opérateur annihilation

[elzeardbouffier]

Bonjour,
Le commutateur de l'opérateur annihilation et de son conjugué hermitique est égal à l'opérateur identité par définition. On connait les vecteurs propres de cet opérateur annihilation, on sait les expliciter dans une certaine base.
Pour calculer le braket <alpha,[a,at],alpha> où a est l'opérateur annihilation et ,alpha> un vecteur propre de cet opérateur, on peut utiliser le fait que le commutateur est égal à l'identité et alors on trouve 1 (si alpha> est normé). Mais on peut aussi expliciter le commutateur et alors on trouve, pour le braket : alpha.alpha*-alpha*.alpha où alpha est le complexe valeur propre associée au vecteur ,alpha> or alpha.alpha*-alpha*.alpha=0.
Il y a donc une erreur.
Je soumets donc ce paradoxe à votre sagacité.
Merci
Je vais essayer de joindre un fichier open office dans lequel je détaille un peu les calculs.
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[QuarkTop]

Bonjour,
Le problème ne viendrait-il pas de la supposition at |alpha> = alpha* |alpha> ?

[Dark_hole]

Bonsoir,

Le fait est que l'opérateur d'annihilation et son conjugué commutent, du moins pour le cas des Bosons.

[elzeardbouffier]

Bonjour quark top,
Je ne crois pas parce que:
<alpha|a at|alpha>=<alpha|at a|alpha>* (en retournant le braket et en utilisant le fait que (a at)*=at a
=<alpha|at|a(|alpha>)>
=<alpha|at|alpha x |alpha>> (puisque |alpha> est vecteur propre de a associé à la valeur propre alpha)
=alpha <alpha|at|alpha>, (par linéarité à droite du produit scalaire)
=alpha <alpha|a|alpha>* (en retournant le braket)
=alpha <alpha|a(|alpha>)>*
=alpha <alpha|alpha x |alpha>>* (puisque |alpha> est vecteur propre de a associé à la valeur propre alpha)
=alpha x alpha* x <alpha|alpha>* (par linéarité à droite du produit scalaire)
=alpha x alpha* x <alpha|alpha> (puisque <alpha|alpha> est réel puisque égal à son conjugué (si on retourne le braket))

On fait pareil avec <alpha|at a|alpha> et on trouve alpha* x alpha x <alpha|alpha>.

On n'a donc pas utilisé le fait que at|alpha> serait égal à alpha*|alpha>

merci.
Je vais encore essayer de joindre mon fichier qui est plus lisible.

[A voir en vidéo sur Futura]

[elzeardbouffier]

Bonjour dark hole,
C'est pourtant en utilisant le fait que [a,at]=1 qu'on trouve tous les états et valeurs propres de l'oscillateur harmonique; sans référence à la nature du système étudié. C'est des maths.
Merci

[QuarkTop]

<alpha|a at|alpha>=<alpha|at a|alpha>* (en retournant le braket et en utilisant le fait que (a at)*=at a

Si par (a at)* tu veux dire (a at)t alors (a at)t = a at , pas at a.

[Dark_hole]

C'est pourtant en utilisant le fait que [a,at]=1 qu'on trouve tous les états et valeurs propres de l'oscillateur harmonique; sans référence à la nature du système étudié. C'est des maths.

Je me rends compte de ma bourde, désolé. ( Les opérateurs annihilation commutent entre eux, et non avec leur adjoint, d'où ma confusion)

Sinon, QuarkTop a répondu à la question, en effet l'adjoint du produit de deux opérateurs est égal à l'adjoint du deuxième * l'adjoint du premier.

[elzeardbouffier]

Merci quark top. Alors pour tout opérateur A, AAt est hermitien semble-t-il.
Salut

[elzeardbouffier]

C'est vrai dark hole, c'est d'ailleurs ce qui m'a induit en erreur.
Salut

[elzeardbouffier]

En fait il y a toujours un problème :
D'un côté effectivement, (a at)t = a at. Mais il est vrai aussi que (AB)t = BtAt. Alors en prenant A=a et B=at, on a (a at)t=at a. Mais alors a at = at a et [a,at]=0.
Or si a est l'opérateur annihilation, alors [a,at]=1.
Salut

[QuarkTop]

Alors en prenant A=a et B=at, on a (a at)t=at a.

(a at)t = (at)t at = a at , ça marche

[elzeardbouffier]

C'est vrai, tu as raison. Mon problème est réglé. Merci, excusez-moi
Salut