Etablir une équation différentielle en R,L,C

[invitedaf7b98f]

Bonjour tout le monde,
J'aimerai bien savoir si quelqu'un peut m'expliquer comment d'établir une équation différentielle lorsqu'on a un circuit R,L,C s'il vous plaît.
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[invite37ad095b]

Bonjour tout le monde,
J'aimerai bien savoir si quelqu'un peut m'expliquer comment d'établir une équation différentielle lorsqu'on a un circuit R,L,C s'il vous plaît.

Bonjour,

Ce qu'il faut savoir :
- loi d'additivité des tensions (ou loi des mailles)
- u_L = L di/dt
- u_C = q/C
- u_R = R i
- i = dq/dt

Toutes les tensions sont données ici en convention récepteur .
Il suffit d'écrire la loi des mailles et de faire les bonnes substitutions pour trouver l'équation différentielle.

[invitedaf7b98f]

Re,
Appliquons la loi des mailles à notre circuit R,L,C:
(*) = + + avec la tension aux bornes du générateur.

D'après le cours on sait que:

=

=

=

=

En remplaçant les formules dans (*), on obtient ainsi:
= +
+

or = et

A mon avis je dois dériver pour avoir une équation différentielle:
d'où:
= .

C'est correct? Mais maintenant, mon souci est que je dois résoudre cette équation différentielle du second ordre (je ne sais pas si elle est correcte?
Si jamais c'est correcte, j'ai deux méthodes à ma disposition je crois. Soit le résoudre dans R ou dans C. C'est juste? Merci pour votre aide.

[LPFR]

Bonjour.
Je croyais vois avoir dit, dans votre consultation précédente que:

Dans votre consultation précédente vous étiez en régime sinusoïdal. Ce n'est plus le cas?
Si ce n'est plus le cas, je crains que la situation soit un peu difficile pour vous, sans les outils mathématiques adéquats.
Avez-vous lu le paragraphe de wikipedia auquel je vous ai envoyé?
Au revoir.

[A voir en vidéo sur Futura]

[calculair]

Cette equation est exacte pour une source de tension variable qui alimente un circuit serie ou il y a une resistance, un condensateur et une self.

Cela se resoud bien en regime sinusoidal ( en particulier )

[invitedaf7b98f]

Bonjour,
Est-ce que cette équation est valable pour une tension sinusoïdale et aussi pour une tension constante? Merci

[calculair]

Pour une tension constante tu trouves 0 à une constante prés qui depend des conditions initiales

La resolution devrait faire apparaitre la charge du condensateur si celui-ci est déchargé à l'origine par exemple.

En fait pour les tensions constantes on evite ( en géneral) de prendre en compte les regimes transitoires. cette equation en tient compte

Cette equation est la solution la plus generale du comportement de ce type de circuit.

[invitedaf7b98f]

Re,
Dans le cas d'une tension varaiable (c'est à dire en sinusoïdale, on remplace l'expression de i(t) = I0 sin(wt + phi) et ug(t) = U0 cos (wt + phi) n'est ce pas?

[invite37ad095b]

Re,
Dans le cas d'une tension varaiable (c'est à dire en sinusoïdale, on remplace l'expression de i(t) = I0 sin(wt + phi) et ug(t) = U0 cos (wt + phi) n'est ce pas?

Non pas du tout, il s'agit ici d'une équation différentielle du second ordre à coefficients constants et avec second membre...
Au passage, il est plus facile de travailler avec l'équation différentielle de la charge ou de la tension aux bornes du condensateur.

[invitedaf7b98f]

Non pas du tout, il s'agit ici d'une équation différentielle du second ordre à coefficients constants et avec second membre...
Au passage, il est plus facile de travailler avec l'équation différentielle de la charge ou de la tension aux bornes du condensateur.

C'est à dire, je ne vois pas trop ce que je dois faire. Pourriez-vous m'aider s'il vous plaît? Merci

[calculair]

tu as dq/dt = i

tu cherches une solution du type

i = A sin(wt +s)

di/dt = Aw sin(wt + s )

d²i/dt² = -Aw²cos(wt +s)

Tu portes ces valeurs dans l'equation et tu ajustes les coefficients A et s avec les conditions initiales. Tu construits ainsi 1 solution à l'équation

La tension du generateur et sa phase à t = 0 par exemple

[LPFR]

tu cherches une solution du type

i = A sin(wt +s)

Bonjour.
Ceci n'est utile qu'en régime sinusoïdal.
Ce qui est le cas, je crois. Bien que Bolltt ne l'ai pas dit.
Au revoir.

[invitedaf7b98f]

Bonjour,
En fait je résoud l'équation différentielle en supposant que i(t) = A sin (wt + phi) puis je calcule sa derivée première et ainsi sa derivée seconde (pour la solution particulière). Pour la solution génréale, j'écris l'équation caractéristique et puis je résouds. A la fin, je fais la somme des deux solutions particulière et genrérale. C'est juste?
Ps: on est en régime sinusoïdal.
Merci

[invitedaf7b98f]

Bonjour,

Appliquons la loi des mailles à notre circuit R,L,C:
(*) = + + avec la tension aux bornes du générateur.

D'après le cours on sait que:

=


=

= et =

En remplaçant les formules dans (*), on obtient ainsi:
= + +

or par hypothèse on a
=
=

Cherchons la solution générale, équation homogène + + = 0
écrivions le polynôme caractéristique on a
avec et
= 4()

En travaux pratiques, j'ai mesuré comme valeur pour L =0.1H et C = 0.01*10^ -6 f.

Donc on a
La solution générale sera de la forme
Après je ne sais pas comment résoudre pour la solution particulière. Qulequ'un peut m'aider? Merci

[stefjm]

Bonjour,
En fait je résoud l'équation différentielle en supposant que i(t) = A sin (wt + phi) puis je calcule sa derivée première et ainsi sa derivée seconde (pour la solution particulière). Pour la solution génréale, j'écris l'équation caractéristique et puis je résouds. A la fin, je fais la somme des deux solutions particulière et genrérale. C'est juste?
Ps: on est en régime sinusoïdal.
Merci

C'est cela.
Ne reste plus qu'à déterminer les constantes d'intégrations avec les conditions initiales.

[stefjm]

Après je ne sais pas comment résoudre pour la solution particulière. Qulequ'un peut m'aider? Merci

+ +
[/TEX]

Je suppose que

Deux possibilité de résolution :

1) en passant en complexe
Une dérivée temporelle correspond à une multiplication par



On calcule le module
et l'argument
tel que

La solution est de la forme

2) En restant avec l'équation diff.
C'est la méthode proposée par Calculair 22/04/2008, 23h26 http://forums.futura-sciences.com/post1669603-11.html


Ensuite, il ne reste plus qu'à ajouter la solution particulière obtenu ci-dessus avec la solution générale en somme d'exp que tu a trouvé.
Dernier point, la détermination des deux constantes d'intégration à l'aide des conditions initiales.

[invitedaf7b98f]

Bonsoir,
Cherchons une solution particulière de l'équation différentielle, la solution sera sous la forme de .
d'où
d'où .

= + +

+

après je bloque, je ne sais plus quoi faire. Pourriez-vous me donner un coup de main s'il vous plaît.
Ps: mes calculs sont faits pour le schéma a)

[stefjm]

Vous êtes tout près de la solution!
UG est de la forme


On cherche une solution particulière pour UC de la forme

(pas les mêmes A,B que ceux de votre solution particulière)

d'où
d'où

En remplaçant UC dans l'équa diff, on obtient


En identifiant d'un coté le coeff en cos et de l'autre celui en sin, on obtient le système d'équation

et

dont la solution est sauf boulette de ma part

et

L'expression de UC est donc la somme de la solution particulière (régime periodique ici) et de la solution générale (régime transitoire).

Donc de la forme:


Avec pour r1 et r2 les valeurs que vous aviez trouvées.
Attention à ne pas confondre le ) avec celui du sinus de UG !!

Ne reste plus quà trouver la valeur des deux constantes d'intégrations E et F (vos A et B) en fonction des conditions initiales.

Par exemple en t=0 pour UG(0) qui donne E+F=0 et pour UG'(0) par exemple

On obtient deux équations à deux inconnues (E et F) qu'on peut résoudre facilement. (mais là, je n'ai pas le courage...)

[invitedaf7b98f]

Bonjour,
Tout d'abord un grand merci à vous stefjm

On cherche une solution particulière pour UC de la forme

(pas les mêmes A,B que ceux de votre solution particulière)

Comment on sait que la solution particulière sera de cette forme. Pourriez-vous m'éclaircir s'il vous plaît?

et

dont la solution est sauf boulette de ma part

et

J'aurai bien voulu savoir comment vous passer de l'équation à la solution. J'ai surtout dû mal. Merci pour votre aide.

[stefjm]

Comment on sait que la solution particulière sera de cette forme. Pourriez-vous m'éclaircir s'il vous plaît?

Le second membre est une fonction sinusoïdale. Comme vous avez une équation diff linéaire à coeff constant, la solution particulière sera de la même forme. On peut écrire soit

ou bien


On peut trouver cette solution plus simplement en passant en exponentielle complexe.

Pour la résolution des équations diff linéaires à coeff constants :
http://spiral.univ-lyon1.fr/mathsv/c...ap6/c6p5D.html
5.4

J'aurai bien voulu savoir comment vous passer de l'équation à la solution. J'ai surtout dû mal. Merci pour votre aide.

C'est juste un système de deux équations à deux inconnues A et B.
R,L, C et w sont des constantes.
Vous exprimez A en fonction de B dans la première équation et vous remplacez A dans la seconde pour trouver B.
En remplaçant B dans la première, vous trouvez A.

Il faudrait que vous précisiez un peu le cadre de vos demandes. Cela faciliterait l'aide...

[invitedaf7b98f]

Re,
En gros si j'ai bien compris, lorsqu'on a une équation différentielle du type:
ay"+by'+c = cos x ou encore ay"+by'+c = sin x ou encore
ay"+by'+c = cos x + sinx ou encore ay"+by'+c = cos x - sin x.
La solution particulière sera de la forme yp(t) = A cos x + B sin x avec yp la solution particulière. C'est juste?

Ps: je voulais résoudre cette équation différentielle sans passer par les nombres complexes. Est-ce possible? Merci.

[stefjm]

Re,
En gros si j'ai bien compris, lorsqu'on a une équation différentielle du type:
ay"+by'+c = cos x ou encore ay"+by'+c = sin x ou encore
ay"+by'+c = cos x + sinx ou encore ay"+by'+c = cos x - sin x.
La solution particulière sera de la forme yp(t) = A cos x + B sin x avec yp la solution particulière. C'est juste?

Oui.
C'est lié au fait que la dérivée d'un sinus est un sinus déphasé de pi/2 (un cosinus) et que la somme de fonction sinusoïdale est une fonction sinusoidale.

Ps: je voulais résoudre cette équation différentielle sans passer par les nombres complexes. Est-ce possible? Merci.

Bien sûr!?? J'ai donné toutes les pistes qu'il faut pour le faire, avec (message 16) ou sans complexes. (message 18)

Qu'est-ce qu'il vous manque?

[invitedaf7b98f]

et

dont la solution est sauf boulette de ma part

et

et l'argument
tel que

La solution est de la forme

Bonjour,
Je voulais savoir (normalement ça doit être les mêmes solutions qu'on résout l'équation différentielle en complexe ou en réel ) mais ici j'ai sur tout dû mal à l'apercevoir que ce sont les mêmes. Désolé, je pose trop de questions. Excusez moi.

[stefjm]

Bonjour,
Je voulais savoir (normalement ça doit être les mêmes solutions qu'on résout l'équation différentielle en complexe ou en réel ) mais ici j'ai sur tout dû mal à l'apercevoir que ce sont les mêmes. Désolé, je pose trop de questions. Excusez moi.

Bonjour,

On a bien


Pour la comme j'avais pris une solution en le rôle des sinus et cosinus est interverti et il y a un "-" qui traine. (sauf boulette de ma part, je vous laisse vérifier mon TEX et mes calculs )

Evidement qu'on doit trouver la même chose et si ce n'est pas le cas, c'est que j'ai fait boulette.

Comme on vous l'a peut-être signaler ici, c'est assez inhabituelle de s'intéresser au régime transitoire sous excitation sinusoïdale!

Comme les calculs deviennent vite "chiants", on passe en simulation pour les cas pratiques.

[invitedaf7b98f]

Bonsoir,
Je fais mon exo en suivant vos conseils. Je bloque à un endroit et je ne vois plus comment faire
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Apres je ne sais plus quoi faire. Merci pour vos corrections.

[invitedaf7b98f]

Bonjour,
Personnes pour m'aider s'il vous plaît?

[invitedaf7b98f]

Bonjour,

Appliquons la loi des mailles à notre circuit R,L,C:
(*) = + + avec la tension aux bornes du générateur.

D'après le cours on sait que:

=


=

= et =

En remplaçant les formules dans (*), on obtient ainsi:
= + +

or par hypothèse on a
=
=

Pourriez-vous me dire, si je dois laisser ou remplacer par une expression? A mon avis, je pense qu'il faut que je remplace par une expression qui relie le courant. Qu'en pensez-vous? Merci

[LPFR]

Re.
Comme avant:

ce qui vois permet de dériver par rapport au temps.
A+

[invitedaf7b98f]

Bonjour,
on obtient une équation différentielle du 1er ordre.

= + +

or par hypothèse on a
=
=

d'où on a
=
Pour résoudre je fais l'équation l'homogène sans le second membre et puis je regarde la solution particulière? Merci

[LPFR]

Bonjour.
Non. Vous avez sauté une étape.
Si vous vous souvenez, je vous avais dit que la tension aux bornes d'un condensateur était une intégrale (voir le début des discussions). Comme vous m'aviez dit que la définition intégrale ne vous convenait pas, je vous avais dit d'utiliser q= i*t.
Mais ceci n'est valable que quand i est constant ou, comme ici, parce qu'on va la dériver. Et c'est cela que vous avez oublié.
Dérivez donc votre première équation et vous obtiendrez, cette fois, l'équation différentielle de deuxième ordre.
Là vous allez faire les dérivées et remplacer dans l'équation.
A+