Bonjour, d'où vient le terme non linéaire de l'équation d'Einstein je vous prie? Les composantes du tenseur d'Einstein(qui font intervenir des produits e symboles de connexions via le tenseur de Riemann.). font intervenir de manière non linéaire les composantes du tenseur métrique.
Merci d'avance et bonne après midi.
Bonjour,Envoyé par physik_theory
Bonjour, d'où vient le terme non linéaire de l'équation d'Einstein je vous prie? Les composantes du tenseur d'Einstein(qui font intervenir des produits e symboles de connexions via le tenseur de Riemann.). font intervenir de manière non linéaire les composantes du tenseur métrique.
Merci d'avance et bonne après midi
Mathématiquement, on peut traduire la question en, pourquoi ces termes non-linéaires sont-ils déjà là dans le tenseur de courbure de Riemann. Ces termes additionnels sont indispensables pour pouvoir faire de cet objet un tenseur, c'est-à-dire qu'il se transforme correctement sous les changements de coordonnées. En fait, on pourrait presque le voir (voir la deuxième formule encadrée de https://fr.wikipedia.org/wiki/Tenseur_de_Riemann) comme la "dérivée covariante anti-symétrisée des symboles de Christoffel agissant sur leur premier indice", mais ce serait incorrect car les symboles de Christoffel ne sont pas des tenseurs. Et il est tout à fait non-trivial de construire un tenseur à partir d'objets non tensoriels comme les dérivées partielles (non covariantes) et les symboles de Christoffel (pas des tenseurs). Pourtant, cette combinaison particulière des symboles et de leurs dérivées donne bien un tenseur. Pour la raison plus concrète de leur origine, elle vient de la définition du tenseur de Riemann, qui est la première formule encadrée de la page wikipédia ci-dessus, où ce tenseur traduit la non-commutation des dérivées covariantes.
Physiquement, on peut un peu voir ces termes non-linéaires dans l'équation d'Einstein comme des sources gravitationnelles supplémentaires par rapport à l'énergie-impulsion de la matière, mais des sources qui viendraient de l'énergie du champ gravitationnel lui-même. Mais c'est à prendre avec des pincettes car on ne peut pas assigner un tenseur énergie-impulsion à la gravité, seulement un pseudo-tenseur. Donc son sens physique est douteux...
Une petite précaution par ailleurs : je crois qu'il y a déjà des non-linéarités en la métrique de l'équation d'Einstein dans les termes sans produits de connexions, à cause de la présence de la métrique inverse.
Salut,
Je suis d'accord avec l'interprétation (même si je suis également d'accord pour les pincettes). Petit analogie qui me le donne à penser :
Quand on étudie la quantification du champ gravitationnel par les méthodes habituelles de la théorie quantique des champs et la théorie des perturbations on constate que la théorie est non renormalisable (c'est archi connu). Et on peut vérifier que ce caractère vient du fait que :
- le champ est tensoriel
et/ou
- le graviton interagit avec lui-même, ce qui est source de non linéarité (le photon, par exemple, n'interagit pas avec d'autres photons, du moins pas directement).
"Il ne suffit pas d'être persécuté pour être Galilée, encore faut-il avoir raison." (Gould)
Tout à fait d'accord, en rappelant qu'en général une théorie quantique des champs donnée peut être bien entendu être auto-interagissante et renormalisable.
Arg, oui, exact. Mon et/ou est faux (c'est je crois le cas de la théorie en phi^4 il me semble, si tu peux confirmer). Ca doit être ET.
"Il ne suffit pas d'être persécuté pour être Galilée, encore faut-il avoir raison." (Gould)
Oui, phi^4 par exemple ou aussi les théories de jauge non-abéliennes il me semble.
C'est ainsi que l'on peut construire la dérivée covariante. Pour un tenseur 1 contravariants(si je ne me trompe pas.). :on retrouve des coefficients de connexion des dérivée partielle "standard" de vecteur(éléments non tensoriel.). et pourtant la quantité que j'ai mises est une composantes d'un tenseurs;
Beh justement. On retrouve la dérivée covariante quelque part :
Merci d'avance et bonne après midi
Pourquoi douteux?
Tu consideres que l interpretation physique decoule des propriétés mathématiques alors que Einstein a construit son équation sur le modèle de l'équation de Poisson: Laplacien V = rho. G
Il y a donc 2 sources d'energie:
1- la masse rho
2- l'energie gravitationnelle qui en masse donne un terme proportionnel a - (grad V)2 qui est a l'origine du terme non linéaire ( ce que tu as consideré comme quelquechose de douteux).
Ce qui donne une équation de la forme:
Laplacien V +( grad V) 2 = rho
C'est donc la base de l'architecture de l'équation d Einstein.
Maintenant il s'agit de tensorialier cette équation sachant que rho dans une base quelconque doit être remplacée par le tenseur energie- impulsion et que le gradient de potentiel doit être remplacé par une notion de courbure donc mathématiquement par un tenseur ad hoc
Il est rare de présenter l'équation d Einstein de façon heuristique et c'est dommage.
Un bon exemple est le livre de:
Hakim: Gravitation relativiste
editions CNRS.
Certes mais là tu pars d'un vecteur v^k ; si tu pars uniquement de la métrique plus des dérivées partielles ou uniquement des Christoffel plus des dérivées partielles, c'est une autre paire de manches d'en faire un tenseur ! Notamment parce que la dérivée covariante de la métrique s'annule identiquement et donc on ne peut pas construire de tenseur à partir d'elle.C'est ainsi que l'on peut construire la dérivée covariante. Pour un tenseur 1 contravariants(si je ne me trompe pas.). :
C'était bien mon proposBeh justement. On retrouve la dérivée covariante quelque part :. Je ne savais pas au départ si ta question était plus mathématique ou physique.
L'origine du terme non linéaire dans les équations d'Einstein et le fait que la théorie soit non renormalisable n'ont rien a voir. Par contre le fait que la théorie soit non renormalisable est lié au caractere tensoriel du champ, comme tu l'as écrits. En termes de spin les champs de spin S= 2 (et plus) sont non renormalisables. C'est la faillite totale de la théorie des perturbations.
Bonjour,
Pour moi cette phrase ne veut rien dire!!!
La quantification du champ électromagnetique ne pose aucun probleme, non?
Son sens physique est aussi douteux que celui du champ de pesanteur en grad V car, en vertu du principe d'équivalence, je peux trouver localement un système de coordonnées (en chute libre) qui l'annule, donc il s'agit d'une force fictive et on ne peut lui attacher une énergie digne de ce nom comme au champ électromagnétique. Pour une illustration de pseudo-tenseur énergie-impulsion de la gravité :
https://en.wikipedia.org/wiki/Stress...m_pseudotensor
Je ne décrirais pas le champ électromagnétique comme auto-interagissant car le photon n'est pas chargé, mais par contre le champ de gluons oui. Je précisais justement que ça ne posait pas forcément de problème en réaction au post précédent.
Merci du livre mais pour généraliser Poisson il a posé un tenseur proportionnel à un autre; pour l'énergie pas de problème; mais pour la gravité il fallait un tenseur de courbure 2 covariants symétrique. Il a pris le tenseur de Ricci. Mais il fallait que en plus sa dérivée covariante soit nul. Et il a fallu donc construire un tel tenseur : tenseur d'Einstein(à partir des identités de Bianchi.). que d'ailleurs on doit en fait à Hilbert je crois. Désolez si je dis le contraire. Mais se tenseur il l'a "pioché" chez les Mathématicien; il ne l'a pas construit dans un but Physique comme le tenseur Énergie Impulsion.
Bonne après midi
Depuis le début le fond de l'interrogation m'échappe.Beh justement. On retrouve la dérivée covariante quelque part :
Les considérations sur les dérivées covariantes ou la courbure sont purement mathématiques. Si on étudie une variété riemannienne sans torsion, le tenseur de Riemann apparaît "naturellement" comme caractérisant certaines propriétés locales (en particulier l'obstruction à une structure affine). De même la notion de dérivée covariante est juste celle de dérivée, c'est la non covariante (la dérivée composante par composante dans un système de coordonnées arbitraire) qui est artificielle.
Se poser des questions d'interprétation là-dessus, c'est un peu comme se demander pourquoi on choisit le centre et la valeur du rayon pour caractériser un cercle en euclidien.
Là où une interprétation physique de l'équation d'Einstein est disons, utile, ou significative, c'est dans l'égalité du tenseur de courbure d'Einstein et du tenseur de densité d'énergie-quantité de mouvement.
Ou encore, pour le voir autrement, on constate:
1) qu'il y a des trajectoires de chute libre
2) qu'elles présentent certaines régularités;
2) qu'on peut rendre compte de ces régularités comme étant celles des géodésiques d'une variété pseudo-riemannienne.
Cela déjà pourrait demander interprétation!
3) Que (constat) le tenseur d'Einstein (de construction assez naturelle à partir du tenseur de Riemann) pour cette variété pseudo-riemannienne est proportionnel à la densité d'énergie-impulsion.
Et ça, ça demande "interprétation"!
Pour toute question, il y a une réponse simple, évidente, et fausse.
Dans la loi de Newton tu annules ( par un repere universellement acceleré) seulement la composante constante G° du champ mais pas les autres cad (dG/dr)° et c'est justement le but d'introduire le concept de courbure pour "éliminer" ce dernier terme. Non?
La notion de force fictive que tu introduis fonctionne uniquement pour la composante G°. Non?
Les deux sont inséparables (non-linéarité et spin 2) puisque partant d'une théorie linéaire d'un champ de masse nulle de spin 2, des considérations classiques de cohérence interne nous amènent à ajouter les termes non-linéaires qui finissent par lui donner la forme complète de la relativité générale. Voir par exemple la boîte 7.1.H et la boîte 17.2 partie 5 dans le livre Gravitation de Misner, Thorne, Wheeler.
Tout à fait, c'est pourquoi j'ai bien précisé le champ de pesanteur en grad V (donc G° pas sa dérivée) est fictif et peut être annulé (en un point ou même le long d'une géodésique).
Note qu'a priori une "énergie" du champ de pesanteur en (grad V)² dépendrait de G°, pas de sa dérivée.
Par contre, je n'ai pas compris ton histoire d'annuler la courbure ?
Certes pour retrouver l'équation d Einstein a partir dun champ de spin S = 2 il faut introduire des termes non linéaires, mais je ne pense que la non renormalisabilité soit directement le fait des termes non linéaires Ce sont par contre ces termes non linéaires qui appelle le developpement en perturbation et donc qui posent la question de la renormalisation.
Pour argumenter cela on peut construire une théorie de spin S = 1 avec des termes non linéaires, sur le modele de l interaction faible et montrer que celle- ci est renormalisable ( quelquesoit l intensite des non linéarités ?)
Je n'ai pas écrit annuler la courbure mais au contraire introduire la courbure pour "éliminer" ( se substituer) au terme dG/dr. C'est bien l'essence de la RG que de remplacer le concept de champ gravitationnel par le concept de courbure.
En effet, c'est exactement ce que je signalais dans mon post #4.
C'est parfait ( je n'avais absolument pas compris ton post #4)
