Problème pour établir Fokker-Planck equation

[Jeanthon]

Bonjour,

Suivant Zwanzig, "Non Equilibrium Statistical Mechanics", je cherche à établir l'équation de Fokker Planck en moyennant l'équation de Langevin sur le bruit. Après plusieurs tentatives, j'ai toujours un problème, un petit facteur 2 en trop. C'est pas que que le facteur en trop me dérange tant que ça, si ça n'est qu'une erreur d'inadvertance, mais le calcul est très peu détaillé dans le bouquin, et j'ai peur d'avoir loupé quelque chose...

Je commence par l'équation de Langevin un peu travaillé, parce que jusque la je suis ok :



Avec le vecteur coordonnés, un vecteur fonction des coordonnés et le buit, gaussien et delta corrélé:

Il est important de noter que (même si ça ne se voit pas dans l'équation plus haut) est un fonction du bruit pour les temps , strictement.

Maintenant on moyenne sur le bruit. le terme suivant s'annule :



Et donc



Je nomme le dernier terme moyenné



Est une fonction du bruit F(s) pour les temps



Comme à une distribution gausienne, je peux écrire



En reprenant l'équation générale :



Comme







A la dernière ligne encore, j'ai tenu compte du fait que ne dépend du bruit que pour des temps inferieur à (donc ne dépend pas de )

Bon c'est pas grand chose, j'ai juste un 2B à la place de B, mais comme je n'ai jamais vu ce calcul détaillé, je voudrai être sur que le raisonnement tient.

Merci à celui qui aura le courage de reprendre ça!
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[Noix010]

Je veux bien essayer de t'aider, mais ça va pour toi plutôt de la manière de celui qui apprend en enseignant

-Je ne comprends pas moyenner. Je connais moyenne d'une variable aléatoire connaissant la distribution de probabilité.
-Je ne comprends pas le F(a,t) et F(s) quel est le lien?
- F distribution gaussienne implique K = grosse expression: tes sommes sont des intégrales? ? ou directement un dirac?. Et je ne comprends pas quel est le théorème, dérivée d'une fonction de corrélation?

Sinon, le deux vient evidement du remplacement de sigma. Si on veut s'en débarasser on peut se demander directement qu'est ce qui pourrait le compenser?

[Jeanthon]

Je veux bien essayer de t'aider

Merci!!

-Je ne comprends pas moyenner. Je connais moyenne d'une variable aléatoire connaissant la distribution de probabilité.

Moyenner sur le bruit : moyenner sur la variable aléatoire F(t) qui à une distribution gausienne, delta correlée.

-Je ne comprends pas le F(a,t) et F(s) quel est le lien?

C'est la même fonction. J'ai simplement oublié par moment de réécrire la dépendance en . Les termes et réfèrent à la variable temps.

- F distribution gaussienne implique K = grosse expression: tes sommes sont des intégrales? ? ou directement un dirac?.

Les sont définis dans le premier message : .
Et oui effectivement les sommes devraient être des intégrales parce que le temps varie continuement. J'ai juste plaqué la formule ci dessous, mais cela revient au même puisque seul un terme dans la somme ou intégrale n'est retenu à la fin.

Et je ne comprends pas quel est le théorème, dérivée d'une fonction de corrélation?

On commence par remarquer que, pour une distribution gausienne multivariée,


Avec la matrice des seconds moments, donc

En travaillant un peu l'expression on arrive à



Avec une fonction quelconque de .
Une rapide recherche sur Google ne m'a pas permis de sourcer ce résultat. Il est succinctement détaillé dans le Zwanzig Appendix 2, et je retrouve le même résultat donc je suppose que c'est correct.

Sinon, le deux vient evidement du remplacement de sigma. Si on veut s'en débarasser on peut se demander directement qu'est ce qui pourrait le compenser?

Je vois pas.... vraiment pas

[Noix010]

j'ai regardé "processus stochastiques" et je comprends mieux de quoi on parle. En revanche ça n'aide pas à corriger le coefficient.

C'est de la pure spéculation maintenant, mais on peut dire qu'en générale un facteur 1/2 apparait dans la définition de la partie symmétrique de qqch, ex. 1/2(f(x)+ f(-x)). Et parmi des choses symmétriques que l'on rencontre je pense à la matrice des dérivées secondes. Ou parfois quand on intègre sur un interval deux fois plus petit une quantité qui est "symmétrique" dans un sens à clarifier.

en y repensant, t'as laissé tombé un terme avec une intégrale et ta somme qui est aussi une intégrale. Au premier abord, ça a l'air correcte mais je pense qu'il faut faire gaffe et vérfier les histoires de commutation limite et intégrale.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Jeanthon]

en y repensant, t'as laissé tombé un terme avec une intégrale et ta somme qui est aussi une intégrale. Au premier abord, ça a l'air correcte mais je pense qu'il faut faire gaffe et vérfier les histoires de commutation limite et intégrale.

Tu peux préciser?

[Noix010]

euh non je divague... pour l'instant rien à redire

[Jeanthon]

Haha, en tout cas merci d'essayer

Dans les jours qui viennent je vais essayer d'obtenir l'équation par une autre approche, comme c'est le plus souvent présenté dans les manuels. Ça devrait me dire ou ça cloche.

[Noix010]

je sais pas si tu connais mais essaie aussi de poser ta question sur http://physics.stackexchange.com/

[Jeanthon]

Salut, il y a quelque erreurs dans mon calcul. Premièrement, j'ai affirmé que ne dépend de que pour des temps . C'est faux. L'inégalité n'est pas une inégalité stricte. Donc ne dépend de que pour des temps . Pour voir ça, on reprend le calcul tout au début, dans mon premier post. Je commence à écrire



J'aurais du commencer juste avant, c'est à dire par



Alors on voit bien ici que dépend aussi de .

Deuxième erreur : est une fonction de et alors :



ce qui implique que la dernière ligne du calcul de mon premier post est doublement fausse.

De plus mon superviseur se questionne sur la validité de , qui est une dérivé par rapport à un processus stochastique. Je sais qu'on ne peut pas différencier une variable brownienne, mais je ne vois pas pour "dériver par rapport à une variable brownienne". Je ne suis pas sur que ça est du sens.

[Noix010]

je regarderai plus en détail ce weekend, mais juste un commentaire sur f dépend de F(a,t).

Il faut comprendre que ce n'est pas une intégrale habituelle (avec la mesure de Lebesgue), qui ne dépend pas de la valeur de l'intégrand en t.
Je ne connais pas les détails, mais il est possible d'attribuer à un point une mesure non nul, un peu comme une distribution de Dirac. (donc avec une mesure differente de celle de lebesgue)

Ton me rapelle les dérivées "fonctionnelles" de la théorique quantique des champs. Il s'agit de manière très générale de dérivées de fonctions définies sur des espaces de dimension infini (ou il n'y a plus unicité de la norme, ou il pourrait même ne pas y avoir de norme). Il y plusieurs théories, mais je ne peux pas en dire grand chose de constructif...

J'ai du mal à imaginer que la dérivée par rapport à a agit sur la dérivée par rapport à la fonctionnelle F(a,t), mais je pense simplement que le lemme de Cauchy ne s'appliqiue pas forcément à une dérivée fonctionnelle.; Sinon, ça me rappelle plus les dérivées covariantes qui ne commutent pas forcément.

[Noix010]

- Si tu doute de la signification de la derivee par rapport a F(a,t), alors il faut commencer a y douter a partir de lorsqu'on l'introduit, ligne K= qqch

- au pire pour l'avant derniere ligne, dvlpt la derivee du produit (si j'ai bien compris les derivee s'appliquent au produit) et compare au resultat. ce n'est bien sur pas egal, mais sa donne une idee de quel terme est sense etre nul.

desole je ne peux pas grand chose de plus.