Mécanique des fluides : Expression du tenseur des contraintes visqueuses par Landau & Lifshitz

[invite6a099a69]

Bonjour,

j'ai commencé la lecture de volume 6, mécanique des fluides, du cours de physique théorique de Landau et Lifshitz, et un point me pose problème dès le second chapitre. Je ne comprend pas comment est trouvée l'expression du tenseur des contraintes visqueuses.

N.B. - J'ai une édition de ce livre en anglais, toutes les citations sont donc des traductions artisanales...

---

CONTEXTE

Le développement commence avec l'équation d'Euler:

où

est le tenseur de flux de quantité de mouvement pour un fluide parfait.

Landau et Lifshitz continuent :

[ce tenseur de flux de quantité de mouvement] représente un transfert de quantité de mouvement réversible, du simplement au transport mécanique des particules d'un endroit à un autre et aux forces de pression qui agissent dans le fluide. La viscosité (les frottements internes) est à l'origine d'un autre mode de transfert de quantité de mouvement, irréversible, des endroits où la vitesse est élevée à ceux où elle est faible

L'équation du mouvement d'un fluide visqueux peut aussi s'obtenir en ajoutant au flux de quantité de mouvement "idéal" un term qui rend compte des transferts "visqueux" et irréversibles de quantité de mouvement dans le fluide. Le tenseur de flux de quantité de mouvement pour un fluide visqueux peut ainsi s'écrire sous la forme

où est appelé le tenseur des contraintes visqueuses

---

Expression de

Il est d'abord expliqué pourquoi ce tenseur ne contiendra que des combinaisons linéaires des dérivées partielles de la vitesse par rapports aux coordonnées spatiales. Cela ne me pose pas de problème.

Les frottements internes n'apparaissent dans le fluide que lorsque différentes particules fluides ont des vitesses distinctes, c'est à dire lorsqu'il y a un mouvement relatif entre différentes parties du fluide. Ainsi doit dépendre des dérivées spatiales de la vitesse. Si les gradients de vitesses sont faibles, on peut supposer que le transfert de quantité de mouvement du à la viscosité dépend seulement des dérivées premières de la vitesse. Avec une approximation similaire, on peut supposer que est une fonction linéaire des dérivées . Dans il ne peut y avoir aucun termesindépendant de , puisque doit être nul lorsque est constante

Ensuite:

Après, on remarque que doit aussi être nul quand tout le fluide est en rotation uniforme, puisqu'il est clair que lors d'un tel mouvement aucun frottement interne n'apparait dans le fluide. En rotation uniforme à vitesse angulaire , la vitesse est égale au produit vectoriel . Les sommes

sont des combinaisons linéaires des dérivées , et sont nulles lorsque . Ainsi ne doit contenir que ces combinaisons symétriques des dérivées

Je peux comprendre que l'on ne "veuille" pas de frottements internes quand le fluide est en rotation uniforme, mais pourquoi est-ce clair que cela est vrai ? Est-ce qu'il est impossible pour un fluide "spécial" (non-newtonien) d'avoir ce genre de frottements ?

Et même en acceptant cela, je suis complètement perdu ensuite:

Le tenseur d'ordre deux le plus général vérifiant les conditions ci-dessus est

où les coefficient sont indépendants de la vitesse. En faisant cette affirmation on utilise le fait que le fluide est isotrope, et qu'ainsi ses propriétés doivent pouvoir être décrites uniquement par des quantités scalaires ( [TEX]\eta[/TEX et] ici). Les termes de [expression du tenseur ci-dessus] sont disposés de telle sorte que l'expression entre parenthèse est nulle si on somme les composantes avec

Je ne comprend pas comment cette forme générale est trouvée.

Je comprend simplement du paragraphe sur la rotation que si sur un terme non-diagonal on trouve alors on doit ajouter . Je ne sais pas comment cela mène au tenseur décrit. D'ailleurs, en rotation uniforme on a aussi le fait que

Ainsi on devrait pouvoir ajouter chacun de ses termes partout dans le tenseur, mais dans la "forme générale" décrite on ne trouve la dérivée partielle la i-ème vitesse par rapport à la i-ème position que sur le i-ème terme diagonal, et mis à part cela les autres termes apparaissent uniquement avec la divergence, et uniquement sur les termes diagonaux. Pourquoi cela ? Je pense que cela à un rapport avec l'hypothèse d'isotropie, mais ça n'est pas clair pour moi.

Merci pour toutes informations.
-----