultanément Sx^2, Sy^2, Sz^2 sans avoir à mesurer la projection Sx , Sy, Sz est très intéressante mais n'a pas reçue de réponse correcte sur ce fil. Je n'ai pas la réponse. Il faudrait un appareil capable de dire quelle est la composante nulle parmi les 3 Sx, Sy, ou Sz, mais sans fournir la valeur +1 ou -1 des composantes non nulles ! (en effet si on sait la valeur de Sy ou Sz alors on a projeté sur un état propre de ces opérateurs et on n'est plus dans l'espace diagonal précédent). Il est possible que ce soit faisable avec une combinaison astucieuse de Stern et Gerlach et des paquets qu'on "recombinerait" quand ce n'est pas la valeur Si = 0 (pour perdre l'information sur le fait que Si = +1 ou -1 de façon cohérente), mais je ne sais pas si de tels systèmes ont été effectivement réalisés même en principe - en tout cas je ne vois pas d'objection théorique à ce que ça existe.

[GillesH38a]

PS : j'ai du créer un nouveau pseudo pour remplacer l'ancien presque identique, je m'en excuse auprès de la modération que j'ai prévenue par MP. Je me suis permis de poster sans attendre leur réponse car je trouverais dommage que ce fil soit fermé avant d'avoir apporté la mise au point ci-dessus.

[mariposa]

Ce fil s'est terminé en eau de boudin.
Amanuensis a écrit qu'il ira voir ailleurs pour trouver la réponse.
Mispacman écoeurée a fermé son compte.
Je résume les positions
Amanuensis a lu que les opérateurs Sx² et Sy² (de meme pour Sz² commutent
Mariposa écrit que "c'est franchement faux"
son argument Sx et Sy ne commutent pas or Sx est une projection donc appliquer Sx ou Sx² c'est pareil donc les carrés des opérateurs ne commutent pas.
Argument de Misspacman
Il existe une base ou les carrés des matrices (de Pauli par exemple) sont diagonales et commutent donc.
D'un coté un enseignant en DEA retraité referee d'une revue scientifique international et de l'autre un jeune enseignant.
Modérateurs à vous de trancher:
qui des deux a raté les 10 premieres pages de son introduction à la MQ
Quand il s'agit de zoldick vous n'hésitez pas à prendre position.
.

Effectivement

J'aimerais que l'on me montre que :

[Sx2, Sy2] = 0

Si quelqu'un me fait la démonstration je n'hésiterais pas une demi-seconde à présenter mes excuses, d'une manière répétée pendant une semaine.

Pour résoudre ce problème il y a 2 façons:

1- a la mathématicienne:

Il suffit d'écrire les matrices de ces opérateurs dans une même base. Ensuite effectuée les multiplications des matrices pour calculer le commutateur.

A vue de nez cela doit faire une quarantaine de lignes de calculs.

2- A la physicienne.

Démonstration:


1 Quand sur un vecteur quelconque de l'espace de Hilbert on applique l'opérateur Sx le vecteur résultant est vecteur propre de Sx noté |mx>.

2- Si on applique une deuxième fois l'opérateur Sx le vecteur |mx> reste inchangé donc les vecteurs propres de Sx2 sont les vecteurs propres de Sx.

3- même raisonnement pour Sy2. Les vecteurs propres de Sy2 sont les vecteurs propres de Sy soit |my> un vecteur propre de Sy.

Question: Est ce que Sx2 et Sy2 peuvent avoir des vecteurs propres communs renvoie a la question: Est-ce que Sx et Sy peuvent avoir des vecteurs propres communs?

Réponse: Non car ce qui définit l'algébre des spins c'est [Sx,Sy] = i.Sz

Voilà la réponse a la physicienne et sans aucun calcul.

[invite54165721]

La réponse est évidente pour moi, mais cela ne sert à rien de l'exprimer. Que ce soit par moi ou par un modérateur d'ailleurs.

Elle ne l'est pas forcément pour tous les lecteurs. elle est donc nécessaire.
Il FAUT que ce soit un modérateur qui dise telle affirmation est vraie et telle affirmation est fausse.
Misspacman est partie justement car elle a eu pour seule réponse: calmez vous, vous manquez de courtoisie.