Equation de Dirac

[bottome_quark]

Bonjour tout le monde
En lisant des notes de cours sur la mécanique quantique relativiste que j'ai trouvées dans le site du MIT, j'ai bloqué sur la dérivation de l'équation de Dirac, en effet quand essaie de calculer la dérivée seconde on tombe sur un terme divisé par 2 et je ne comprends pas d'où vient ce terme!!!
Voici le lien du cours: Lien
à la page 7
Je vais essayer de le faire ici en unités naturelles:

Quelle propriété avons-nous utilisé ici pour effectuer ce passage? parce que normalement il ne devrait y avoir qu'un seul terme contenant les indices j et k
Merci de vos réponses
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[Deedee81]

Salut,

Fais le décompte. Les indices allant de 1 à 3.
A gauche la multiplication de termes avec la dérivée j et k va donner 11, 12, 13, 21, etc....
Tandis que donne
11 + 11 +
12 + 21
etc...
il est clair que les mêmes termes sont comptés deux fois. D'où la division par 2.

[bottome_quark]

Donc les indices j et k sont différents lorsqu'on effectue la somme tandis que i peut prendre la même valeur que j?

[albanxiii]

Bonjour,

Au risque de dire une connerie, ça fait un moment que je n'ai pas manipulé ces choses là...

, car les indices sont muets, mais par symétrie (on suppose que l'objet, bispineur ici, auquel s'applique cet opérateur est assez régulier pour intervertir les dérivées, théorème de Scwharz).

En écrivant , on arrive au résultat du post #1.

Me gourre-je ?

@+

[A voir en vidéo sur Futura]

[bottome_quark]

Oui sauf qu'à la fin on déduit la relation suivante et du coup l'écriture n'est pas forcément vraie!!!!

[Deedee81]

Salut,

Donc les indices j et k sont différents lorsqu'on effectue la somme tandis que i peut prendre la même valeur que j?

Dans un cas (i et k) comme dans l'autres (i et j) :
- ce sont des indices muets (apparition des indices deux fois dans un même terme)
- on effectue la somme (règle de sommation implicite d'Einstein) pour i, k, j allant de 1 à 3.
- Pour certains termes de cette somme, i et k auront même valeur, de même que certains termes auront i et j de même valeur Pour d'autres termes les valeurs seront évidemment différentes

Si tu remplaces l'équation par sa forme développée (sans indices i, j, k mais uniquement avec les composantes 1, 2, 3) tu obtiens ce que j'ai dit dans le message 2 :
à gauche des termes avec i et k valant 1, 1 et 1, 2 et 1, 3 et....
à droite, la même chose.... deux fois ! D'où le 1/2

C'est juste de la manipulation d'indice assez traditionnelle (sauf qu'à force d'utiliser la convention d'Einstein, j'ai remarqué que plus personne ne prend la peine de le signaler ! C'est probablement une erreur. Un novice ne connaissance pas nécessairement cette convention. J'espère que c'est juste cela qui t'a induit en erreur car ça ce n'est pas très grave. Au cas où : http://fr.wikipedia.org/wiki/Convent...n_d%27Einstein ).

[Amanuensis]

La convention d'Einstein n'est pas utilisée correctement, car il n'y a pas d'indice répété en position supérieure et en position inférieure. (Cf. le lien indiqué, qui précise On le fait figurer une fois en position supérieure, une fois en position inférieure.) Assez normal que le "novice" ait du mal à y voir l'application de la convention...

Ici, la seule chose qu'on ait est l'omission de signes de somme...

Par ailleurs, pour expliciter et répéter ce qui est indiqué message #2 on a (formule générale)




le passage entre la deuxième et la troisième ligne utilise l'aspect muet des indices ; le passage entre la troisième et la quatrième ligne utilise la commutativité des signes somme ;

d'où le facteur 1/2


Je pense que la difficulté (et l'origine de l'erreur) vient de la non explicitation des termes de somme, et de l'ambiguïté d'interprétation entre et : si on comprend selon la deuxième interprétation, le facteur 1/2 est erroné.

[Deedee81]

La convention d'Einstein n'est pas utilisée correctement, car il n'y a pas d'indice répété en position supérieure et en position inférieure.

Ah oui, bien vu, ça m'avait échappé.

Merci,

(merci aussi pour avoir détaillé les explications)

[albanxiii]

Re,

Oui sauf qu'à la fin on déduit la relation suivante et du coup l'écriture n'est pas forcément vraie!!!!

Je n'ai pas encore tout oublié, merci. Par contre, vous, vous n'êtes pas à l'aide avec les indices muets, car je n'ai pas écrit ce que vous dites là.

Amanuensis a détaillé ce que j'ai écrit sous forme compacte. Si je puis formuler un conseil : entraînez vous à calculer avec des indices.

@+

[albanxiii]

Bonjour,

Assez normal que le "novice" ait du mal à y voir l'application de la convention...

C'est un abus de notation que j'ai rencontré assez souvent cela dit. Autant le savoir.

@+

[bottome_quark]

Merci de vos précieuses réponses qui m'ont beaucoup aidées à y voir plus claire