Démonstration du formalisme des ondes

[invite396c0ad1]

Bonjour, ceci est mon premier sujet sur le site.
j'ai une question qui parait bete mais qui ne l'est peut etre pas autant que ça:
connaissant le formalisme d'une onde progressive à une dimension,

f(x,t)=Asin(wt-kx)

je me demande tout simplement quelle est la demonstration mathematique qui amene a ce resultat.
Je sais qu'il y en jeu la periodicite spatiale et temporelle ainsi qu'une translation mais la maniere dont les termes sont inserés ne me parait mais si evidente que ça, je voulais donc savoir s'il y a une demonstration derriere.

Merci pour vos reponses et pour l'attention portée a ce sujet!
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[invite9cecbb6f]

De mémoire on établit d'abord l'équation des ondes, puis on obtient une equa diff.
C'est la résolution de cette équation qui donne la forme de l'onde.

Voir ici par exemple: http://fr.wikipedia.org/wiki/%C3%89q...e_d%27Alembert

[invite396c0ad1]

Merci pour la reponse!
Cependant l'equation d'Alembert nous informe juste sur le fait que une fonction f(x +- ct) est solution mais a aucun moment elle nous oblige a introduire la pulation et le nombre d'onde, d'où sortent-t-ils donc

[ThM55]

Si la fonction f est une fonction périodique, on peut la développer en série de Fourier, dont les termes sont des fonctions trigonométriques de diverses fréquences ou pulsations. La pulsation et le nombre d'onde servent à exprimer la périodicité temporelle et spatiale de la composante de Fourier. Pour exprimer qu'une des composantes a la pulsation , on l'exprimera comme fonction de . Elle sera ainsi de période temporelle (puisque cela revient à ajouter à l'argument du sinus). Si la vitesse est fixée et indépendante de la pulsation (cas non dispersif), alors c'est une fonction de et on doit avoir .

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitee3131840]

Bonsoir,

L'introduction de la pulsation et du vecteur d'onde vient du fait que la fonction f que l'on utilisera est harmonique et ce sont les meilleurs grandeurs physique pour caractériser une onde du point de vue spatial ou temporelle! Il s'agit juste de réorganiser l'argument de la fonction f générique que tu donnes pour faire apparaître des grandeurs physiques plus agréables dans le contexte d'étude des ondes en utilisant la relation de dispersion ) l'utilisation des ondes planes progressives (qui vérifient donc l'équation de d'Alembert) sous forme harmonique (sinusoïdale) est une astuce qui trouve sa source dans l'analyse de Fourrier, puisque d'après le principe de superposition n'importe qu'elle onde périodique peut se mettre sous la forme d'OPPH. De fait on peut trouver des résultats laborieux avec des outils très simples!

[invite396c0ad1]

ok, fallait penser aux series de Fourier, merci beaucoup

[stefjm]

Si la fonction f est une fonction périodique, [...]

et sinon pour des cas plus réalistes ?

[invitee3131840]

et sinon pour des cas plus réalistes ?

La transformée de Fourier?

[invite9cecbb6f]

et sinon pour des cas plus réalistes ?

Supposer une onde périodique me parait tout à fait réaliste, c'est vrai dans beaucoup de cas (pour ne pas dire la plupart).
A part les solitons, je ne vois pas trop d'ondes non périodiques.

[invitee3131840]

A part les solitons, je ne vois pas trop d'ondes non périodiques.

Certes elles sont stationnaires mais il y a aussi les ondes évanescentes.

[invite6dffde4c]

...
A part les solitons, je ne vois pas trop d'ondes non périodiques.

Bonjour.
Non. La plupart d'ondes ne sont pas périodiques ni même sinusoidales. Par exemple, une radio qui transmet de la musique ou de la parole. Ou une émission en FM.
Et si vous claquez les doigts, l'onde sonore produite n'est pas périodique.
Et l'onde sonore et celle de radio produite par la foudre, non plus.

Et comme l'a dit DuckDDR il faut utiliser la transformée de Fourier.

Au revoir.

[stefjm]

La transformée de Fourier?

Bonjour.
Non. La plupart d'ondes ne sont pas périodiques ni même sinusoidales. Par exemple, une radio qui transmet de la musique ou de la parole. Ou une émission en FM.
Et si vous claquez les doigts, l'onde sonore produite n'est pas périodique.
Et l'onde sonore et celle de radio produite par la foudre, non plus.
Et comme l'a dit DuckDDR il faut utiliser la transformée de Fourier.
Au revoir.

Bonjour,
J'ai un peu de mal à comprendre pourquoi la transformée de Fourier est préférée à la transformée de Laplace dans ces cas?
En avez-vous une idée?
Cordialement.

[invitee3131840]

Bonjour stefjm,

Un problème de non-causalité des fonctions d'ondes peut-être? Puisqu'on considère beaucoup de problème d'étendue spatiale infinie finalement, puisque le temps n'est pas la seule variable du problème.