Espace Hermitiens

[invitedd813fde]

Bien le bonjour,

Je ne suis pas très math mais il me prend l'envie de lire un peu et pour le moment mes lectures se portent sur les espaces hermitiens et euclidiens. Il se trouve que je vais devoir suivre un cours de physique quantique cette année et je plonge un peu dans la matière. Je me retrouve face a un petit probleme que je vous pose ci-dessous:

Soient alpha, béta deux operateurs autoadjoints sur un espace hermitien. Montrer que a*b (alpha*beta) est autoadjoint si et seulement si alpha et beta commutent. (pour ceux qui se posent la question de la relation avec la quantique, y en pas pour cet exo, ca fait juste partie des exos proposés dans le livre de math que j ai)

Y a t-il des amateurs pour m'aider ?

Tant que j'y suis, auriez vous une bonne référence pour un livre de quantique porté sur les semicond. niveau école d'ingé.

Merci bien.
-----

[GuYem]

Pour ton problème d'autoadjoint... je ne me rappelle plus exactement la définition mais autoadjoint ca voudrait pas dire justement que a* = a ?

Dans ce cas là la question que tu poses est évidente ça doit pas être ça

[invitedd813fde]

A* =A c est pour une matrice non ? Il me semble du moins. La reponse serait aussi simple ?

[GuYem]

Comme je t'ai dit je ne me rappelle plus la définition d'autoadjoint pour un opérateur sur un espace hermitien.

Tu peux me donner la tienne stp?

A*=A pour les matrices et pour les opérateurs c'est pareil...

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitedd813fde]

a* pour moi c est la matrice transposée conjugée de a ... maintenant ca fait longtemps que j ai plus fait ca ...

++

[GuYem]

Pour moi A* c'est la matrice de l'adjoint de A pour le produit scalaire considéré.

Quand on est sur C^n avec (avec b_j' le conjugué de b_j) alors la mtrice A* est en effet la transposé conjuguée.

Si on chage le produit scalaire ça change.

Bon tu ne m'a toujours pas donné la définition de autoadjoint!!

[invitedd813fde]

pour moi une matrice est autoadjointe si elle est égale a sa transpoée conjugée autrement dit etant donne un espace hermitien avec une base orthornomée, l operateur est autoadjoint si la matrice est autoadjointe. voila ma def de autoadjoint. MAIS je suis pas dans les math je me base sur mes anciens cours d algebre donc je me trompe peut etre.

[Quinto]

En dimension infinie je ne suis pas sur que ca ai vraiment un sens...
En tout cas il me semble que A* est l'adjoint de A si
<Ax,y>=<x,A*y> pour tout x,y.
Notamment A est autoadjoint si A=A* si je ne dis pas de bétise....

[invite7c294408]

en dimension infinie, ca a peut avoir un sens, par contre je crois qu'on doit se placer dans un Hilbert pour que ca marche.
Les definitions ainsi donnees sont les memes.

cf: Brezis - Analyse fonctionnelle pour plus de details.

[invite7c294408]

par contre peut-on generaliser aux cas des operateurs non bornes?

[Quinto]

Ma définition marche dans n'importe quel Hilbert c'est évident.
En fait je faisais plutôt référence à la définition matricielle qui me ne me semble possible qu'en dimension finie.
Pour ce qui est d'avoir un Hilbert, c'est évident, sinon on a pas de produit scalaire...
Sauf erreur de ma part.
A+

[invite7c294408]

oui si on a a faire a un operateur continu. Mais est-ce que ca peut marcher dans le cas d'un operateur non-borne?

[invite7c294408]

Ma définition marche dans n'importe quel Hilbert c'est évident.
En fait je faisais plutôt référence à la définition matricielle qui me ne me semble possible qu'en dimension finie.
Pour ce qui est d'avoir un Hilbert, c'est évident, sinon on a pas de produit scalaire...
Sauf erreur de ma part.
A+

un autre truc... tu dis pour un Hilbert c'est evident sinon on a pas de produit scalaire mais on peut definir un produit scalaire dans un espace euclidien de dimension infini non, (sans supposer que l'espace est complet)?

[GuYem]

un autre truc... tu dis pour un Hilbert c'est evident sinon on a pas de produit scalaire mais on peut definir un produit scalaire dans un espace euclidien de dimension infini non, (sans supposer que l'espace est complet)?

Espace euclidien = R-ev de dimension finie muni d'un produit scalaire.

[invite7c294408]

j'ai du mal a m'exprimer. J'ai dit euclidien alors que J'aurais du dire prehilbertien.
Je parle la d'espace prehilbertien. Un espace vectoriel de dimension infinie et muni d'un produit scalaire.
Pour repondre a la question, a priori je pense que la definition d'adjoint se generalise au cas infini. Je ne comprends pas trop la notion de matrice infinie mais si on peut associer un operateur avec sa "matrice", la definition d'adjoint devrait etre valable, non?.

Par contre, en dimension "infinie"
Je pense que c'est l'egalite T(etoile)(etoile) = T
qui n'est plus verifiee quand T n'est pas continu

[GuYem]

Même en dimension infinie, si on prend pour définition de l'adjoint de T l'unique opérateur T* qui vérifie
pour tout x,y
on voit immédiatement que T**=T

[invite7c294408]

Tu es absolument sur de ca?
Il me semble que quand T n'est pas continu, il y a un probleme de densite.

[GuYem]

Je dis peut-être une bétise en fait.

Je ne me rappelle plus assez des problèmes qui apparaissent en dimension infinie pour avancer quelque chose de sur...

[Quinto]

Juste une remarque:
je ne pense pas que la proposition inverse de T est bornée, soit T est non bornée.
Il me semble qu'il existe une définition bien précise, du non borné et du borné, qui ne sont pas incompatibles.
Celà étant je m'avance peut être.

[GuYem]

Juste une remarque:
je ne pense pas que la proposition inverse de T est bornée, soit T est non bornée.
Il me semble qu'il existe une définition bien précise, du non borné et du borné, qui ne sont pas incompatibles.
Celà étant je m'avance peut être.

Borné et continu pour un opérateur linéaire c'est pareil.
Je ne vois pas comment on pourrait définir une notion (borné) qui ne soit pas incompatible avec son contraire (non borné)
Ou alors la terminologie est vraiment mal choisie!

[invite7c294408]

Borné et continu pour un opérateur linéaire c'est pareil.
Je ne vois pas comment on pourrait définir une notion (borné) qui ne soit pas incompatible avec son contraire (non borné)
Ou alors la terminologie est vraiment mal choisie!

Je suis de ton avis, Guyem.
"Borne" dans le sens ci -dessus eqivaut a la continuite. Un operateur lineaire est borne dans le sens que norme(T) < infini. On retrouve la notion de continute par la suite.

Simplement, j' etais intrigue de savoir ce qui se passait avec les adjoints quand on se place dans un Hilbert ou l'operateur en question n' est pas borne.

[invite7c294408]

Juste une remarque:
je ne pense pas que la proposition inverse de T est bornée, soit T est non bornée.
Il me semble qu'il existe une définition bien précise, du non borné et du borné, qui ne sont pas incompatibles.
Celà étant je m'avance peut être.

La je suis un peu perdu, je dois avouer.
Es tu en train de dire qu' on peut avoir un operateur "non-borne" qui soit tout de meme continu?

[GuYem]

J'avoue que je n'en sais rien.

Par contre en dimension les opérateurs ne correspondent plus avec les matrices ; on ne peut pas définir de manière claire la matrice d'un opérateur en dimension infinie.

EDIT
Au fait au passage ce topic dérive complètement!
On a répondu à la question de base.

[invitedd813fde]

Hello,

Euh oui j'ai vu la dérive mais je l'ai pas comprise Bon tout ca me démotive de faire les exos. De me dire que je n'ai certainement pas fais assez de math pendant mes prépas.

A la limite si je n'arrive pas à répondre à cet exo ce n'est pas si grave, la oú ca le sera c'est si je capte pas mon cours de quantique dans lequel ces notions vont apparaitre.

Si vous avez une bonne réf sur le sujet ou des conseils, je suis tout ouie.

Merci bien.