Coefficient de corrélation conduisant aux inégalités de Bell

[at89merry]

Bonjour,

Après avoir relu l'article d'Alain Aspect sur internet : "Présentation « naïve » des inégalités de Bell", j'ai effectué par curiosité, le calcul du coefficient de corrélation entre les mesures des puissances transmises après les 2 analyseurs de son expérience, en modélisant les "photons intriqués" de manière classique, comme des trains d'ondes planes se propageant en sens inverses et polarisées rectilignement.


Sauf erreur de ma part, j'ai été surpris de trouver la même expression que celle qui est calculée grâce à la mécanique quantique, et qu'Alain Aspect mentionne dans son article : cos(2(a,b)), a et b étant les angles des 2 analyseurs avec une direction de référence.

D'où mes questions : ce résultat est-il connu ?

Si oui, qu'en disent ceux qui ont fait ce calcul ?

Si non, ce résultat est-il faux ? Quelqu'un pourrait-il vérifier mon calcul ? Je vous joins mon calcul en PDF. C'est un calcul classique pas très compliqué. Mais j'ai bien sûr pu me tromper.


Merci pour vos réponses.
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[chaverondier]

Après avoir relu l'article d'Alain Aspect sur internet : "Présentation « naïve » des inégalités de Bell", j'ai effectué par curiosité, le calcul du coefficient de corrélation entre les mesures des puissances transmises après les 2 analyseurs de son expérience, en modélisant les "photons intriqués" de manière classique, comme des trains d'ondes planes se propageant en sens inverses et polarisées rectilignement.
Sauf erreur de ma part, j'ai été surpris de trouver la même expression que celle qui est calculée grâce à la mécanique quantique, et qu'Alain Aspect mentionne dans son article : cos(2(a,b)), a et b étant les angles des 2 analyseurs avec une direction de référence.

Votre coefficient de corrélation concerne la corrélation des puissances en sortie + des deux polariseurs pour deux flux polarisés rectilignement de la même façon voyageant en sens opposé, cette polarisation étant aléatoire.

Vous comparez ce coefficient à la valeur de p++(a,b) + p--(a,b) - p+-(a,b) - p-+(a,b) obtenue au contraire avec des photons EPR corrélés (équation (5) de Présentation « naïve » des inégalités de Bell). Ils se trouve que ces deux corrélations sont égales.

Il vous faudrait comparer des coefficients de corrélation identiques dans les deux situations : celle où les deux signaux sont EPR corrélés et celle où les deux signaux ont simplement même polarisation rectiligne (cf 3. INEGALITES DE BELL du même document pour plus de détails).

[at89merry]

bonjour,

Dans mon calcul les deux photons sont effectivement corrélés. Car l'angle (lambda) de polarisation des ondes planes que je considère pour modéliser les photons corrélés est le même.

Si les 2 photons avaient été décorrélés, le calcul aurait été plus compliqué car j'aurais du considérer un lambda1 et un lambda2. Alors que mon calcul est simple car je n'ai qu'une variable lambda, qui corrèle les 2 "photons".

Par contre le lambda varie de manière aléatoire d'une paire à l'autre.

Donc de mon point de vue, j'ai bien effectué le calcul correspondant à des photons corrélés, comme dans le cas de l'expérience d'Alain Aspect.

En fait dans son article (§3) Alain Aspect donc un exemple "naïf", ou la mesure est 1 ou -1 selon que la projection de la polarisation des photons corrélés est dans le sens, ou dans le sens inverse de la direction de l'analyseur.
Dans mon calcul, je prend comme mesure, directement la puissance transmise.

Et je trouve classiquement le même résultat que le résultat quantique !!! Et si ce résultat est correct, je me demande ce que cela signifie.

[Nicophil]

Bonjour,

N'est-ce pas ce qui est attendu, en vertu du principe de correspondance et du théorème d'Ehrenfest ?
https://fr.wikipedia.org/wiki/Princi...correspondance

[A voir en vidéo sur Futura]

[at89merry]

Bonjour,

Vous avez raison. Effectivement, le principe de correspondance pourrait expliquer qu'on trouve le même résultat. Après tout, c'est le cas pour le calcul de la figure de diffraction par des trous d'Young : l'application des formules d'optique ondulatoire classique (cohérentes avec les équations de Maxwell) donne le bon résultat, qui est le même que celui qui est donné par la mécanique quantique !!

Cependant, dans le cas de cette expérience particulière, c'est surprenant, car cela pourrait conduire à d'autres interprétations.

En fait mon calcul correspond à une situation où la source lumineuse est intense, de telle manière que les détecteurs ne peuvent pas distinguer les photons un à un, alors que le calcul quantique correspond au fait que les photons arrivent un à un sur les détecteurs, et par conséquent ils détectent des impulsions.
Hormis cela, le dispositif expérimental est essentiellement le même.

Donc si l'on part de la situation où la source lumineuse est intense, les détecteurs mesurent la puissance lumineuse à la sortie des analyseurs. Le coefficient de corrélation est donc C=cos(2(a,b)). Puis on diminue l'intensité de la source lumineuse. Tant que les photons se "recouvrent", les équations de maxwell s'appliquent et le coefficient de corrélation reste le même. Puis on continue à diminuer l'intensité de la source lumineuse, jusqu'à ce que le signal de sortie du détecteur fluctue, du fait de l'individualisation des photons, et finisse par faire apparaître des impulsions correspondant aux photons un à un. A ce moment-là, mon calcul n'est plus valable, le calcul quantique prend le relais, mais le coefficient de corrélation reste le même.

Inversement, on part de la situation où les photons sont détectés un à un. On est dans le "cas quantique", et les inégalités de Bell sont violées. On dit alors que la réalité est soit non-objective (la réalité dépend de l'observateur : la lune n'existe que si on la regarde), soit nous devons accepter l'hypothèse de non-localité.
Puis on augmente l'intensité de la source, jusqu'à ce que les photons ne soient plus individualisés par les détecteurs, alors les équations de maxwell s'appliquent. Les inégalités de Bell sont toujours violées. Donc un monde décrit par les équations de Maxwell est soit non-objectif, soit non-local. Comme on pense que le monde décrit par les équations de Maxwell est classiquement objectif, c'est qu'il est non-local.

En fait les équations de Maxwell ne peuvent décrire toute la réalité, car elles sont linéaires, et ne peuvent donc par rendre compte des interactions à elles-seules. Mais si l'on disposait d'équations de Maxwell non-linéaires, (par exemple si l'on pouvait dire que la densité de courant et la densité de charge sont des fonctions non-linéaires du champ électromagnétique), on aurait une théorie classique qui décrirait un monde objectif, et naturellement non-local !!

Qu'en pensez-vous ?

[chaverondier]

Je trouve classiquement le même résultat que le résultat quantique !!! Et si ce résultat est correct, je me demande ce que cela signifie.

Cela signifie que le coefficient de corrélation que vous utilisez n'est pas le même que celui de l'article d'Alain Aspect. Si vous calculiez, au contraire, le même coefficient de corrélation, le résultat serait plus faible quand les deux flux émis en directions opposées ne sont pas EPR corrélés mais simplement de même polarisation rectiligne avec une orientation aléatoire.

[Amanuensis]

Puis on augmente l'intensité de la source, jusqu'à ce que les photons ne soient plus individualisés par les détecteurs, alors les équations de maxwell s'appliquent. Les inégalités de Bell sont toujours violées.

Je pense que c'est cela qui est faux. Le calcul de corrélation indiqué porte sur les mesures moyennées (les puissances), qui sont des variables continues et le théorème de Bell ne s'applique pas: sa démonstration se fait avec des mesures discrètes.

[at89merry]

Bonsoir,

Je ne suis pas d'accord avec vous, chaverondier, les deux coefficients de corrélations sont bien les mêmes :

Suite à votre remarque, j'ai repris la définition du coefficient de corrélation entre 2 séries de mesures xi, et yi, définition que j'ai employée dans mon calcul, et je l'ai appliquée au cas où les xi, et yi valent 1 ou -1.

Dans ce cas, le coefficient de corrélation se réduit à C= 1/N.somme(xi.yi), et donc vaut simplement 1.1P++(a,b)+(-1).(-1)P--(a,b)+1.(-1)P+-(a,b)+(-1).1P-+(a,b), c'est à dire la formule utilisée dans l'article d'Alain Aspect. Donc je pense que s'il y a un problème, il ne vient pas de là.

Par contre, je suis d'accord avec vous, Amanuensis, les inégalités de Bell ont été démontrées dans le cas de mesures discrètes, alors que j'applique la même procédure dans le cas de mesures continues. Il n'empêche que je trouve surprenant de trouver le même résultat, ce que j'exprime brutalement, je vous l'accorde, par "les équations de maxwell violent les inégalités de Bell".

Quand vous dites "c'est cela qui est faux", vous parlez de mon calcul ? ou simplement de l'interprétation que j'en fais ?

Si c'est mon calcul, il n'y aura rien à ajouter !! Mais pour l'instant, je n'en suis pas convaincu. Si ce n'est que l'interprétation, je trouve intéressant de continuer à méditer sur la signification de ce résultat.

En fait, si mon calcul était vrai, et que l'interprétation que j'en fais n'était pas absurde, cela signifierait qu'une théorie de type "Maxell non-linéaire" pourrait être "naturellement" non-locale. Ce pourrait donc être un candidat possible pour une théorie à variables cachées.

[chaverondier]

Je ne suis pas d'accord avec vous, chaverondier, les deux coefficients de corrélations sont bien les mêmes : .

Suite à votre réponse, j'ai fait le calcul.

Le coefficient de corrélation précisé en (5) dans "présentation naïve des inégalités de Bell" d'Alain Aspect (pdf accessible par google) et défini comme

E(thêta_a, thêta_b) = P++ + p-- - p+- - p-+

Si on considère, selon le modèle de corrélation à variable cachée locale que vous proposez,

• deux flux de photons opposés,
• polarisés rectilignement de la même façon selon la direction cachée lambda,
• cette orientation cachée lambda étant aléatoire et uniformément répartie entre zéro et 2 pi,

on a alors:

P++ (thêta_a, thêta_b) = [1/(2pi)] intégrale (cos²(lambda-thêta_a) sin²(lambda-thêta_b) d_lamba, soit

P++ (thêta_a, thêta_b) = (1/4){1/2 + cos²[2(thêta_a - thêta_b)]} = P-- (thêta_a, thêta_b) et, de même

P+- (thêta_a, thêta_b) = (1/4){1/2 + sin²[2(thêta_a - thêta_b)]} = P-+ (thêta_a, thêta_b)

On a bien (à titre de vérification) une somme des probabilités égale à 1
P++ + p-- + p+- + p-+ = 1

Dans le cas de deux flux opposés polarisés rectilignement selon une direction aléatoire (mais uniformément distribuée entre 0 et 2pi) on a donc

E(thêta_a, thêta_b) = (1/2) cos [2(thêta_a - thêta_b)]

c'est à dire deux fois moins que la corrélation cos [2(thêta_a - thêta_b)] entre deux flux EPR corrélés

On peut obtenir une corrélation plus forte tout en restant dans un modèle à variable cachée locale lambda. Dans "présentation naïve des inégalités de Bell" d'Alain Aspect il est montré (cf équation (16) et figure 4 §3.2 Un exemple « naïf » de Théorie à Paramètres Supplémentaires) comment il est possible d'atteindre une corrélation

E(thêta_a, thêta_b) = 1 - 4 lthêta_a - thêta_bl/pi

C'est mieux que (1/2) cos [2(thêta_a - thêta_b)] mais moins bien que la valeur cos [2(thêta_a - thêta_b)] obtenue dans le cas de paires de photons dans l'état singulet.

La violation des inégalités de Bell par la corrélation EPR montre qu'il est sans espoir d'atteindre la corrélation E(thêta_a, thêta_b) = cos [2(thêta_a - thêta_b)] avec une théorie à variables cachées locales. Il y a bien non localité quantique.

[Amanuensis]

Quand vous dites "c'est cela qui est faux", vous parlez de mon calcul ? ou simplement de l'interprétation que j'en fais ?

Que cela viole les inégalités de Bell.

Si ce n'est que l'interprétation, je trouve intéressant de continuer à méditer sur la signification de ce résultat.

Que les lois sur la polarisation (et plus généralement le modèle ondulatoire de la lumière) soient "quantiques" avant l'heure, cela se voit par d'autres moyens.

Si on met en ligne deux pola linéaires perpendiculaires, aucune lumière ne passe à travers. Mais il suffit de rajouter un pola entre à 45° des des autres pour que de la lumière passe. Cela ne peut pas s'expliquer photon par photon.

[Amanuensis]

Si on considère, selon le modèle de corrélation à variable cachée locale que vous proposez,

Le calcul qu'il fait n'est pas celui de la corrélation photon par photon.

La variable x_i est une puissance, donc la probabilité de détection. Et non la détection.

Au lieu de travailler avec p(détection | theta_i et lambda_i), avec 'détection' une variable binaire (0 ou 1), il calcule p(puissance reçue | lambda_i et theta_i) une variable continue.

Il y a un rapport étroit, car p(détection | theta_i et lambda_i) = puissance reçue. Mais ce n'est pas le même calcul. En termes de photon par photon, le calcul est celui de p( p(détection | theta_i et lambda_i) | lambda_i et theta_i).

[at89merry]

Bonjour,

Merci chaverondier d'avoir fait ce calcul, surtout à une heure si tardive. Mais effectivement votre calcul n'est valable que lorsque les mesures sont 1 ou 1. Alors que mon calcul porte sur la puissance électromagnétique classique à la sortie des analyseurs, qui est une variable continue. Je suis d'accord avec vous, que si les mesures sont 1 ou -1, aucune théorie électromagnétique classique ne pourra violer les inégalité de Bell.

Je suis d'accord avec vous Amanuensis qu'il y d'autres comportements "quantiques" dans certaines théories classiques, mais j'avoue que ce résultat-là m'a surpris, car je l'ai jamais vu nulle part malgré sa simplicité, et parce qu'à mon avis il ouvre des perspectives.


Merci pour vos réflexions

[Pio2001]

Bonjour,
Il doit y avoir une erreur quelque part. On ne peut pas violer l'inégalité de Bell avec un processus local et déterministe.

Soit l'inégalité de Bell n'est pas la bonne en raison du choix des résultats de mesure possibles. A comparer avec l'inégalité CHSH qui utilise aussi des variables continues comme résultats possibles.
Soit il y a une erreur dans le calcul des corrélations. Comme le disait Chaverondier plus haut, si les ondes incidentes ont une polarisation rectiligne aléatoire, les corrélations observées devraient être inférieures à celles obtenues avec des photons intriqués.

[at89merry]

Bonsoir,

Je pense que mon calcul ne viole pas les inégalités de Bell, car les inégalités de Bell ont été établie pour des mesures valant 1 et -1. Lorsque j'ai dit cela, c'était un abus de langage pour dire que le coefficient de corrélation était le même que celui calculé par la mécanique quantique.

En fait la différence fondamentale entre l'expérience d'Aspect et l'éxpérience classique dont j'ai fait le calcul, c'est que dans l'expérience d'Aspect, lorsqu'on détecte un signal sur la voie parallèle de l'analyseur, il n'y a pas de signal sur la voie perpendiculaire. ce qu'on interprète par le fait que si un photon est passé par une voie, il n'est pas passé par l'autre. Ce n'est pas le cas dans l'expérience classique que j'ai modélisée. Car le champ du "photon classique" a une composante parallèle au polariseur et garde une composante perpendiculaire.

Par contre si l'on calcule le coefficient de corrélation des puissances transmises par les polariseurs sur les voies parallèles, selon mon calcul, on trouve le même résultat qu'en mécanique quantique. Et je trouve ça surprenant. Cependant, suite à votre remarque, j'ai revérifié mon calcul, et je trouve toujours le même résultat.

Je vous renvoie mon calcul en pièce attachée. ce calcul est assez simple. Si vous pouviez y jeter un coup d'oeil.

[Pio2001]

Avant de me plonger dedans à fond, qu'appelles-tu le "résultat prédit par la MQ" ? La MQ ne prédit pas de violation de l'inégalité de Bell dans le cas de paire de photons corrélés, de polarisation rectiligne et uniformément répartie.
Et il y a plusieurs expériences d'Aspect. S'agit-il bien de celle publiée le 12 juillet 1982, avec -2 <= S <= 2 comme inégalité de Bell ?

[at89merry]

je me réfère à l'article que j'ai lu sur internet :

Présentation « naïve » des inégalités de Bell
Alain Aspect
Institut d'Optique Théorique et Appliquée
Bâtiment 503-Centre universitaire d'Orsay 91403 ORSAY Cedex - France

où il donne le résultat du coefficient de corrélation dans son expérience : C = Cos(2(a,b), a et b étant les directions des deux polariseurs. Il montre effectivement que cette relation conduit à l'inégalité de Bell : <= S <= 2

et moi, j'ai effectué le calcul du coefficient de corrélation entre les mesures des puissances transmises après les 2 analyseurs de son expérience, en modélisant les "photons intriqués" de manière classique, comme des trains d'ondes planes se propageant en sens inverses et polarisées rectilignement, chaque train d'onde ayant une polarisation aléatoire par rapport au précédent.

Et je trouve la même formule du coefficient de corrélation qu'il a donné, qui conduirait donc aux mêmes inégalités de Bell, si cela avait un sens dans cette expérience classique.

[Amanuensis]

aux mêmes inégalités de Bell, si cela avait un sens dans cette expérience classique.

Ce n'est pas une question d'expérience, de classique ou non. C'est juste que "Inégalités de Bell" ne s'applique pas d'un simple point de vue mathématique. C'est comme si vous parliez du théorème de décomposition en premiers d'un nombre entier et cherchiez à l'appliquer à un réel. Rien qu'en parler fait bizarre, au mieux.

Peut-être en regardant le théorème de Kochen-Specker l'importance des résultats discrets (ça passe ou pas) dans les particularités de la méca Q sera plus visible?