Formalisme vectoriel

[invite829bf453]

Bonjour,

Voila, j’essaie depuis peu de formuler divers problèmes de mécanique basique (2d pour l'instant) sous forme vectorielle pour faire des calculs grâce à un programme, mais je n'arrive pas à trouver les solutions de mes équations sans repasser par la forme de système d'équation, ce que j'aimerais éviter.

Voici un exemple des plus simple:
Trajectoire balistique sans frottement.
on note , la position etant

Premier exemple simple du premier ordre, déterminer, connaissant V₀, le temps t_m pour lequel la vitesse s’annule en y.
Je sais très bien faire ça en repassant sous la forme d'un système d'équation, mais pas en restant en vecteur, donc quelqu'un pourrait-il m'indiquer comment procéder?

Merci
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[GrisBleu]

Salut

Comme t est un nombre et A = (a0,a1) un vecteur, leur produit est (t.a0, t.a1)
De manière générale, tu peux
+ additionner 2 vecteurs, terme à terme. Par exemple, si A = (a0,...,an) et B=(b0,...,bn) alors A+B = (a0+b0,...,an+bn)
+ Multiplier, terme à terme, un vecteur et un nombre (réel, complexe, etc.). Par exemple, si A = (a0,...,an) et l un nombre alors l A = (l a0,...,l an)
Il existe, parfois, d'autres opérations, mais celles là devrait te suffire
Cdlt

[invite829bf453]

Je sais bien, je peux très bien me dépatouiller avec ce que j'ai, mais je cherchais un raisonnement plus logique et global.

Par exemple, en formulation par système d'équation, si on ne prend en compte que le y ici, on a: v(t_m)=v_0x-gt_m=0, et par un raisonnement mathématique logique simple, on retrouve t_m=v_0x/g

Je me demandais s'il existait un raisonnement similaire (bien qu'avec des règles différentes peut-être) pour un formalisme vectoriel.

[GrisBleu]

OK, si je comprends, tu a V = t A où A et V sont des vecteurs, et tu cherches à déterminer t
A priori, la norme de V est non nulle (si j'ai bien compris, c'est + ou - la norme de la vitesse initiale), donc, avec le produit scalaire ., tu a
V.V = t V.A et donc t = V.A / V.V (V.A et V.V sont des scalaires, tu donc diviser)
Tout cela n'utilise que les vecteurs, ça devrait répondre à ton besoin
Cdlt

[A voir en vidéo sur Futura]

[Amanuensis]

Si A est constant, et V0 et A ne sont pas colinéaire, cela donne un résultat faux.

(S'il ne sont pas colinéaires, la vitesse ne peut pas s'annuler...)

[GrisBleu]

Salut

Effectivement, pour annuler V, il vaut mieux que A et V0 soit alignes, mais j'avais suppose que c'etait le cas d'ou ||V|| = ||V0|| dans ma reponse (ou je supposais V=-V0 et non V=V(t), qui apres coup, semble assez vraiment peu claire. Faut que j'arrete les reponses pendant des reu
++

[invite829bf453]

Je ne cherche pas l'instant où la vitesse s’annule mais l'instant où sa composante en y s'annule:

Voici comment je procède pour l'instant (même si j'ai avancé, je n'arrive toujours pas à un résultat cohérent):
On a donc V(t)=A.t+V₀.
Je cherche l'instant t_m où (on est bien d'accord qu'on a assez d'info pour connaitre x_m si on connait V₀)
Donc on a

Donc si on suit le raisonnement avec les produits vectoriels:


Or si j'essaie d'appliquer ce résultat je ne trouve pas la même chose qu'avec un système d'équation.
Je pose (où v₀ est la valeur absolue de la vitesse initiale)
Avec un calcul utilisant des systèmes d'équation, je trouve , ce qui semble assez cohérent
Et avec les produits scalaires, je trouve un résultat très bizare:

Quelqu'un voit un problème?

[Amanuensis]

Je ne cherche pas l'instant où la vitesse s’annule mais l'instant où sa composante en y s'annule:

Auquel cas il va être difficile de ne pas parler de composantes !!

Avec un calcul utilisant des systèmes d'équation, je trouve , ce qui semble assez cohérent
Et avec les produits scalaires, je trouve un résultat très bizare:

Quelqu'un voit un problème?

Oui, qui est qu'on trouve cela bizarre !

Si on regroupe les deux résultats, on trouve , soit

, une équation qui permet de calculer la composante x_m. Où est le problème ?

(Je n'ai pas vérifié que c'est le bon x_m, je cherche juste à souligner que x_m étant une inconnue, les deux résultats ne sont pas incompatibles.)

[invite829bf453]

Ouai je vois, en fait je pourrais forcer à utiliser la deuxième coordonnée qui est plus simple à utiliser en multipliant par au lieu de multiplier par , ce qui me redonne bien ma première équation simple.

Maintenant, comme on a assez d'information dans la formule , je me disais, ne serait-il pas possible de tripatouiller cette équation pour avoir quelque chose de la forme pour pouvoir faire une simple réduction?

[invite829bf453]

Bon alors j'ai réussi à faire ça comme ça:

En partant de mon équation A.t_m+V₀=R_m, j'ai deux possibilités, soit je fixe un x pour trouver le y_m et le t_m correspondant, soit je fixe un y pour trouver t et x correspondant.

Je veux donc avoir un système sous forme Dx=b.

Avec un peu de bidouille, j'ai trouvé:

• Dans le cas de x fixé:
  
  
• Dans le cas de y fixé:
  c'est l'inverse:
  
  

Et donc après, une simple réduction permet de trouver ce qu'on cherche.

Déjà est-ce que quelqu'un voit un problème avec cette méthode ou ça a l'air solide?

Secondo, la question se corse quand on en arrive à un degrés de plus pour travailler sur les positions.
J'ai donc comme équation:

Des petits conseils avant que je me lance dans des calculs interminables?^^