Caténoïde : merci savon de nous faire faire ces calculs !!

[invite02e7ea6b]

Bonjour,

Comme indiqué je cherche à déterminer la surface minimale d'un film de savon tendu entre deux cercles coaxiaux de rayon et .
On peut se douter que le résultat est sous forme d'une chaînette (d'ailleurs comment un problème apparemment complexe peut-il avoir une solution aussi simple et qui revient dans de nombreux problèmes ??!).

Voilà où j'en suis rendu :
L'axe des cercles est l'axe z et le rayon est porté par r le rayon polaire

On cherche donc à minimiser où

En multipliant l'équation de Lagrange par et en utilisant l'expression de j'obtient (après quelques lignes de calculs) :

Mes problèmes commencent ici, j'ai plusieurs fois tenté de faire apparaître la dérivée de ou bien mais sans succès... C'est donc maintenant que je vous demande un coup de pouce pour continuer.
Merci
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[invite9cecbb6f]

A un moment du calcul il y a une astuce, il faut multiplier par r' des deux cotés si mes souvenirs sont bons.
Ça fait apparaitre la dérivé d'un composé et on peut intégrer.

[stefjm]

On peut se douter que le résultat est sous forme d'une chaînette (d'ailleurs comment un problème apparemment complexe peut-il avoir une solution aussi simple et qui revient dans de nombreux problèmes ??!).

Bonjour,
La chaînette sort souvent car e^x et e^(-x) sont la fonctions propres des applications linéaires.
Quand le problème est symétrique, la combinaison linéaire l'est aussi, d'où la chaînette.
Cordialement.

[invite6dffde4c]

Bonjour.
Je ne pense pas que le profil de la surface soit une chainette.
Ne serait-ce parce que si vous éloignez les deux cercles, à une distance donnée, la surface se "pince" et se coupe en deux. Chaque bout se contracte en une surface plane limitée par son cercle.
De plus on obtient une chainette quand les efforts sur la chaine sont parallèles et proportionnels à la longueur du morceau de chaine.
Ici les forces dépendent de la courbure totale de quand peut bout de surface. (La surface est une surface avec deux rayons de courbure de signe contraire.
La surface est telle que le Laplacien est nul: les deux rayons de courbure sont égaux et de signe opposé et la courbure effective de la surface est zéro.
Au revoir.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite02e7ea6b]

@LPFR : et bien dans ce cas on oublie le savon et on cherche simplement la surface minimale entre deux cercles coaxiaux.

@iori : je vais essayer ça.

[invite93279690]

Bonjour,
La chaînette sort souvent car e^x et e^(-x) sont la fonctions propres des applications linéaires.
Quand le problème est symétrique, la combinaison linéaire l'est aussi, d'où la chaînette.
Cordialement.

Salut,

Au cas où tu ne l'aurais pas remarqué, l'équation à résoudre est du premier ordre et non linéaire. La solution de cette équation nécessite deux conditions aux bords à cause de la non linéarité.
Il se trouve qu'en effet, également, la solution de cette équation satisfait également une équation linéaire triviale du second ordre en tout point où sa dérivé ne s'annule pas. Cela ne marche donc pas au milieu du film de savon par exemple.
Excepté en ces points spécifiques, on peut donc développer la solution sur la base des solutions de cette équation linéaire de deuxième ordre et la réinjecter dans l'équation de départ pour voir ce que cela donne et il se trouve que cela marche très bien.

Bref, tu as raison, mais comme d'hab ton discours est d'une obscurité sans nom.

[stefjm]

Bref, tu as raison, mais comme d'hab ton discours est d'une obscurité sans nom.

Quand je suis pressé, mon discours est concis.

[invite6dffde4c]

Bonjour.
Vous pouvez oublier ce qui vous chante. Mais une membrane savonneuse prend la surface minimale en absence de gravité et de différence de pression entre les deux faces.
Ce n'est définitivement pas une caténoïde de révolution.
Au revoir.

[stefjm]

On peut se douter que le résultat est sous forme d'une chaînette (d'ailleurs comment un problème apparemment complexe peut-il avoir une solution aussi simple et qui revient dans de nombreux problèmes ??!).

La chaînette sort souvent car e^x et e^(-x) sont la fonctions propres des applications linéaires.
Quand le problème est symétrique, la combinaison linéaire l'est aussi, d'où la chaînette.
Cordialement.

Bonjour,
Note que je ne réponds qu'à une seule interrogation de ooola.
Pourquoi la chaînette revient si souvent? (parce que fonction propre des systèmes linéaires)
Je ne me suis pas prononcé sur ce cas particulier. (C'est ooola qui se doute que c'est une chaînette, pas moi...)

Au cas où tu ne l'aurais pas remarqué, l'équation à résoudre est du premier ordre et non linéaire. La solution de cette équation nécessite deux conditions aux bords à cause de la non linéarité.
Il se trouve qu'en effet, également, la solution de cette équation satisfait également une équation linéaire triviale du second ordre en tout point où sa dérivé ne s'annule pas. Cela ne marche donc pas au milieu du film de savon par exemple.
Excepté en ces points spécifiques, on peut donc développer la solution sur la base des solutions de cette équation linéaire de deuxième ordre et la réinjecter dans l'équation de départ pour voir ce que cela donne et il se trouve que cela marche très bien.

Je n'ai pas été regardé si loin...

Bref, tu as raison, mais comme d'hab ton discours est d'une obscurité sans nom.

Bah non, je n'ai pas raison...
J'ai raison dans le cas linéaire (et je ne prétendais pas plus) et dans les cas où on a de la chance...
Cordialement.

PS : @ gatsu : J'ai enfin compris le formalisme qui permet de passer de cos à exp proprement : transformée de Hilbert. (et toute les symétries qui s'ensuivent...)

[stefjm]

Bonjour.
Vous pouvez oublier ce qui vous chante. Mais une membrane savonneuse prend la surface minimale en absence de gravité et de différence de pression entre les deux faces.
Ce n'est définitivement pas une caténoïde de révolution.
Au revoir.

Bonjour LPFR,
Je ne suis sans doute pas encore bien réveillé, mais n'est-il pas question de ceci dans ce fil?
http://fr.wikipedia.org/wiki/Cat%C3%A9no%C3%AFde
http://www.mathcurve.com/surfaces/ca...catenoid.shtml
Cordialement.

[invite93279690]

Bonjour.
Vous pouvez oublier ce qui vous chante. Mais une membrane savonneuse prend la surface minimale en absence de gravité et de différence de pression entre les deux faces.
Ce n'est définitivement pas une caténoïde de révolution.
Au revoir.

Le résultat attendu est pourtant une caténoïde. La difference de pression entre les deux faces est nulle pour la raison que tu mentionnes plus tot, la courbure globale de la surface est nulle, la seule chose qu'il faut minimiser est la surface qui est de révolution et donc cela à revient à minimiser (en discrétisant le film de savon)
la somme de surfaces élémentaires le long



là ou pour l'équation de la chainette il faut minimiser l'energie potentielle totale de la chaine qui peut s'écrire comme la somme de l'energie potentielle de masses constituant la chaine à intervalles réguliers



Si la densité linéique de masse de la chaine est uniforme, le problème à résoudre est le même dans les deux cas.

[stefjm]

Au cas où tu ne l'aurais pas remarqué, l'équation à résoudre est du premier ordre et non linéaire. La solution de cette équation nécessite deux conditions aux bords à cause de la non linéarité.
Il se trouve qu'en effet, également, la solution de cette équation satisfait également une équation linéaire triviale du second ordre en tout point où sa dérivé ne s'annule pas. Cela ne marche donc pas au milieu du film de savon par exemple.
Excepté en ces points spécifiques, on peut donc développer la solution sur la base des solutions de cette équation linéaire de deuxième ordre et la réinjecter dans l'équation de départ pour voir ce que cela donne et il se trouve que cela marche très bien.

C'est normal que cela marche très bien car c'est un problème d'optimisation et ce genre de problèmes, les automaticiens (et la nature) savent bien les résoudre...

Plus sérieusement, l'équation de départ est non linéaire, mais il y a une contre réaction (comme quasiment toujours dans les problèmes de physique) ce qui permet de linéariser facilement autour du point de fonctionnement.
En effet, quand il y a une contre réaction (ici sans doute spatiale) et présence d'intégration temporelle pure dans la boucle (au moins une entre vitesse et position), on obtient en régime permanent la sortie égale à la consigne (S=E) et donc un système linéaire, bien que le système de départ en boucle ouverte ne le soit pas.

Bref, tu as raison, mais comme d'hab ton discours est d'une obscurité sans nom.

Pour un physicien sans doute...Pas pour un automaticien.

Ta "réinjection" de physicien correspond à une linéarisation autour du point de fonctionnement pour un automaticien.
En fait, tu fais jouer le modèle à partir d'une solution approchée (linéarisée par la boucle fermée)

Cela marche en cas de stabilité du système en BF.

Et c'est intéressant, même si cela parait obscur...

Cordialement.

[invite6dffde4c]

Re.
Effectivement, la surface minimale est bien une caténoïde Wikipedia.
Faut-il encore le prouver: montrer que la courbure locale est nulle dans n'importe quel point.
A+

[invite57f37970]

j'obtient (après quelques lignes de calculs) :

Mes problèmes commencent ici, j'ai plusieurs fois tenté de faire apparaître la dérivée de ou bien mais sans succès... C'est donc maintenant que je vous demande un coup de pouce pour continuer.
Merci

Bonjour,
Qu'est-ce qui ne va pas avec le fait de l'écrire (rigueur mise à part) donc ?

[invite02e7ea6b]

@quarktop : ah bah je tournais autour de cette chose là... merci de m'avoir débloqué j'arriverai à faire la suite.

bye

[invite93279690]

Ta "réinjection" de physicien correspond à une linéarisation autour du point de fonctionnement pour un automaticien.
En fait, tu fais jouer le modèle à partir d'une solution approchée (linéarisée par la boucle fermée)
Cela marche en cas de stabilité du système en BF.
Cordialement.

Ce que j'ai raconté est exact à partir du moment où la solution est au moins de classe C2 point barre. Il n'est absolument pas question de stabilité linéaire ici, en tout cas pas dans la résolution du problème telle que je l'ai présentée.

[stefjm]

Ce que j'ai raconté est exact à partir du moment où la solution est au moins de classe C2 point barre. Il n'est absolument pas question de stabilité linéaire ici, en tout cas pas dans la résolution du problème telle que je l'ai présentée.

Si ta minimisation de surface conduit à une courbe instable, t'en déduit quoi?
(ici, c'est stable, ça l'est peu être toujours en physique, rarement en auto.)

[invite93279690]

Si ta minimisation de surface conduit à une courbe instable, t'en déduit quoi?
(ici, c'est stable, ça l'est peu être toujours en physique, rarement en auto.)

Mais ce n'est absolument pas la question !! Il n'y a même pas de temps dans ce problème.
Par ailleurs, ce qui est sûr c'est que la solution caractérise un état extremum de l'aire de la surface. Pour savoir si c'est un minimum ou un maximum, il faut calculer la dérivée fonctionnelle d'ordre 2, l'évaluer lorsque r(z) est la caténoïde et s'assurer que cette "matrice continue" est définie positive.

[stefjm]

Il n'y a pas de temps car on ne s'intéresse qu'à la valeur finale, espérée existante, ce que chacun vérifie avec des méthodes un peu différentes, mais qui au fond sont sans doute les mêmes.

(Une forme quadratique définie positive ne doit pas être bien loin des valeurs propres négatives et des fumeux pôles à valeurs réelles négatives. Je n'ai pas regardé en détail, j'intuite et je me plante peut-être.)

Cordialement.