Loi de Faraday et exercice d'application

[invitea1aa2acf]

Bonjour, j'ai quelques question à vous poser. La première porte sur la loi de Faraday en induction qui dit que =- où est le flux magnétique à travers le circuit. Mais que veut dire flux magnétique à travers le circuit en effet on parle toujours de calculer un flux à travers une surface. Représente t'on toujours un circuit comme une boucle de courant (circulaire ou non) et donc à travers le circuit signifierai:"à travers la surface délimité par les bords de la boucle de courant, dirigé et orienté par le sens de i dans la boucle de courant"? Mon exercice d'application traite d'un solénoïde infinie de rayon h de n spires par unité de longueur parcouru par un courant variable dans le temps i(t) entouré d'une bobine plate de N spires et de résistance R. Pour calculer par le solénoïde dans la bobine, il faudrait donc découpé cette bobine en N circuits (correspondant à N spires) et calculer le flux magnétique à travers chacune de ces spires (qui est le même pour toutes puisque ) le flux totale à travers le circuit serait donc N fois ce flux à travers une spire? (Ce qui me semble bizarre est que la bobine est plate donc intuitivement j'aurais plutôt dit que le flux à travers le circuit était le flux à travers une seule spire). De plus on connaît i(t) dans le solénoïde et non pas dans une spire de la bobine or c'est ce courant là qui oriente la surface.
J'ai une deuxième question sur ce même exercice, on me demande de calculer à l'extérieur du solénoïde (ce qu'on ne s'était jamais demandé auparavant), pour cela je veux utiliser que: div()=- car dans la première question j'ai trouvé que =. Pour cela je voudrais d'abord d'abord étudié les invariances et surtout les symétries de la distribution de charge le problème est que rien n'est donné sur la distribution de charge dans le solénoïde, comment trouver le sens de ainsi que de quelles coordonnées il dépend?
Pourriez-vous m'aider s'il vous plaît? Merci d'avance, bonne journée.
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[invite7ce6aa19]

Bonjour,

Ton solenoïde est composé de boucles que tu mets en série, il est donc légitime d'additionner les tensions induites dans chaque boucle.

Par ailleurs c'est le champ magnétique qui indique le signe de la tension induite et non le courant. Si ta bobine est en circuit ouvert il n y a pas de courant.

[invite6dffde4c]

Bonjour.
Le E dont il est question n'est pas produit par des charges, mais par les variations du champ magnétique.
De que vous avez écrit:

est faux.
Le champ crée par des charges est :


Et celui crée par des variations du champ magnétique est:


Pour ce qui est de la symétrie, il est évident que vous pouvez tourner le solénoïde autour de son axe et ne pas voir de différence. Vous pouvez aussi translater le solénoïde le long de son axe.
Au revoir.

[invitea1aa2acf]

Merci beaucoup pour vos réponses et excusez moi pour l'erreur. Le fait que l'on peut tourner le solénoïde autour de son axe et translater le solénoïde selon de son axe est une considération d'invariance, on peut donc dire que ne dépend pas des coordonnées z et mais même avec ces considérations l'expression de en coordonnées cylindrique reste complexe en effet il reste = il me faudrait donc trouver des plans de symétrie pour éliminer une des deux composantes intervenant dans cette expression. De plus ensuite il me faudra intégrer entre un endroit des l'espace quelconque hors du solénoïde (r>h) et un endroit ou est connu, je pensais à r=h mais qu'elles sont les conditions aux limites sur le solénoïde?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite6dffde4c]

Re.
Vous pouvez montrer que E ne peut pas avoir de composante radiale car ceci rendrait la divergence différente de zéro.
Mais vous ne pouvez pas démontrer que E n'a pas de composante le long de 'z'. Du moins, je ne connais pas de moyen "simple".
Pour calculer la composante tangentielle de E, il faut choisir le bon chemin d'intégration et utiliser le théorème de Stokes sur la surface limitée par le chemin. Ceci permet de calculer la circulation de E en fonction des variations de flux qui traversent la surface. Et de là, déduire E.

J'attire votre attention sur ce problème qui est, en fait, l'idéalisation d'un solénoïde toroïdal très long.
Car dire qu'il n'y a de B qu'à l'intérieur du solénoïde pose des problèmes de base. La divergence de B est toujours nulle, ce qui demande que les lignes du champ soient toujours fermées. Alors, même si le solénoïde est infini, il faut bien que les lignes se ferment par l'extérieur du solénoïde. Dans la réalité, avec un solénoïde très long, les lignes se refermèrent bien par l'extérieur, mais sur des sections beaucoup plus grandes et le champ extérieur est très faible... mais pas nul. Ce qui permet de négliger le champ d'un solénoïde infini.
A+

[invitea1aa2acf]

Re et merci pour votre réponse.
Je ne comprend pas pourquoi E ne peut pas avoir de composante radiale, en effet à l'extérieur du solénoïde div()=0 donc (en écrivant l'opérateur div en cylindrique et comme E ne dépend que de r) =constante pourrait donc être inversement proportionnel à r non?
Soit C un cercle d'axe celui du solénoïde (Oz) et de rayon r (r>h) orienté par i(t),
(Théorème de Stokes)


or à l'extérieur du solénoïde le champ magnétique est nul et et est colinéaire à z donc

donc . Avec votre méthode j'ai donc trouvé la composante selon de E mais pas celle selon z, je ne vois pas sur qu'elle courbe calculer la circulation pour trouver la composante selon z car il faudrait un contour sur lequel r est constant pour pouvoir sortir E de l'intégrale et pour ça je ne vois pas d'autre contour que celui choisi précédemment.
Encore merci, a+.

[invite6dffde4c]

Re.
La divergence, le rotationnel, etc. ne sont pas uniquement des formules de calcul. Ils ont une signification physique que vous semblez ignorer.
Je vous suggère de lire ce petit fascicule.
http://forums.futura-sciences.com/at...aire-nabla.pdf

je pense qu'il vous intéressera. Et vous comprendrez pourquoi je peux affirmer que la divergence de E est nulle, car il n'y a pas de charges le long du solénoïde.

Le cercle en question est le bon chemin. Mais comment l'avez-vous choisi ? Il faut choisir le chemin de sorte que l'intégrale le long du parcours serve à quelque chose. Pour cela il faut pouvoir sortir la norme de E de l'intégrale. Il faut donc que le chemin soit parallèle en tout point à E et que E ait la même norme.
Dans ce cas, et par symétrie, on conclût que c'est un cercle centré qui est le bon chemin.

Et l'intégrale du chemin est immédiate: la norme de E multiplié par la longueur du chemin. Pas besoin d'écrire d'autre formule.

On peut conclure que E n'a pas de composante en 'z' par symétrie. Pour E, tout plan perpendiculaire à l'axe du solénoïde est un miroir de symétrie. Le seul moyen que E soit égal à son image est qu'il soit nul.
Mais... ! Il est toujours hasardeux d'utiliser les miroirs de symétrie avec du champ magnétique. Parce que B ne les suit pas. Si vous placez un miroir qui contient l'axe, vous pourriez conclure que B doit être nul.
On peut s'en tirer avec une pirouette en disant que B n'obéit pas au principe de Curie car il n'est pas un vecteur mais un "pseudo-vecteur". Pour moi B est un vecteur qui n'obéit pas au principe de Curie. Point.
A+

[invite57f37970]

Mais... ! Il est toujours hasardeux d'utiliser les miroirs de symétrie avec du champ magnétique. Parce que B ne les suit pas. Si vous placez un miroir qui contient l'axe, vous pourriez conclure que B doit être nul.
On peut s'en tirer avec une pirouette en disant que B n'obéit pas au principe de Curie car il n'est pas un vecteur mais un "pseudo-vecteur". Pour moi B est un vecteur qui n'obéit pas au principe de Curie. Point.

Bonjour,
Je ne suis pas d'accord, on peut considérer que B obéit à la version du principe de Curie pour les pseudo-vecteurs (qui ne deviennent pas leur opposé sous transformation de parité mais restent égaux à eux-mêmes). La conséquence c'est que contrairement au champ électrique qui doit être contenu dans un plan de symétrie, le champ magnétique doit être perpendiculaire au plan de symétrie. En effet sous une réflexion (image miroir) :

E'(parallèle) = E(parallèle)
E'(perpendiculaire) = -E(perpendiculaire)

B'(parallèle) = -B(parallèle)
B'(perpendiculaire) = B(perpendiculaire)

comme on peut s'en convaincre en considérant de petites boucles de courant à l'origine de ces champs et leur image miroir.

[invitea1aa2acf]

Re et merci pour le fascicule .
Je suis d'accord pour dire que div(E)=0 (d'après Maxwell Gauss et qu'il n'y a pas de charge à l'extérieur du solénoïde) mais je ne comprend pas pourquoi cela entraîne que la composante radiale de E est nul?
J'avais pris un cercle centré sur l'axe du solénoïde et de rayon r>h, comme par étude d'invariance E ne dépend que de r et que r est constant sur le cercle on pouvait sortir la composante de E selon qui est la norme de E selon vous puisque E n'est porté que selon .
Etant donné que l'on parle toujours de plan de symétrie de la distribution de charge, avant de dire que le plan perpendiculaire à l'axe du solénoïde (que j'ai appelé Oz) est un plan de symétrie de la distribution ne faut il pas étudié la distribution de charge dans le solénoïde? Comment savez-vous que la densité linéique de charge en un point M du solénoïde est égale à la densité linéique de charge en un point M' du solénoïde symétrique de M par rapport au plan perpendiculaire à Oz ? (Et pas égale à son opposé par exemple?).
A+ et merci pour toute votre aide.

[invite6dffde4c]

Re.
De quelle distribution de charge parlez-vous ?
Il n'y a pas de charges nettes dans le solénoïde: il y a autant d'électrons que de protons. Ce n'est pas un problème d'électrostatique mais de magnétostatique (ou presque, si le courant est alternatif de base fréquence).
Le plan de symétrie est celui du cylindre infini forme par le solénoïde. Pas d'une quelconque charge inexistante.

Si E avait une composante radiale elle serait la même pour tous les points à la même distance de l'axe de symétrie. Donc si la composante était dirigée vers l'axe la divergence de E serait négative. Et positive si E était sortant.
A+

[invite57f37970]

Si E avait une composante radiale elle serait la même pour tous les points à la même distance de l'axe de symétrie. Donc si la composante était dirigée vers l'axe la divergence de E serait négative. Et positive si E était sortant.

Comme l'a dit El-Oncle dans son post 6 si E est radial en 1/r en cylindriques alors div E = 0 (sauf en r=0) bien que E ne soit pas nul. Je pense que pour montrer que ce E radial est nul il faut appliquer le théorème de Gauss sur un cylindre de même axe que le solénoïde, alors le flux de E à travers ce cylindre est proportionnel à la charge totale à l'intérieur donc est nul, donc ce E radial est nul.

[invite6dffde4c]

Comme l'a dit El-Oncle dans son post 6 si E est radial en 1/r en cylindriques alors div E = 0 (sauf en r=0) bien que E ne soit pas nul. Je pense que pour montrer que ce E radial est nul il faut appliquer le théorème de Gauss sur un cylindre de même axe que le solénoïde, alors le flux de E à travers ce cylindre est proportionnel à la charge totale à l'intérieur donc est nul, donc ce E radial est nul.

Re.
Revenez au problème: il n'y a pas de charges.
A+

[invite57f37970]

Re.
Revenez au problème: il n'y a pas de charges.
A+

C'est bien ce que je dis aussi, il n'y a de charge nulle part
Mais l'absence locale de charge en un r fini ne suffit pas à prouver que le E radial doit être nul à cette valeur de r sous prétexte que div E=0 à cette valeur de r, contrairement à ce que vous disiez à la fin de votre post 10. Il faut aussi savoir qu'il n'y a pas de charges localisées en r=0 pour que le E radial soit nul loin de l'axe. A moins que dans votre post 10 vous ne parliez que de la divergence en r=0.

[invite6dffde4c]

C'est bien ce que je dis aussi, il n'y a de charge nulle part
Mais l'absence locale de charge en un r fini ne suffit pas à prouver que le E radial doit être nul à cette valeur de r sous prétexte que div E=0 à cette valeur de r, contrairement à ce que vous disiez à la fin de votre post 10. Il faut aussi savoir qu'il n'y a pas de charges localisées en r=0 pour que le E radial soit nul loin de l'axe. A moins que dans votre post 10 vous ne parliez que de la divergence en r=0.

Re.
Quand je vois de lignes de champ qui s'éloignent d'une même zone, ligne, ou point, je dis que ces lignes divergent et que la divergence est différente de zéro, même si localement elle peut être zéro.
C'est le cas pour une zone ou un point chargé. La divergence est localement nulle partout sauf dans la zone où il y a des charges. Cela revient à appliquer le théorème de Gauss que vous préconisiez.

Dans ce problème, si la composante radiale de E n'est pas nulle, et quelque soit sa dépendance, cela veut dire que les lignes de champ divergent, alors qu'il n'y a pas de charges dans le problème. Et ça, je le "vois". Je n'ai pas besoin de calculer la divergence localement ni même de calculer le théorème de Gauss avec des équations.
J'ai besoin de le calculer uniquement quand le résultat est différent de zéro.
A+

[invite57f37970]

je dis que ces lignes divergent et que la divergence est différente de zéro, même si localement elle peut être zéro.

C'est bien de là que venait le malentendu ; en fait je parlerais dans ce cas de flux (sur une surface fermée) plus que de divergence, qui peut prêter à confusion employée ainsi.

[invitea1aa2acf]

Re et merci pour votre aide je n'avais pas bien compris l'exercice en fait. Le champ électrique hors du solénoïde n'est pas du a une quelconque distribution de charge puisque la densité de charge est nul en tout point et à tout instant mais ce champ est du à la présence d'un courant variable dans le temps dans le solénoïde. La cause est i(t) et la conséquence est donc d'après le principe de Curie les plans de symétries et d'anti-symétries de la distribution de courant sont aussi les plans de symétries et d'anti-symétries du champ électrique. Le plan orthogonal à Oz passant par le point M auquel on veut calculer le champ est un plan de symétrie de la distribution de courant donc c'est également un plan de symétrie du champ électrique donc appartient à ce plan donc la composante de E selon z est nulle. Mais le plan contenant Oz et passant par le point M auquel on veut calculer le champ est un plan d'anti-symétrie de la distribution de courant donc est perpendiculaire à ce plan donc on sait directement que est porté par non?

[invite6dffde4c]

...Mais le plan contenant Oz et passant par le point M auquel on veut calculer le champ est un plan d'anti-symétrie de la distribution de courant donc est perpendiculaire à ce plan donc on sait directement que est porté par non?

Bonjour.
Il me semble que vous poussez le bouchon un peu loin.
Comme je vous ai dit, l'utilisation des symétries avec des champs magnétiques est toujours hasardeuse. Alors, passer par l'antisymétrie pour dire que le champ induit par les variations du champ crée par quelque chose d'antisymétrique est antisymétrique me semble pour le moins osé. Ça ne marche que si on connait le résultat à l'avance.
Et, de toute façon cela ne démontre pas que la composante radiale est nulle. Utilisez plutôt la divergence ou le flux comme le recommande QuarkTop.
Au revoir.