Théorie de Kaluza-Klein et modèle standard

[neutrino éléctronique]

Bonsoir à tous,

Je m'intéresse aux extensions de la théorie de Kaluza-Klein aux groupes de jauge non-abéliens, en considérant une variété du type . J'aimerais comprendre pour quelle raison la dimension minimale de la variété compacte K doit être égale à 7 afin de retrouver le groupe de symétrie G du modèle standard . Déjà, si j'ai bien compris, la variété K est définie comme "coset manifold" G/H (avec H sous-groupe de G), c'est-à-dire que chaque classe d'équivalence est associée à un point, est-ce bien cela?
J'ai lu un argument faisant intervenir le sous-groupe maximal H de G, mais pourquoi le sous-groupe maximal de est-il ?

Ces notions ne sont pas encore très claires pour moi, merci d'avance pour vos éclaircissements !
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[invite02232301]

Bonjour,
Ce serait un peu long a decrire directement ici, c'est essentiellement une histoire de classification de sous groupes maximaux (compacts) dans les groupes de Lie. Ce genre de trucs est bien connu, tu as une overview tres complete ici.

[neutrino éléctronique]

Bonjour,

Merci pour ta référence, c'est en effet très complet Peut-être un peu trop pour ce que je cherche à faire en fait. Si quelqu'un a un argument relativement élémentaire, disons "à la physicienne", je suis preneur !

[invite02232301]

Ben tu peux proceder à la main, l'idée c'est d'utiliser la correspondance de Lie, pour se ramener à une classification des sous algèbre de Lie de su(3). Pour cela tu es amené à discuter sur le rang de ton sous groupe i.e la dimension d'un tore maximal inclus dans ton groupe. Il faut ecrire les details. Je ne vois pas vraiment de racourci "à la physicienne".
Il n'y a que le cas de SU(3) a traiter car SO(2) est simple, et U(1) est de rang 1.

[A voir en vidéo sur Futura]

[neutrino éléctronique]

D'accord, je te remercie.
L'autre aspect de ma question me pose encore problème. L'idée dans l'article que je lis (Witten, Search for a realistic Kaluza-Klein theory) est de trouver la dimension minimale d'une variété compacte possédant le groupe d'isométrie du modèle standard. Si l'on admet que cette variété est définie comme "coset manifold" G/H avec G=SU(3)xSU(2)xU(1) et H un sous groupe de G, je comprends bien qu'il faille choisir H comme sous-groupe maximal de G, ie H=SU(2)xU(1)xU(1), afin de minimiser la dimension de G/H, qui s'avère alors être 7. Mais pourquoi part-on d'un espace G/H? La seule manière de définir une variété avec un groupe d'isométrie G est-elle de la choisir comme étant G/H?

[invite02232301]

Deja pour avoir un groupe d'isométrie il faut une variété riemanienne quelque part. Dans tous les cas si G agit par isométries sur une variété X, alors il agit certainement par diffeomorphisme sur celle ci. J'imagine qu'on veut que l'action soit transitive, de sorte que X s'identifie (via le choix d'un point) à G/H (si X est compacte par exemple ce sera le cas, sinon il y a des conditions) où H est le stabilisateur de point x choisi (si l'action est transitive, ils seront tous conjugués, donc bon).
Tu devrais regarder la notion d'espace homogène.

[neutrino éléctronique]

Oui c'est tout à fait l'idée exposée dans cet article. Supposons que l'on veuille créer une variété X compacte de dimension minimale et possédant le groupe d'isométrie G, qui est un espace homogène sous l'action de G, c'est-à-dire que l'on suppose l'action de G transitive. Peux tu m'expliquer plus en détail comment cela permet d'identifier X avec G/H via le choix d'un point, où H est le stabilisateur de ce point?
Merci d'avance !

[invite02232301]

Quand tu as un ensemble S et un groupe G qui agit transitivement dessus, si tu choisis un point x dans S tu as une bijection de G/Stab(x) (ici G/Stab(x) n'est pas un groupe en general, c'est simplement un ensemble, l'ensemble des classes a gauche) sur S donné par g->g.x.
Si G est un groupe de Lie qui agit de manière lisse sur une variété differentielle S et Stab(x) en est un sous groupe de Lie, alors la bijection donnée plus haut devient un isomorphisme de variété differentiable (ceci n'est pas trivial, et faux dans le cas general).

[neutrino éléctronique]

D'accord, c'est beaucoup plus clair maintenant.
Mais ce processus est-il le seul qui permette de construire une variété de dimension minimale possédant un groupe de symétrie donné? Ou bien seulement le processus le plus simple?

[invite02232301]

Je comprend pas trop trop ta question en fait. C'est une manière de construire une variété qui possède un sous groupe de son groupe d'automorphisme (agissante transitivement) isomorphe à un groupe G donné. Il n'est pas dit ensuite qu'il soit facile de construire explictement les sous groupes maximaux. Ce qui est sur c'est qu'une telle variété sera toujours isomorphe en tant que variété à un espace homogène G/H oui.
D'autre part, il se peut que le groupe d'isométrie soit plus gros que le groupe G que tu t'es fixé au depart (les groupes de diffeo sont en general gros, pas de dimension finie).

[neutrino éléctronique]

Eh bien en tout cas tu as répondu à mes interrogations, merci bien