Dérivation des transformations de Lorentz

[invite4d6e867c]

Bonjour,

philosophe de formation, j'essaye de comprendre la relativité restreinte avec la traduction d'un petit livre d'Einstein lui-même, éditée à la petite bibliothèque Payot sous le titre : "La relativité". J'essaie de tout comprendre, et je coince à un endroit de l'explication de la dérivation des transformations de Lorentz.

Voici comme Einstein procède. On a deux systèmes de coordonnées K(x;y;z) et K'(x';y';z'). On cherche à connaitre les coordonnées x', y', z' et t' d'un événement dans K' quand ses coordonnées x, y, z, et t sont connues dans K.

Un signal lumineux qui avance le long de l'axe positif des x se propage d'après l'équation x = ct ou (1) x - ct = 0 .
Le même signal lumineux se propage aussi relativement à K' avec la vitesse c, donc x' - ct' = 0 .
Les événements qui satisfont à l'équation (1) doivent aussi satisfaire à l'équation (2).
Donc (3) (x' - ct') = λ (x - ct) .
Pour des rayons lumineux se propageant le long de 'axe des x négatifs, on a (4) x' + ct' = μ (x + ct) .
Par addition et soustraction de (3) et (4), et en introduisant les constantes a et b telles que a = (λ + μ) / 2 et b = (λ - μ) / 2, on obtient :
(5) {x' = ax - bct
{ct' = act - bx
Pour l'origine de K' on a d'une manière permanente x' = 0, donc d'après (5) x = (bc / a)t .
En désignant par v la vitesse avec laquelle l'origine de K' se meut relativement à K, on a :
(6) v = bc / a.
Einstein écrit ensuite : "pour voir comment se présentent, dans le système K, les points de l'axe des x', nous n'avons qu'à prendre un "instantané" de K' et de K ; cela signifie que nous devons introduire pour t (temps de K) une valeur déterminée, par exemple t = 0."
De (5), on obtient ainsi x' = ax .

Aucun problème jusque là, en réalisant quelques étapes intermédiaires entre (3) et (4) et (5), j'arrive à suivre sans problèmes. Ce que je ne comprends pas, c'est la suite :
"Deux points de l'axe des x', qui sont séparés par la distance x' - 1, mesurée en K, sont séparés sur notre instantané par la distance Δx' = 1/a ."

Comment parvient-on à ce résultat ?

Merci beaucoup pour votre aide. Je m'arrête là pour l'instant, mais si j'ai besoin d'aide par la suite, je reviendrai
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[Zefram Cochrane]

Salut,
J'avais eu le même problème que toi en découvrant l'annexe 1 avec les démonstration de Lorentz expliquées par Einstein. Voici ce que je te propose en partant des mêmes considérations de base.

Soit trois observateurs O , O' et O''
à t = t' = t'' = 0 , x = x' =x'' = 0

O' s'éloigne de O dans le sens des x positifs à la vitesse v.
O'' s'éloigne de O dans le sens des x positifs à la vitesse w.
O'' s'éloigne de O' dans le sens des x positifs à la vitesse w'.

Chaque observateur émettent deux éclairs de lumière, l'un dans le sens des x positifs et l'autre dans le sens des x négatifs. Pour chaque observateur, les six éclairs lumineux s'éloigner de lui à la vitesse c.

Pour les éclairs s'éloignant le long des x négatifs, je peux écrire :
(1)

Pour les éclairs s'éloignant le long des x positifs :
(2)

Et en multipliant (1) par (2)


Pour ; ;:
On a A.B = N*N'


Pour ; ;:
on a A.B = 1 et A = 1/B

Donc :


On reprend les équations :
(3)
(4)

On divise (3) par (4) et on obtient pour ;





comme A = 1/B

on a
et


En faisant (3) + (4)

en faisant (3)-(4)


On obtient ainsi les TL :




Cordialement,
Zefram

[Zefram Cochrane]

J'ai trouvé une démonstaration des TL plus simple, mais je ne sais pas si on a le droit d'utiliser la symétrie comme l'a fait l'auteur. On part de :




si ,
->



ce qui donne :



De par la constance de la lumière,si ,alors, .

et

on a donc :
(1)
(2)

Reste à trouver : par symétrie on doit avoir ,
(1')
(2')

tu remplaces dans (2) par son epression dans (2')

sachant que relation obtenue en divisant (1) par (2)

Tu as :
d'où

[albanxiii]

Bonjour,

La charte précise bien que les doublons sont interdits. Si vous estimez que cette discussion est plus à sa place en mathématiques, il faut demander à un modérateur de la déplacer.
Je ferme ici, puisque : http://forums.futura-sciences.com/ma...e-lorentz.html

Pour la modération.

[A voir en vidéo sur Futura]