autour du theoreme de noether

[zak.benslimane]

Bonjour,
Je suis bloqué au niveau d'une demonstration du theoreme de noether, et j'ai besoin d'un coup de main pour comprendre un passage sur le pdf suivant https://www.google.com/url?sa=t&sour...PlGgYE4arMLbfQ c'est la partie "2.5 symmetries and conservation laws" , je ne sais pas comment on a pu passer de la variation du lagrangien a la variation de l action qui s annule pour une translation arbitraire, la difficulté est purement mathematique, si vous pouvez me donner une reference meilleur ou encore expliciter ce passage je vous serais tres reconnaissant (desolé our l orthographe, je travaille sur tablette).
Merci d avance.
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[ThM55]

Bonjour. Que ne comprenez-vous pas exactement? Le théorème de Noether tel qu'il est décrit dans ce texte dit qu'une invariance de l'action entraîne une loi de conservation. L'action est l'intégrale dans une région d'espace-temps de la densité lagrangienne: .

Pour une translation, on peut écrire (on ne fait que déplacer la région d'intégration, le changement ne peut venir que de la dépendance de la densité lagrangienne en x,y,z,t à travers sa dépendance dans le champ et ses dérivées).

Le delta-L calculé en 2.28 revient à écrire (le second terme est similaire mais pour les dérivées). Ensuite . La dernière étape de 2.28 substitue l'équation d'Euler-Lagrange , puis applique la règle de Leibnitz de la dérivée d'un produit.

Le reste du paragraphe revient à montrer que cette quadri-divergence est une équation de continuité, qui après intégration donne la conservation de l'énergie-impulsion.

[zak.benslimane]

Merci pour votre reponse, mon probleme se situe dans l equation 2.29 , comment on a pu passer de 2.28 a 2.29, le passage n est pas evident pourmoi (je suis pas tres fort coté calcul variationnel), encore merci.

[ThM55]

En effet, ce texte n'est pas clair, il passe de 2.28 à 2.29 comme si c'était évident, mais sans explication. Il est d'ailleurs assez rare de trouver des cours qui exposent le théorème de Noether pour les champs de manière correcte et complète.

Tout d'abord, il faut formuler le théorème de Noether de manière bien précise, ce que ce texte ne fait pas. Je vais essayer de le faire ici à ma façon (peut-être à recouper avec d'autres textes).

Le théorème: si sous une transformation infinitésimale des champs la variation de la densité lagrangienne obtenue sans utiliser les équations du mouvement peut être mise sous la forme d'une quadri-divergence: ,alors il existe une densité de courant conservée avec . On a alors



où

.

J'ai utilisé la notation .

Voilà pour l'énoncé. La démonstration est très simple, à noter qu'on doit utiliser l'équation du mouvement pour la terminer. Mais cette équation ne peut pas être utilisée pour la prémisse.

Or, si la transformation des champs est une translation rigide de tout le système de champs dans l'espace-temps, la condition du théorème est évidemment vérifiée. En effet la densité lagrangienne ne dépend pas explicitement des coordonnées, mais elle en dépend à travers les champs et leurs dérivées. Donc on a



On est donc bien dans le cas du théorème et on a un de la forme . Par la suite on peut factoriser les et on obtient une grandeur à deux indices: .

Quand il calcule 2.28, en fait il effectue la démonstration du théorème dans le cas particulier d'une translation. Il retrouve la partie du courant de Noether. Mais cette partie n'est pas à divergence nulle.

Finalement en factorisant les epsilon et en les éliminant (car ils sont constants et arbitraires), on obtient un courant de Noether à deux indices:



Ma conclusion est que le pdf indiqué est très incomplet, et ne présente pas le théorème de Noether comme il le faudrait. Je ne dis pas que ma présentation est irréprochable, mais c'est ce que j'ai cru comprendre de ce théorème et j'espère que cela clarifie un peu le sujet. Sinon, il y a d'autres textes à recommander. Par exemple celui de Srednicki, qui donne une explication encore un peu différente : http://web.physics.ucsb.edu/~mark/ms-qft-DRAFT.pdf . Voir page 144.

[A voir en vidéo sur Futura]

[ThM55]

Petite erreur, la définition de est:

[azizovsky]

Salut , il y'a un lien etre le théorème de Noether http://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A...her_(physique) et vecteurs de Killing.http://fr.wikipedia.org/wiki/Vecteur_de_Killing
((..L'existence de ce vecteur de divergence nulle permet alors de définir des quantités conservées par l'intermédiaire du théorème de Noether...))

[ThM55]

Oui, il y a un lien évident puisque les vecteurs de Killing décrivent une symétrie de l'espace-temps riemannien de la relativité générale. Mais dans le cours mentionné dans la question, il s'agit de théorie des champs dans l'espace-temps plat de la relativité restreinte. Dans ce cas il n'est pas nécessaire de faire appel à la machinerie des vecteurs de Killing, les symétries sont celles du groupe de Poincaré, et en particulier les translations rigides dans les quatre directions (on pourrait dire que les champs constants sont des vecteurs de Killing, mais ce serait un peu ridicule, d'autant plus que leur choix est largement arbitraire).