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Démonstration d'opérateurs hermitiens



  1. #1
    michel6684

    Démonstration d'opérateurs hermitiens

    Bonjour,

    J'ai une petite question de mécanique quantique que j'aimerais résoudre.

    J'ai deux opérateurs hermitiens A et B et je voudrais montrer que si <phi|A|phi> = <phi|B|phi> alors A=B, pour tout |phi>.
    En décomposant phi sur une base orthogonale j'arrive à une égalité de sommes mais je suis bloqué.

    Auriez-vous des idées ?

    -----


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  3. #2
    alovesupreme

    Re : Démonstration d'opérateurs hermitiens

    on a donc <phi|A-B|phi> = 0
    l'operateur A - B peut il avoir des valeurs propres non nulles?
    conclusion?

  4. #3
    michel6684

    Re : Démonstration d'opérateurs hermitiens

    Sauf que là c'est pas (A-B)|phi> = 0, mais <phi|A-B|phi> = 0, je ne pense pas qu'il faille faire ce raisonnement.
    Je suis sensé développer |phi> sur une certaine base pour la solution.
    En fait j'arrive à somme(Aij)=somme(Aji), comme c'est pour tout |phi>, je peut dire que c'est pour tout couple (i,j) ?

  5. #4
    michel6684

    Re : Démonstration d'opérateurs hermitiens

    Je voulais dire somme(Aij)=somme(Bij)

  6. #5
    Amanuensis

    Re : Démonstration d'opérateurs hermitiens

    Citation Envoyé par michel6684 Voir le message
    Sauf que là c'est pas (A-B)|phi> = 0, mais <phi|A-B|phi> = 0, je ne pense pas qu'il faille faire ce raisonnement.
    Pourtant... Si <phi|D|phi>=0 pour tout phi, alors si |phi> est un vecteur propre (non nul donc) pour une valeur propre k non nulle, on a <phi|D|phi> = k <phi|phi>, non nul par hypothèse...

    Maintenant peut-être qu'on vous demande autre chose, mais la proposition du message #2 marche!
    Dernière modification par Amanuensis ; 05/09/2013 à 20h30.

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    michel6684

    Re : Démonstration d'opérateurs hermitiens

    Mais k peut être nul ?

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  10. #7
    Amanuensis

    Re : Démonstration d'opérateurs hermitiens

    Oui, mais alors c'est un opérateur dont toutes les valeurs propres sont nulles!

  11. #8
    michel6684

    Re : Démonstration d'opérateurs hermitiens

    D'accord merci, mais c'est possible que les valeurs propres soient nulles ?

  12. #9
    Amanuensis

    Re : Démonstration d'opérateurs hermitiens

    En dimension finie sur C, le seul opérateur ayant toutes ses valeurs propres nulles est l'opérateur nul.

    (C'est peut-être un peu moins simple en dimension infinie, d'où la précaution.)

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