Force et énergie

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Gilgamesh

(*) Le lien entre force et énergie est donnée par la relation suivante : E = F.x avec E l'énergie, F la force et x la longueur sur laquelle la force a déplacé son point d'action, ce qu'on appelle un travail. Une énergie c'est donc une force qui travaille, ceci dit pour faire le lien entre ces deux concepts.

C'est un peu hors sujet mais j'ai toujours eu un peu de mal avec ça. Je pense qu'il est important de faire tout le développement de la force, l'énergie, le travail. En fait c'est aussi important que la seconde loi de Newton.


où l'énergie cinétique en fonction du temps, la masse constante, la vitesse et la position de l'objet en fonction du temps,


et la seconde loi de Newton : où est l'accélération, la force qui peut varier dans le temps. Ainsi :


Où est le produit scalaire. On voit notamment que si la force appliquée est orthogonale à la vitesse de l'objet, l'énergie cinétique ne varie pas.

Si la force dépend uniquement de la positon de l'objet, on peut alors écrire au lieu de :



Ce qui permet de faire le changement de variable , :



Où il s'agit d'une intégrale le long d'un chemin : pour la calculer il convient donc de paramétrer le chemin, notamment de revenir à la formule précédente où le chemin est paramétré par le temps.

Par ailleurs, on peut montrer (*) que si la force est conservative, alors on peut définir l'énergie potentielle :
si bien que



On a donc que l'énergie totale ne varie pas dans le temps, et que l'énergie cinétique de l'objet ne dépend que de son énergie cinétique initiale, de sa position initiale et de sa position finale.
(*) C'est cela que l'on attend d'une force conservative, ce qui en revenant en arrière dans le raisonnement amène que
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petite erreur de signe :


Maintenant à l'inverse, si la force est constante (dans le temps et l'espace, et la force est donc non conservative) :


Si j'écris , et qu'en plus la vitesse initiale est nulle :

donc et


Et donc on trouve bien la formule de Gilgamesh :