dégénérescence quantique continue ?

[Asgarel]

Bonjour,
Ma question est simple mais peut-être farfelue: j'aimerais savoir la dégénérescence quantique continue pourrait avoir un sens mathématique.
Si à une valeur propre x on peut associer n états dégénérés |x;1..n>, est ce que ça pourrait avoir un sens (mathématique, donc) d'y associer une infinité non dénombrable d'états que l'on pourrait par exemple noter |x;[0,1]> ?
Si oui, j'aimerais bien connaitre les concepts et domaines mathématiques (et pourquoi pas physique) concernés, pour étudier cela de plus près...
Merci.
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[Deedee81]

Salut,

Ma question est simple mais peut-être farfelue: j'aimerais savoir la dégénérescence quantique continue pourrait avoir un sens mathématique.
Si à une valeur propre x on peut associer n états dégénérés |x;1..n>, est ce que ça pourrait avoir un sens (mathématique, donc) d'y associer une infinité non dénombrable d'états que l'on pourrait par exemple noter |x;[0,1]> ?
Si oui, j'aimerais bien connaitre les concepts et domaines mathématiques (et pourquoi pas physique) concernés, pour étudier cela de plus près...

Il peut y avoir des dégénérescence discrète (par exemple les états de l'électron dans l'atome d'hydrogène), des dégénérescence dénombrable (par exemple l'état d'un électron dans un réseau cristallin) ou continue (l'exemple bateau étant la particule libre).

C'est de l'archi classique de la mécanique quantique.

Même l'état du vide peut être dégénéré continu (un exemple évident étant le vide dans le modèle électrofaible de la théorie quantique des champs qui par le mécanisme de brisure de symétrie et le mécanisme de Higgs conduit à la masse des bosons vectoriels).

Je ne comprend donc pas ce que tu attends d'autre comme "domaine mathématique ou physique". A part ce qui est utilisé en mécanique quantique.

Si tu fais plus références aux mathématiques, alors c'est les espaces de Hilbert, les algèbres d'opérateurs et les C*-algèbres, la théorie spectrale, etc. Ce n'est pas orienté spécialement "dégénérescence", mais c'est un élément qui s'y retrouve , bien entendu.

[Asgarel]

ben mince...
Si c'est archi-classique, ce devrait être dans le Cohen-Tannoudji par exemple, mais j'y trouve pas ce que je cherche dans tout ce qui parle de dégénérescence. J'ai mal cherché ?
Au niveau mathématique, les espaces de Hilbert sont pourtant bien définis sur des bases discrètes pourtant (u nombre infini dénombrable de vecteurs dans la base) ? Tu voudrais dire que les espaces de Hilbert sont aussi le bon formalisme pour des bases continues (infinité non dénombrable de vecteurs dans la base - donc espace de dimension Aleph2) ?
Pour l'exemple bateau de la particule libre, j'avais pourtant l'impression qu'il y avait toujours et encore discrétisation des niveaux d’énergie. Tu veux dire que dans ce cas la MQ prévoirait de revenir à une continuité de ces niveaux d'énergie (comme en classique, quoi) ?
Merci.

[Deedee81]

Oui, tout à fait, on peut parfaitement avoir des espaces de Hilbert avec un nombre infini non dénombrable de dimensions.

Dès que tu as l'opérateur position, rien que ça, c'est le cas. Une base est donnée par |x,y,z>, donc bel et bien infini non dénombrable.

Pour une particule libre, il y a lien entre énergie et fréquence (le bon vieux E=h.nu) mais toutes les fréquences/énergies sont possibles. Ce n'est pas discrétisé. Et pour une fréquence possible, il y a une infinité continue de quantité de mouvements possibles (la direction) => dégénérescence continue (même énergie, directions différentes).

Tu as même (je suis en plein là dedans pour le moment) des espaces de Hilbert tellement énormes qu'ils sont non séparables (l'espace-temps H0 de la gravité quantique à boucles, avant application des contraintes cinématiques). On trouve de tout dans les théories.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Asgarel]

OK, merci bien.
En fait, tout ce que j'ai pu lire sur les espaces de Hilbert se limitait aux dimensions infinies dénombrables, ce doit être la source de mon questionnement existentiel. Discussion close, donc.