Bonjour,
Alors on vas encore me dire que mes questions sont... ce qu'elles sont.
On peut voir que l'équation de Schrödinger utilise l'opérateur Hamiltoniens. Pourrais t'on reformuler la fonction d'onde en utilisant le Lagrangiens ? Cela vous semble absurde je suppose!
Bien cordialement
Salut,
Et bien nonEnvoyé par Floris
Là, la question est tout à fait sensée. Et l'approche lagrangienne est beaucoup utilisée en physique quantique.
En fait, elle est surtout utilisée en théorie quantique des champs. Mais pas uniquement.
Ici :
http://en.wikipedia.org/wiki/Schr%C3%B6dinger_field
Tu as le lagrangien correspondant à l'équation de Schrödinger.
"Il ne suffit pas d'être persécuté pour être Galilée, encore faut-il avoir raison." (Gould)
Bonjour,
J'ai lu que Feynman n'avait pas ménagé ses efforts en vue d'une réécriture lagrangienne.
Mais quels sont les enjeux ?
La réalité, c'est ce qui reste quand on cesse de croire à la matrice logicielle.
L'approche lagrangienne (par exemple l'intégrale de chemins de Feynman) permet de rendre manifestes les symétries. La plus évidente est la symétrie sous Lorentz en relativité restreinte, car elle est forcément ignorée (cachée) dans la formulation hamiltonienne, qui sélectionne une coordonnée de temps. Elle fournit aussi une autre métode de quantification que celle proposée avec les opérateurs et les états.
Dernière modification par ThM55 ; 22/10/2013 à 11h12.
Bonjour,
Reduire l'approche Lagrangienne a la manifestation de l'invariance Lorentzienne est un peu osé. La plupart des theories en MQ se font dans la formelation hamiltonienne justement pour exploiter toutes les propriètés de symétrie. Pour ne prendre qu'un exemple parmi des milliers. Comment caculer une struture de bande du silicium sinon en exploitant a fond toutes les propriétés du groupe spatial.
En fait dans la plupart des cas on travaille a suffisamment basse energie pour ne pas expliciter les phenomenes relativiste. La encore on utilise les propriétés de symétrie pour ecrire des hamiltoniens effectifs. exemple le couplage spin-orbite qui est un effet relativiste s'ecrit lamba.L.S ( voir theoreme de Wigner-Eckart).
Personne n'auraut l'idée saugrenue dTuiliser les integrales de chemin pour faire un cacul de bande et même pas les etats propres de l'atome d'helium!
Bonjour,
Merci pour vos réponses.
Je n'ai pas "réduit l'approche lagrangienne a la manifestation de l'invariance Lorentzienne". J'ai voulu simplement dire que c'est un des ses enjeux, en réponse à la question de Nicophil sur les enjeux. C'est incontestable historiquement: c'était une des motivation de Feynman en théorie quantique des champs, il suffit de lire son premier article sur le sujet.
Bonjour et merci à vous tous pour vos réponses.
Merci encore
Bien cordialement
Une question naîve me viens,
Dans le liens wikipedia que deedee81 ma donné, pourquoi appel t'on cela champ de Schrödinger ? On imagine que phi est une sortie de champ?
Concernant l'expression du Lagrangiens, on peut voir que cela fais visiblement appel au Laplaciens² et à l'opérateur i(d/dt). Question très naïve, n'y aurai t'il pas une façon plus simple et plus basique pour écrire l'équation de Schrödinger sous forme Lagrangienne, sans forcément avoir recours au Laplacien et à l'opérateur. Une sortie d'écriture pseudo classique ?
(C'est pour le principe et l'esthétique de la chose)
Amicalement
Salut,
Oui.
Ta question n'a rien de naïf. Cette façon de voir est en rapport avec la théorie quantique des champs.
Dans ce cadre, on part d'un champ associé à une "particule" et on quantifie ce champ. On parle ainsi parfois de seconde quantification (par exemple équation de Dirac -> fonction d'onde -> champ de Dirac -> quantification). Mais en réalité le terme est totalement impropre car il n'y a qu'une seule quantification. Le champ dont on part est considéré comme totalement classique.
Habituellement on a :
- champ électromagnétique de Maxwell => quantification => photons
- champ de Dirac (considéré comme un champ classique obéissant à l'équation de Dirac) => électrons / positrons
- champ de Klein-Gordon => particules scalaires (chargées ou pas)
On peut aussi le faire à partir d'un champ obéissant à l'équation de Schrödinger. C'est alors la même chose que Dirac ou Klein-Gordon mais dans le régime non relativiste. Et on quantifie.
A ma connaissance ce n'est pas très utile car la quantification des champs a surtout intérêt en régime relativiste (création de particules, ce qui est lié au bon vieux E=mc²). De plus, les corrections aux Schrödinger classique ne peuvent pas faire l'impasse sur le spin de l'électron (Klein-Gordon donne de très mauvais résultat pour des électrons, l'équation de Dirac apporte par contre des corrections très précises).
Concernant le lagrangien, oui, c'est souvent plus simple. C'est d'ailleurs massivement employé en théorie quantique des champs. Mais pour résoudre des cas précis et là les calculs se compliquent. Par exemple, pour résoudre un problème banal de mécanique quantique non relativiste, il faut forcément repasser aux équations pour les résoudre. En théorie quantique des champs, ce qui a surtout "simplifié" les calculs ce sont les méthodes graphiques (Feynman). Avec des guillemets car les calculs il faut quand même se les farcir, c'est assez monstrueux.
"Il ne suffit pas d'être persécuté pour être Galilée, encore faut-il avoir raison." (Gould)
