Séparation des échelles, développement de Chapman-Enskog

[invite15d57cbf]

Bonjour,

J'étudie actuellement la méthode de Boltzmann sur réseau (plus connue sous l'acronyme anglais LBM: Lattice Boltzmann Method) qui est une alternative aux équations de Navier-Stokes pour étudier numériquement la mécanique des fluides.

Un développement, qu'on appelle de Chapman-Enskog, peut être appliqué à l'équation gouvernement la LBM pour montrer que, sous certaines hypothèses, cette équation implique les équations de continuité et de quantité de mouvement du modèle de Navier-Stokes. L'une des bases de ce développement est de "couper" le temps en deux échelles différente: t->(t1,t2). On considère que t1 correspond à ce qui se passe à des échelles relativement rapide (typiquement les phénomènes d'advection), t2 à des échelles de temps assez lentes (typiquement la diffusion). Jusque là, je comprends l'idée.

Cependant, dans tous les papiers et thèses sur lesquels je suis tombé, il est dit sans plus de précision que l'on peut alors développer toutes les dérivées temporelles de la manière suivante, au second ordre, en introduisant un petit paramètre :
où les deux dérivées partielles dans le terme de droite ont même ordre de grandeur, la différence étant introduite par les puissances succesives de
La dérivée spatiale est de même développée, cette fois-ci seulement à l'ordre 1, en posant

Cela me parait assez particulier, mais je pense comprendre l'idée derrière cette sorte de développement limité pour dérivées partielles (l'idée de séparation des échelles donc). Cependant, je ne vois pas ce qui pourrait justifier l'absence de terme d'ordre 0. Le paramètre introduit est supposé être petit (on peut en fait le considérer comme étant du même ordre de grandeur que le nombre de Knudsen) , et donc je ne comprends pourquoi on retrouve cette petitesse directement, sans terme ne dépendant pas de . Un développement qui m'aurait paru plus cohéren a priori aurait été: , de même pour la dérivée temporelle. Un DL classique en fait, comme il est d'ailleurs appliqué aux fonctions dans le développement de Chapman-Ensog:


Merci d'avance si vous avez quelques explications à apporter
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[VirGuke]

Salut,

Le développement de Chapman-Enskog est une méthode qui a été introduite par Chapman et Cowling notamment en 1970, ils ont certainement donné un sens mathématique à l'expansion des dérivées dans leur article mais depuis ça a été repris tel quel par tous les chercheurs qui veulent faire semblant d'avoir des maths dans leur introduction mais sans se pencher trop sur la question.

En gros, ça revient à faire deux hypothèses :
- la distribution f est proche de l'équilibre
- l'ordre de grandeur des dérivées de f sont petites devant f

Si tu veux les détails du raisonnement je te conseille de chercher leur article, en revanche sache que développement sert surtout à cacher le problème, la théorie des LBM s'appuie sur la projection des équations sur les polynômes de Hermite et pour ça le mieux c'est que tu te penches sur l'article de référence dans le domaine :
Kinetic theory representation of hydrodynamics: a way beyond the Navier–Stokes equation . X. Shan, X.-F. Yuan et H. Chen

ou si tu veux des détails un peu plus avancés mathématiquement, la thèse de Malaspinas : Lattice Boltzmann Method for the Simulation of Viscoelastic Fluid Flows

[invite93279690]

Salut,

Juste pour temperer un peu le commentaire de VirGuke, je tiens a preciser que les developpements de type Hilbert ou Chapman-Enskog ne sont pas juste la pour
des physiciens en manque de maths et ayant envie d'impressionner la galerie. Ils sont a la base des recherches en maths actuelles pour deriver les equations du regime hydrodynamique, jusqu'a Navier-Stockes, a partir de l'equation de Boltzmann comme c'est d'ailleurs tres bien explique ici par exemple.
Par ailleurs, si j'ai bien compris, l'existence d'un developpement en puissance du nombre de Knudsen (Hilbert ou Chapman-Enskog) est independant d'une projection sur les polynomes d'Hermites qui, dans le meilleur des cas, permet de motiver la forme du developpement et surtout le tronquer de maniere consistante. C'est excellemment bien explique ici (et faudra que je le lise en details).

[invite7ce6aa19]

En gros, ça revient à faire deux hypothèses :
- la distribution f est proche de l'équilibre
- l'ordre de grandeur des dérivées de f sont petites devant f

Bonjour,

C'est plus précis que cela

La distribution f est à l'équilibre local. Dit autrement a l'approximation hydrodynamique le système tout entier est un ensemble de tout petits systèmes à l'équilibre thermodynamique, mais pas a l'équilibre entre eux. Cela se traduit par 2 conséquences:

1- Les dérivées de f sont petites (cela traduit le fait que 2 petits systèmes thermodynamiques voisins sont presque pareils).

2- L'existence de 2 échelles de temps:

A- une rapide qui décrit la dynamique rapide d'un petit système vers l'équilibre local.

B- Une lente qui représente la dynamique de relaxation de l'équilibre thermodynamique de l'ensemble.

Les échelles de temps ne sont pas pour autant séparées mathématiquement , car la dynamique rapide est esclave de la dynamique lente, ou si l'on veut les dynamiques rapides suivent adiabatiquement la dynamique lente.

Une fois compris cela, tout le reste c'est du calcul.

[A voir en vidéo sur Futura]

[VirGuke]

Oups, au temps pour moi, je me suis mal fait comprendre, bien sûr que le développement de f est nécessaire et a du sens, d'ailleurs quand on s'en éloigne ça se voit tout de suite, c'est le développement des dérivées qui ne veut rien dire en l'état et qui est repris tel quel (et c'était la question de Recuerdo).

D'ailleurs gatsu si tu regardes bien, le développement des dérivées est sorti du chapeau dans la thèse de master de Peng. Et j'ai parcouru en diagonale les slides sur le développement de hilbert, à aucun moment ils proposent de développer gradx() en puissances.
Ce que je voulais dire c'est que le développement en puissances des dérivées n'est pas nécessaire quand tu te sers des polynômes de Hermite parce que tu te retrouve directement à exprimer les coefficients d'odre 1 en fonction de ceux d'ordre 0 sans bidouillage. Mais par contre développer f c'est la première chose à faire presque.

@mariposa : on peut trouver un sens physique à ces choses mais c'est pas pour autant que ça a un sens mathématique et on peut toujours faire des calculs sur des choses qui n'ont pas de sens
Par contre tu le dis toi même, f n'est pas à l'équilibre localement, c'est tout l'intérêt

[invite7ce6aa19]

@mariposa : on peut trouver un sens physique à ces choses mais c'est pas pour autant que ça a un sens mathématique et on peut toujours faire des calculs sur des choses qui n'ont pas de sens
Par contre tu le dis toi même, f n'est pas à l'équilibre localement, c'est tout l'intérêt

Bonjour,


C'est le contraire. C'est parceque on comprend un phénomène physique (le sens physique) que l'on peut faire des calculs qui ne sont que l'écriture formelle de la physique. Parler de sens mathématiques n'a strictement aucun sens.

[invite93279690]

D'ailleurs gatsu si tu regardes bien, le développement des dérivées est sorti du chapeau dans la thèse de master de Peng. Et j'ai parcouru en diagonale les slides sur le développement de hilbert, à aucun moment ils proposent de développer gradx() en puissances.

Pour les slides en effet, ils utilisent, dans cette presentation, une methode differente. Mais effectivement je croyais que tu parlais de Chapman-Enskog en general et pas du "truc" avec les derivees partielles en particulier.

Ce que je voulais dire c'est que le développement en puissances des dérivées n'est pas nécessaire quand tu te sers des polynômes de Hermite parce que tu te retrouve directement à exprimer les coefficients d'odre 1 en fonction de ceux d'ordre 0 sans bidouillage. Mais par contre développer f c'est la première chose à faire presque.

D'apres le document que j'ai mis en effet, il ne semble pas important de faire le truc des derivees partielles pour retrouver Navier-Stockes puisque l'ordre 1 suffit en principe et il l'elimine rapidement en negligeant les derivees de la contribution hors equilibre local devant les derivees de la partie a l'equilibre local. Mais il me semble que pour aller au dela de Navier-Stokes, il faut utiliser ce "truc" des derivees partielles.

Il me semblait que cela permettait d'obtenir le regime de Burnett mais que cette derniere avait tendence a etre instable et que par ailleurs la strategie ne fonctionait plus au dela de Burnett, mias bon je ne sais pas; le niveau de cette these de master est largement suffisant pour ce que je desire savoir sur le sujet pour l'instant.

[VirGuke]

Il me semblait que cela permettait d'obtenir le regime de Burnett mais que cette derniere avait tendence a etre instable et que par ailleurs la strategie ne fonctionait plus au dela de Burnett, mias bon je ne sais pas; le niveau de cette these de master est largement suffisant pour ce que je desire savoir sur le sujet pour l'instant.

Ben si t'as le courage un jour, jette un oeil au paragraphe Chapman-Enskog de la thèse doctorale de Malaspinas. Faut s'armer de patience mais tu verra, il n'y a pas besoin d'utiliser ce "truc" et les résultat viennent tout seul jusqu'à l'ordre que tu veux.
D'ailleurs c'est très instructif, il explique assez bien l'importance de l'ordre de la troncature sur les équations que t'obtiens et les liens avec le support des vitesses (DnQp) qu'il faut choisir.

[invite15d57cbf]

Salut,

merci pour vos réponses, et pour avoir mentionné des thèses sur lesquelles je n'étais pas forcément tombé, notamment celle de Malaspinas. J'ai parcouru très rapidement la partie sur Chapman-Enskog de cette dernière, et il semble en effet que ce soit fait très proprement, en tout cas sans utiliser ce dont je parle dans le premier message. Je vais me pencher un peu plus sérieusement dessus, et aussi essayer de trouver les premiers papiers qui utilisent un développement des dérivées temporelles et spatiales pour voir si il y a un fondement solide ou si c'est "simplement" une sorte astuce à la physicienne (mais qui marche relativement bien, en tout cas au second ordre)

[invite93279690]

Ben si t'as le courage un jour, jette un oeil au paragraphe Chapman-Enskog de la thèse doctorale de Malaspinas. Faut s'armer de patience mais tu verra, il n'y a pas besoin d'utiliser ce "truc" et les résultat viennent tout seul jusqu'à l'ordre que tu veux.
D'ailleurs c'est très instructif, il explique assez bien l'importance de l'ordre de la troncature sur les équations que t'obtiens et les liens avec le support des vitesses (DnQp) qu'il faut choisir.

Je viens de parcourir plus de la moitie de la these de Malaspinas et il raconte exactement la meme chose que le rapport du master que j'ai donne (ils etaient dans la meme equipe apparemment).

Je peux me tromper mais je crois que tu confonds l'ordre de troncation dans le developpement sur les polynomes d'Hermites (et effectivement Malaspinas etudie a peu pres tous les ordres par ordre decroissant) et l'ordre dans le developpement en puissances du nombre de Knudsen. Et, jusqu'a la page 100 en tout cas, Malaspinas ne va jamais au dela de l'ordre 1 en puissance du nombre de Knudsen la ou Peng proposait au moins une strategie pour aller plus loin en principe; strategie qui est celle habituelle malheureusement.

Cela etant, je n'arrive pas bien a comprendre quel est le role joue par le developpement sur les polynomes d'Hermite par rapport a une situation ou on ne ferait pas cette decomposition et ou on developperait en puissances du nombre de Knudsen; ca a l'air d'etre important pour la coherence du calcul mais je n'arrive pas a savoir , la comme ca tout de suite, ce qu'on rate si on ne decompose pas sur cette base de fonctions.

[VirGuke]

Je viens de parcourir plus de la moitie de la these de Malaspinas et il raconte exactement la meme chose que le rapport du master que j'ai donne (ils etaient dans la meme equipe apparemment).

Je peux me tromper mais je crois que tu confonds l'ordre de troncation dans le developpement sur les polynomes d'Hermites (et effectivement Malaspinas etudie a peu pres tous les ordres par ordre decroissant) et l'ordre dans le developpement en puissances du nombre de Knudsen. Et, jusqu'a la page 100 en tout cas, Malaspinas ne va jamais au dela de l'ordre 1 en puissance du nombre de Knudsen la ou Peng proposait au moins une strategie pour aller plus loin en principe; strategie qui est celle habituelle malheureusement.

Tu vois quelque part dans la thèse de Malaspinas? Je n'ai rien dit de plus, après les deux utilisent la projection sur la base de Hermite.
D'ailleurs Malaspinas n'écrit pas mais , f1 peut contenir toute la partie hors équilibre.

Cela etant, je n'arrive pas bien a comprendre quel est le role joue par le developpement sur les polynomes d'Hermite par rapport a une situation ou on ne ferait pas cette decomposition et ou on developperait en puissances du nombre de Knudsen; ca a l'air d'etre important pour la coherence du calcul mais je n'arrive pas a savoir , la comme ca tout de suite, ce qu'on rate si on ne decompose pas sur cette base de fonctions.

Sur un ordinateur tu ne peux simuler que des problèmes discrets, donc f continue tu peux t'asseoir dessus à moins de travailler sur un espace vectoriel de dimension finie auquel cas tu simule juste les coefficients. D'où la projection sur une base.

La base de Hermite pour plusieurs raisons qui n'en font qu'une finalement, la fonction poids de ces polynômes est exp(-x²) qui se trouve être la distribution de Boltzmann donc les 3 premiers coefficients de la projection sont les grandeurs physiques intéressantes.
Bref, si tu es capable de simuler correctement la troncature à l'ordre 3 tu as rho et u.

Finalement, si tu veux simuler tes équations correctement, tu dois être capable d'intégrer le produit scalaire de deux de tes polynômes donc calculer correctement un polynôme d'ordre 6 en 1D.

Si tu remonte dans l'autre sens, tu as besoin de f en 6 valeurs de v pour simuler correctement le polynôme f^n projection de f qui te donne les même grandeurs physiques que f (rho et u).

[invite93279690]

Si tu relies correctement, il n'y a pas besoin de developpement tout simplement parce qu'il s'arrete au premier ordre directement point barre. Le epsilon pour les derivees temporelles et spatiales n'est pas mis explicitement mais est discute explictement pour degager les derivees de f^(1)...parce que ca donne un truc d'ordre 2 en le nombre de Knudsen.

Je ne dis pas cela pour avoir raison mais relis correctement et tu verras qu'il n'utilise pas le developpement seulement parce qu;il ne va pas au dela de Navier-Stockes.