Bonjour a tous,
Causalité et théorie de la réponse linéaire.
Cette «*dissertation*» fait suite a une première assez ancienne: l'entropie comme écoulement fluide qui montre comment s'exprime mathématiquement les formes de création d'entropie cause de l'irréversibilité des phénomènes et donc de la flèche du temps (il s'agit d'une présentation simplifiée des travaux de Prigogine)
A la suite une «*dissertation*» sur le renversement du temps et maintenant sur la causalité.
Tout cela est motivé pour bien illustrer des concepts physiques qui sont évidemment liés, mais indépendants, cad conceptuellement séparables. Une quatrième partie portera sur la stabilité et la perte de stabilité.
1- Qu' est ce la réponse linéaire?
On connait la loi d'Ohm: U = R..I
Que l'on peut écrire sous la forme:
I = 1/R . U
où 1/R s'appelle la conductance. Cette dernière expression pour respecter une présentation canonique qui sera justifiée ultérieurement (la cause dans le membre de droite, l'effet dans le membre de gauche)
Ceci est un exemple trivial de réponse linéaire où l'application d'une tension sur une résistance engendre un courant électrique. On dira que I est la cause de U. Donc tout le monde fait de la théorie de la réponse linéaire sans le savoir, comme Monsieur Jourdain.......
La réponse est linéaire si:
I1= 1/R.U1 et I2 = 1/R .U2
I = I1 + I2 = 1/R (U1 + U2)
Remarque:je n'ai surtout pas écrit U = U1 + U2, ce qui serait un cas particulier.
On ne notera que I et U sont des grandeurs mesurables (avec un ampèremètre et un voltmètre) et que 1/R est donc un nombre, qui est ici la réponse linéaire. C' est un constat expérimental dont l'objet sera d' expliquer l'origine, par le corpus physico-mathématique adéquate.
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Digression: Dans ce cas, la théorie pour expliquer la valeur de R, est l'équation de Boltzmann avec au second membre les termes de collisions, ces derniers étant un problème purement quantique.
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Pour rester sur le terrain expérimental et dans le contexte de l'électricité, supposons un circuit où les seules valeurs accessibles sont les sources U1, …..Un et les valeurs mesurées sont I1...., Im.
On peut représenter cette relation de causalité par une matrice rectangulaire (m,n). On notera que l'on peut en faisant varier les valeurs des U déterminer le domaine de de validité de la réponse linéaire. Cette observation purement expérimentale va jouer un grand rôle sur le plan théorique car en faisant la théorie du système dans le domaine linéaire il y a fortes chances d'avoir d'emblée eta peu frais les origines des non linéarités.
2- Formalisation de la théorie de la réponse linéaire.
Dans l'exemple précédent, la causalité n'était pas mise en relief, le temps n'étant pas exprimé explicitement. Il est évident que l'on peut écrire:
B (t) = Intégrale de K° (t,t'). A(t').dt' sur ]-infini, t]
Qui indique clairement que a l'instant «*t*», moment actuel, B(t) est une fonction linéaire de toutes les valeurs prises par A de t = -infini au moment actuel «*t*».
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Notations:
Par la suite, pour des questions de cohérence de notation on prendra pour A pour la source et pour B le résultat. La notation K servira pour la réponse linéaire (appelée selon le domaine, fonction de transfert, susceptibilité, opérateur d'évolution etc...).
Lecture matricielle de la réponse linéaire.
On peut représenter le réponse linéaire sous la forme de 2 vecteurs colonnes B(t) et A(t) reliés par une matrice carré de dimension infinie ou l'élément de matrice de coordonnée (t,t') vaut K° (t,t'). Il est important de remarquer que le triangle en bas a droite est pleine de zéro. C'est l'expression matricielle de la causalité.
Les lois physiques sont souvent exprimées sous la forme d'équations différentielles, de systèmes d'équations différentielles, et bien sur de systèmes d'équations différentielles aux dérivées partielles.
Comment faire apparaître formellement la causalité dans ce cas.?
Prenons le cas simple:
d/dt B(t) = A(t)
que l'on peut écrire:
d.B(t) = A(t).dt avec dt> 0 car en effet le temps est fléché par la production d'entropie.
Par intégration on a:
B(t) = intégration de A(t').d(t-t').dt' sur l'intervalle ]-infini, t]
ou d(t-t') est la «*fonction*» de Dirac
Nous retrouvons la forme générale de la réponse linéaire ou la réponse K° (t,t') vaut tout simplement d(t-t').
Lecture matricielle:
Il saute aux yeux que dans ce cas très particulier mais néanmoins moult important la réponse est purement diagonale.
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: Processus de Markoff.
Quand le futur immédiat ne dépend que des valeurs actuelles, cela ne veut pas dire que la réponse est indépendante du passé, mais que tout le passé est condensée dans la valeur actuelle. Ainsi les processus de Markoff vont partie de cette catégorie de condensation de la mémoire dans la valeur actuelle.
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On peut par un changement de variable adéquate réécrire la réponse sous la forme:
B(t) = intégrale de A(t-t').d(t').dt' sur l'intervalle [0, +infini [
On notera le nouveau domaine de définition.
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Digression: Transformée de Laplace unilatérale: Cette dernière intégrale est un produit de convolution qui permet certaines opérations dans le plan complexe. De même que l'on sait résoudre seulement des équations différentielles linéaires a coefficients constants (cad non dépendant de la variable-temps) on ne peut pas traiter la physique linéaire dans le cadre général de la réponse linéaire. En MQ c'est la règle, et c'est pourquoi les théories de perturbations jouent un rôle centrale en MQ
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3- Formules d'extensions a peu de frais de la théorie de la réponse linéaire.
On peut écrire:
d/dt.B (t) = A(t)
où B(t) et A(t) sont des vecteurs.
Dans ce cas K° prend la forme: K° (B,A, t, t') qui représentent un jeux n.m de matrices infinies.
Pour la conductivité J en fonction du champ électrique E, ou la polarisabilité P en fonction du champ électrique E, les vecteurs et la réponse K° sont aussi des tenseurs,(respectivement, tenseurs covariants et tenseurs contravariants de rang 1 et tenseurs mixtes de rang 2 pour la réponse K°.
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L'équation de Schrodinger:
i.h.d/dt |F(t)> = H(t,t') |F(t)>
qui est un système d'équations aux dérivées partielles linéaires dont la forme intégrale initiée par Dirac et complètement développée par Feymann s'appelle intégrale de chemins
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Les équations de Maxwell sans source s'écrivent:
dE/dt = Rot H
dB/dt = - Rot E
qui relèvent de la réponse linéaire ou les quantités E, B, Rot ont tous des propriétés tensorielles.
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Digression: On dit souvent que le champ électrique engendre le champ magnétique, qui engendre le champ électrique...
Ceci n'est qu'a moitié vrai. En effet il est écrit dans les équations que dans un intervalle dt le champ électrique actuel est source du champ magnétique futur, mais aussi dans le même temps, le champ magnétique actuel est source du champ électrique futur
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La formule intégrale des équations de Maxwell a été formulée par Kirchoff (dans l'approximation scalaire) pour expliquer l'astuce magique de Huygens et Fresnel
En physique du solide on doit tenir compte que la causalité s'exprime sur un espace R3.
L'expression de K° s'exprime donc sous la forme:
:
K° (B, A, r, r',t, t')
Ou l'on effectue une transformée de Fourier sur r et r' ce qui se donne la forme:
K° (B, A, q, q', t, t')
En conclusion.
Tous les exemples données ci-dessus concernent la mesure (c'est a dire l'expérimentation) dont le principe est d'agir avec A sur un système pour avoir une réponse B. On se place suivant une relation linéaire généralisée pour en déduire le noyau K°. De là on passe de l'expérimentation a la construction d'un modèle qui puisse retrouver les propriétés de K°. En fait cela ne se fait pas en 2 temps, mais par des incessants aller-retour entre expériences et théorie jusqu’à "convergence" ou consensus. Selon les problèmes ce peut-être un énorme microcosme international de chercheurs, comme c'est le cas pour la supraconductivité a haute température.
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Envoyé par Anacarsis 
