Déja pour commencer, ça existe:
http://aftalion.perso.math.cnrs.fr/Xcours/poly.pdf
Dans les axiomes de la mécanique quantique, une observable est un opérateur autoadjoint d'un espace de Hilbert or dans une équation de Schrödinger non linéaire, le hamiltonien n'est pas linéaire. Ce n'est donc à priori pas un opérateur, plus une observable.
Maintenant la réponse:
Commençons par se demander si la linéarité apparait quelque part en physique
-principe de superposition
En revanche il y a un moyen d'avoir ce principe de superposition même si les équations ne sont pas linéaire. (D'abord si elles sont linéaires, l'ensemble des solutions est un espace vectoriel (ou affine pour une eq. non homogène), additionner et multiplier des solutions donnent encore des solutions)
Il fait se tourner vers une formulation un peu plus abstraite, mecanique quantique algebraique? L'ensemble des observables a une structure de C* algèbre. Le théorème de Gelfand nous dit que l'on peut toujours le représenter fidèlement comme une algèbre d'opérateurs bornés dans un certain espace de Hilbert.
L'idée de linéarité et de superposition vient de la notion de "représentation".
Pour finir on peut forcer quelque chose à être linéaire, simplement en définissant de façon adéquate l'espace de départ et celui d'arrivée:
Le potentiel de l'équation de Gross Pitaevski(c'est pas sur ce que soit défini sur tout l'espace de Hilbert, ou peut etre bien que ça atteri ailleurs. Cet espace de Hilbert est
qui a
On introduit simplement une fonction
On choisit W tel que
Le Hamiltonien est non linéaire, mais on peut lui associer des choses linéaires qu'on peut espérer appeler observable
Annulé, cause croisement...
Pour toute question, il y a une réponse simple, évidente, et fausse.
Malgré la ressemblance, l'équation de Schrödinger non-linéaire n'est pas une équation de Schrödinger.
C'est l'équation d'un champ classique, et non pas l'équation d'évolution d'un état quantique. Le soi-disant hamiltonien qui y apparaît n'est donc pas un hamiltonien, qui ne peut être qu'un opérateur linéaire.
Après quantification de ce champ, l'équation de S.N.L. convient par exemple pour décrire un gaz de Bose avec des interactions ponctuelles entre deux particules. Mais je répète: ce n'est pas une équation de Schrödinger.
hmm... ya moyen que ce soit vrai ce que vous dites!!!
On parle de 2nde quantification pour dirac et klein gordon, mais ici, c'est une seconde quantification mais avec l'équation de Schrodinger si je comprends bien.
à méditer...
