RDM - poutre hyperstatique

[invite96586bfb]

Bonjour à tous !

Je voudrais calculer les actions de liaison d'une poutre AB de longueur L, encastré en A, et appui simple en B, chargé au milieu C d'une charge P ponctuelle.

Le soucis, c'est que mon encastrement est incliné d'une rotation initiale w(0).

Je voulais savoir si, lorsque je fais mon PFD au début de la méthodologie, je devais incliner mes réactions d'encastrement (Xa et Ya) de l'angle w(0) (les aligner avec l'encastrement) et donc les projeter sur la verticale et l'horizontale pour faire mes calculs, ou si je devais les mettre directement verticale et horizontale..?

la questions me parait bête, mais il y a quelques subtilité de la rdm que je n'ai pas encore saisi ...

merci !
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[sitalgo]

B'jour,

Soit tu changes carrément de repère pour rendre ta poutre horizontale, ce qui rendra les réactions en A et en B "inclinées", si ça peut faciliter la vision des choses.
Soit tu ne changes rien.

[Sanglo]

Bonjour,

Un schéma faciliterait grandement la compréhension de la question car personnellement je ne vois pas de quoi tu parles avec ton encastrement incliné.
La poutre est horizontale ou inclinée ?
Quelle est la direction de la charge ?

Toi tu sais de quoi tu parles ... pas nous.

A++

[invite96586bfb]

Voila le schéma du problème, merci de votre aide =)

[A voir en vidéo sur Futura]

[Sanglo]

C'est bien ce que je pensais.
On reste dans le cas classique.
Tout au plus tu prends L1 comme longueur de poutre pour le calcul.

A++

[invite96586bfb]

ça ne change pas grand chose de prendre L1... sur ton dessin, il s'agit d'un encastrement simple avec un mur incliné, alors dans mon cas, la poutre et le mur son perpendiculaire..

[Sanglo]

il y a quelques subtilité de la rdm que je n'ai pas encore saisi ...

Celles du dessin non plus car on ne sait toujours pas si la charge est verticale ou perpendiculaire à la poutre.
Jouer aux devinettes et faire des suppositions, ce n'est pas mon truc.

A++

[invite96586bfb]

elle est verticale.

[Jaunin]

Bonjour, Mido37,
Sans vouloir passer pour un casse pieds, votre poutrelle de forme arrondie est dû a la flèche de son propre poids et vient en appui, ensuite on lui mets une charge centrée.
Ou c'est une poutrelle encastrée avec un angle qui supporte une charge centrée et qui se cintre.
Ou encore c'est un poutrelle cintrée en appui que l'on charge.
Etc...
(effectivement je suis casse pieds)
Cordialement.
Jaunin__

[Sanglo]

Bonjour Jaunin,

Oh que non tu n'est pas casse-pieds car c'est bien la preuve qu'avec le croquis qui a été donné on peut supposer tout ce que l'on veut et si tu n'as pas de chance, tu vas être à côté de la plaque

Généralement un petit croquis évite de longs discours ... sauf dans le cas présent.

A++

[invite96586bfb]

Alors, c'est une poutre droite de base, sur deux appuis simple (que l'on considérera rotule + ponctuel).

On la charge avec P verticale ponctuelle, en son centre. On crée un moment M inconnu au premier appui, pour créer l'encastrement, de sorte à ce que la rotation à l'encastrement soit égale à W(0)(de l'ordre de 0.5°).

Je cherche l'expression du moment en fonction de P et W(0) ainsi que la flèche sous P, à L/2.

Ma question : considère-t-on la poutre toujours droite pour faire les calculs ?

(Je crois que je suis presque à une bonne description la non ? =D)

[Titiou64]

Bonjour,

J'apporte ma petite pierre à cette discussion.
Si j'avais ce problème à faire, je lèverai d'abord l'hyperstaticité du système.
Je supprime l'appui simple : j'ai donc une console inclinée avec une force ponctuelle P. Je projette P pour calculer la flèche en bout de poutre.
Ensuite, j'applique une force inconnue Yb en bout de console qui représente la réaction d'appui. Je calcule la flèche sur ma console due à cette force. Ensuite je dit que la flèche en bout de console est nulle et j'en déduit Yb.

Dans un deuxième temps je trouve l'équation du moment en faisant intervenir la déformée de la poutre (à cause de la courbure).
Or on sait que -M(x)/EI=y''(x). On a donc une équation du second ordre avec y(x) et y''(x) à résoudre avec comme conditions aux limites y(0)=y(L)=0.

Tu devrais réussir à commencer à trouver des résultats avec cette méthode.

Bon courage pour les calculs

[invite96586bfb]

je trouve ce qu'il faut, merci =)

[Jaunin]

Bonjour, Mido37,
Pourriez-vous nous montrer ce que vous avez trouvé.
Cordialement.
Jaunin__

[invite96586bfb]

Biensûr ! Que ceux qui viennent avec le même problème que moi ait au moins une réponse =P

Mon seul problème était de savoir si je devais considéré la rotation autrement que dans les calculs. La réponse est non. On résout le problème comme si c'était un poutre droite (horizontale) et on fait apparaitre, d'une façon ou d'une autre, en condition aux limites, la rotation W(0) à l'encastrement.

(Titiou, je pense que tes conseils étaient bon, mais nous ne parlions pas de la même chose)

Donc, 4 méthodes pour ces calculs :

- Equation de la déformée (c'est long..)
- Formules de Bresse (plutôt efficace ici)
- Théorème de Castigliano (bien aussi ici)
- et enfin Principe de superposition (pas l'idéal niveau longueur, mais c'est un moyen sûr pour éviter les erreurs de calculs)

Grâce à l'une de ces 4 méthode, on trouve un moment d'encastrement M = 3EIW(0)/L + 3PL/16 (résultat vérifié par les 3 des 4 méthode ! j'ai pas eu le courage de faire l'équation de la déformée ... prouvé aussi expérimentalement =) )

et enfin, en utilisant Castigliano ou l'équation de la déformée, on trouve une flèche en L/2 (sous P) v(L/2) = (9ML^(2) - PL^(3))/48EI

Voila !
Et pour ceux qui aurait aussi un double encastrement à faire (il fallait que je le fasse aussi) avec rotation non nul à l'un des encastrement : Le plus simple, c'est d'appliquer deux fois le théorème de Castigliano (une fois avec le moment d'encastrement, et une fois avec la réaction verticale) et on obtient un système de deux équation avec deux inconnu !

PS : pour ceux qui ont comme moi des profs qui donne des formules de Bresse différentes et lourdes en fonction des cas, regardez ce cours( http://hal.archives-ouvertes.fr/docs...rsMQ41_A04.pdf ) , en annexe D, page 175 du PDF (165 du document) : elles sont écrite de manière général, ça facilite l'application !

[Jaunin]

Bonjour, Mido37,
Merci pour cette réponse très complète.
Cordialement.
Jaunin__