Température d'une pièce après 1 seconde sans chauffage

[invitea26bc3bb]

Bonjour,
j'aurai voulu calculer la température d'une pièce ( cubique ) sans chauffage après 1 seconde

Voici mes notations:
T_int⁰ température intérieur initiale ( en K)
Tin température intérieur en fonction du temps
T_ext température extérieur considérer constante ( en K)
S surface d'échange (en m²)
e épaisseur des parois (en m)
λ_verre Conductivité thermique linéique du verre (en W.m^-1.K^-1)
n Nombre de mol d'aire dans la pièce (mol)
T_f température de la pièce après 1 seconde

ici je prend
air = gaz parfait diatomique (bonne approxiation car pression non élevée) : P.V=n.R.T et γ=1,4
V=0,125m³ = 125 l
n=103 V/24,8= 5 mol car il y a une mole d'aire dans un volume de 24,8 l
S=N*l*h = 1,5m²
e = 5.10^-3m
λverre = 1W.m^-1.K^-1


D'après la loi de Fourrier

P_perdu.dt =S.U.(Text-Tint)dt =S.λverre..(Text-Tint).dt/ e < 0 car la pièce cède de la chaleur à l'extèrieur

Premier principe de la thermodynamique appliqué au système dans un intervalle de temps de dt:

n.R.d_Tint/(γ-1)= P_perdu.dt

On rejoint les deux égalités: n.R.dT_int/(γ-1)=S.λ_verre.(T_ext-T_int).dt/e pour T_ext fixé sur l'intervalle de temps dt

On retrouve l'équation différentielle du premier ordre suivante: S.λ_verre.T_ext.(γ-1)/e.n.R= S.λ_verre.T_int.(γ-1)/e.n.R + dT_int/ dt

la solution sans second membre est A.e^{-sλ(γ-1)t/e.n.R} avec A constante

Donc T_f = T_ext + A.e^{-(γ-1)t/e.n.R} = T_ext + (T_int⁰ -T_ext).e^{-S(γ-1)tλ/e.n.R}

lorsque t tend vers + l'infini on obtiens bien T_ext
en t=0s on a bien T_int⁰
Et ça à l'air homogène

Le problème ? Pour t=0s on obtient T_int⁰ mais pour t = 1s on obtient T_ext car l'exposant de l'exponentielle est très grand et négatif... Cela voudrais dire qu'une pièce sans chauffage mettrais 1 seconde pour atteindre l'équilibre thermique avec l’extérieur...

Saurais vous où est l'erreur de raisonnement ou de calcul?

Merci d'avance
et désolé pour les fautes d'orthographe
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[interferences]

Bonjour,

C'est bizarre vous considérez votre gradient de température comme constant et pourtant vous trouvez un gradient nul en moins d'une seconde (le temps que vous avez considéré).
Donc l'hypothèse d'un gradient constant est absurde.
Belle démonstration.

Au revoir

[invitea26bc3bb]

Merci beaucoup =) je vais y réfléchir!

D’ailleurs je viens de voir qu'il y a aussi un problème dans mes valeurs...
Si j'utilise U= λ_verre/e, j'obtiens un U = 1*10³/5=200W.m^-2.K^-1
or d'après les valeurs que je trouve sur internet cette valeur doit être approximativement égale à 6W.m^-2.K^-1

Encore merci pour votre aide

[Boumako]

Bonjour

La valeur est différente car tu ne prends pas les valeurs d'échange superficiel en compte dans ton calcul.
Pour ta formule je n'ai pas regardé en détail, mais au final tu dois avoir une équation de la forme t° finale + (t°initiale - t°finale) * e^(-t/tau)

[A voir en vidéo sur Futura]

[interferences]

Sinon, oublie mon premier message.
Ton gradient dépend bien du temps...

[invitea26bc3bb]

Merci pour vos réponses

Après rectification j'obtiens:

P_perdu = P_perdu(verticale) +P_perdu(horizontale ascendant) + P_perdu(horizontale descendant)

donc on a P_perdu = ( S_verticalesU_verticales +S_horizontale(U_{horizontale descendant} +U_{horizontale ascendant}) )(T_ext-T_int)

c'est-à-dire

P_perdu =(T_ext-T_int)( S_verticales/( 1/hi_verticale + 1/*he_verticale + e/ λ_verre ) + S_horizontale/( 1/hi_{horizontale acsendant} + 1/he_{horizontale ascendant}+ e/ λ_verre ) + S_horizontale/( 1/hi_{horizontale descendant}t+1/he_{horizontale descendant} + e/ λ_verre) )

on simplifie l'écriture en posant A (homogène à des W.K-1) tel que P_perdu=A(T_ext-T_int)

1/U(verticales) =5,7
1/U(horizontale descendant)= 4,4
1/U(horizontale ascendant)=6,9
A= 11,35 W.K-1


Premier principe de la thermodynamique appliqué au système dans un intervalle de temps de dt: n.R.dT_int/(γ-1)= P_perdu.dt
On rejoint les deux égalités. n.R.dT_int/(γ-1)=A(T_ext-T_int).dt

On retrouve l'équation différentielle du premier ordre suivant:
dT_int/dt +T_intA(γ-1)/n.R = AT_ext/(γ-1). n.R
après résolution de l'équation on obtient: T_int =T_ext + (T_int⁰ -T_ext)e^{-tA(γ-1)/n.R}


Vérification: lorsque t tend vers + l'infini on obtiens bien T_ext
en t=0 on a bien T_int⁰
homogène

Numérique: pour une pièce cubique de volume 125L, avec des parois en verre de 5mm d'épaisseur et dont les faces intérieurs sont initialements à la température de la pièce T_int=25°C et dont celles de l’extérieur sont initialement à la température extérieur T_ext= 14°C j’obtiens T_int=T_ext=14°C au bout de 35s.
Il est vrai que je m'attendais à un temps plus long... mais cela est peut être du au température initiale des parois..

Qu'en pensez-vous ?

[Boumako]

Oui ce n'est pas réaliste, une partie du problème réside dans l'initialisation : En réalité la température de la vitre se trouvera à une moyenne de t°int et t°ext.
Par ailleurs l'inertie des parois est bien plus importante que celle du volume d'air. Il serait plus vraisemblable d'ajouter une certaine capacité massique au système.
De plus l'air n'est pas instantanément brassé ; une partie (proche de la paroi) va tendre vers 14°C tandis que l'air au centre va se refroidir moins rapidement.

[invitea26bc3bb]

Bonjour,

j'ai pris une pièce de 1m³ et j'ai rectifié quelque calcul, et j'obtiens une "puissance perdue" de 341W pour une différence de 10 entre la température extérieur et intérieur ce qui me vas plutôt bien.
Mais j’atteins l'équilibre au bout de 50s pour une différence de 1 degré
100s pour 11degré
120s pour 21degré
140s pour 31degré
150s pour41degré

Je ne sais pas comment modifier mes calculs pour tenir compte des températures initiales des parois, comment améliorer mon calcul...

Merci beaucoup pour vos réponses, elle m'ont déjà été très utiles.

[invite8fd0ee2c]

Bonjour,

Vous devriez peut-être partir de l'équation de la chaleur et ainsi vous prendriez en comptre la diffusivité thermique.

[sitalgo]

B'jour,

Étant donné que pour les 0,125 m³ on a env. 13000 j/K pour le verre et 150 j/K pour l'air, il serait plus précis de ne considérer que les pertes du verre en négligeant l'air.

Par ailleurs les valeurs hi et he sont des valeurs normalisées utilisées pour la thermique en bâtiment dans des calculs simplifiés.
Dans un cube de 0,125 m³ il n'y a pas la même convection qu'un local de 30 m³, hi est certainement plus faible.
Quant à he, tu as pris la valeur 1/5,7 pour 1/hi+1/he ce qui correspond à une surface exposée à l'extérieur (davantage de convection, ne serait-ce que par le vent) donc à toi de voir si ton cube est à l'extérieur ou dans un local (auquel cas he = hi)

[Boumako]

En fait la question qu'il faut surtout se poser c'est de savoir à quel endroit tu veux atteindre cette température : Au centre du cube, ou sur une paroi de la boite ?

[invitea26bc3bb]

J'aimerai prendre la température au centre du cube

[invitea26bc3bb]

Merci encore pour vos réponse



Lorsque j'applique l'équation de la chaleur j’obtiens d²T/dx² + d²T/dy² + d²T/dz² =0
Ce qui me donne T(x)=ax+b
T(y)=ay+b
T(z)=az+b
avec a et b deux constante...


Je n'y arrive pas..