Modélisation du tenseur des contraintes pour l'équation de Navier-Stokes

[Scorp]

Bonjour,
j'aimerais avoir quelques petites informations sur l'établissement (modélisation du tenseur des contraintes) de l'équation de Navier-Stokes :
pour i=1...3
Ma question porte surtout sur les hypothèses faites sur le tenseur des contraintes :
J'aimerais savoir d'où est ce que sort l'hypothèse de Stokes qui consiste à dire que avec S le tenseur des taux de déformation.
Pour le premier terme, ca va, par contre pour les deux autres ? Bref, j'aimerais savoir comment justifier cette hypothèse sur le tenseur des contraintes. Y a-t-il d'autres facons de modéliser ce tenseur ? car je suppose que cette hypothèse de stokes n'est valable que pour certains fluides (newtonien ???).
De plus, la partie sphérique du tenseur des contraintes permet d'aboutir à la relation . A priori, ceci vient du fait que la "pression mécanique" Pm, avec , doit être égale à la pression dynamique P, mais je ne vois pas non plus d'où ca sort ???

Voila, ma question porte en fait surtout sur la modélisation du fluide newtonien et comment se comporte au final ce type de fluide histoire d'avoir un peu d'intuition sur ce qui se passe.
Merci d'avance pour votre aide
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[chwebij]

bonjour

J'aimerais savoir d'où est ce que sort l'hypothèse de Stokes qui consiste à dire que avec S le tenseur des taux de déformation.

Un fluide est qualifié de Newtonien si
1_ le champ des contraintes présent dans le fluide au repos est sphérique, la pression est égale à la pression thermo.
2_ la dépendance entre et est linéaire
3_la relation entre et est isotrope

Bon j'ai trouvé la démo dans "Mécanique des fluides: élément d'un premier parcours", P. Chassaing (si tu es à l'ISAE, il y a des chances que tu es ce livre), p113 à 115.

donc la dépendance linéaire des tenseurs et donne:



l'hypothèse d'isotropie donne



vu que est symétrique on a du fait de

on a donc:

finalement


et vu que ainsi que
en posant et

on retrouve
avec la pression statique.

Y a-t-il d'autres facons de modéliser ce tenseur ? car je suppose que cette hypothèse de stokes n'est valable que pour certains fluides (newtonien ???).

bien sur. cela relève de la rhéologie, voici un document:
http://pagesperso-orange.fr/patrick....gie/rheo_1.htm

De plus, la partie sphérique du tenseur des contraintes permet d'aboutir à la relation . A priori, ceci vient du fait que la "pression mécanique" Pm, avec , doit être égale à la pression dynamique P, mais je ne vois pas non plus d'où ca sort ???

au vue des hypothèse, tu vois d'où ca sort!!
en fait si tu veux utiliser la thermodynamique dite classique, cad en équilibre, tu dois avoir cette égalité.
Sans en connaître les détails, il faut attendre un temps de relaxation pour que les deux pressions s'égalisent et que l'on soit dans un état d'équilibre (homogénéité des champs de pression, température...etc)

[Scorp]

Merci, c'est tout à fait ce que je cherchais.
Pour l'hypothèse de Stokes il me semble que c'est assez complexe et qu'effectivement, elle doit être liée à une sorte de reversibilité des déformations. J'avais d'ailleurs lu quelques part que la thermodynamique permettait justement de montrer qu'on a en fait

[chwebij]

elle doit être liée à une sorte de reversibilité des déformations. J'avais d'ailleurs lu quelques part que la thermodynamique permettait justement de montrer qu'on a en fait

si tu as les sources, ca serait cool de les transmettre
merci

sinon petite aparté, vous avez bien P. Chassaing à l'ISAE en méca flu?

[A voir en vidéo sur Futura]

[Scorp]

Re bonjour,
Je fais remonter mon ancien post vu que depuis j'ai obtenu quelques nouvelles informations, qui me font en fait poser plus de questions qu'elles en n'ont résolues.

Bref, voici un document qui traite de la question sure l'hypothèses de Stokes dans l'établissement de l'équation de N-S : http://www.efluids.com/efluids/pages/rev/stokes.pdf

Le début reprend vite fait la démonstration et nous amène à cette question : comment choisir les 2 coef et ?

1) Page 3, il mentionne que le fait de ne pas connaitre précisement la relation entre et n'est pas très génante dans le cas fluide incompressible (ca je comprends bien) mais parle aussi du cas où on utilise la couche limite (boundary layer approximations: normal viscous stresses << shear stresses) : et là, je ne vois pas bien pourquoi ? (c'est peut être les termes anglais que je ne connais pas bien ?)

Quoi qu'il en soit, cela m'amène à penser que hors de ces cas, la relation entre ces 2 paramètres doit être connue. Or l'hypothèse ne Stokes n'est a priori pas toujours valide : on commet donc une erreur dans l'équation et donc dans les solutions ? Comment est ce possible ?

2) Page 3, le texte dit : "In other words, the bulk viscosity provides a damping of volumetric
vibrations such as might occur during sound absorption". Ce sont les oscillations dont tu parlais Chwebij ?

3) Le texte dit également "The second law of thermodynamics requires that both and to be non-negative". Malheureusement, ils ne donnent pas tellement plus de détails hormis que c'est dû a des considérations thermodynamiques (ce que j'avais dit dans mon post).

Le problème est donc clair : l'hypothèses de Stokes entraine forcément l'un des deux paramètres négatif (s'ils sont non-nuls) et contredit donc la thermodynamique : Où est l'erreur ?

4) Expérimentalement (absorption des ondes ultrasonores), l'hypothèse de Stokes ne serait valable que pour les gaz monoatomiques : ca fait beaucoup de cas où on est loin de la réalité, non ? Connait-on les erreurs engendrées sur les solutions par l'utilisation de cette hypothèse ? Pourquoi en parle-t-on si peu ? Ca n'a pas d'importance ? Si je n'avais pas été curieux, je n'aurais sans doute jamais vu ce problème. C'est étonnant, que même en cours, on ne soulève pas ce point, non ?

Bref, j'avoue être un peu perdu dans tout ca. On a tellement l'habitude de prendre les équations toutes faites... Or la, il semble qu'il y ait vraiment des problèmes sous-jacents, et apparement non-résolus. De plus, lorsqu'on regarde les définitions des pressions mécanique et thermodynamique, il n'y a aucun raison pour qu'elles soient égales (cf. page 5 en bas). Et l'expérience semble le montrer (avec parfois plusieurs ordres de grandeur de différence entre les 2 coef).

P.S : Pour Chwebij : Oui, P. Chassaing est prof à l'Ensica. Il était (je ne sais pas si c'est encore le cas avec l'ISAE) en charge du département de mécanique des fluides de l'Ensica. Très bon prof en tout cas, j'ai toujours aimer les cours qu'il faisait. Par curiosité, pourquoi tu posais la question ?

[chwebij]

salut,

j'ai pas trop eu le temps d'approfondir toutes tes questions. Cependant pour celle là, j'ai la soluce

3) Le texte dit également "The second law of thermodynamics requires that both and to be non-negative". Malheureusement, ils ne donnent pas tellement plus de détails hormis que c'est dû a des considérations thermodynamiques (ce que j'avais dit dans mon post).

lorsque tu fais le bilan énergetique des equations de navier stokes, il y a le terme de dissipation visqueuse de la forme
ce terme doit être toujours négatif du fait de l'irreversibilité de la dissipation visqueuse. Cette condition est vérifiée si . Bon ca mérite un peu de détails calculatoire mais l'idée est là. Tu peux en trouver dans le Chandrasekhar, "hydrodynamic and hydromagnetic stability", de la page 11 à 14:
http://books.google.fr/books?id=oU_-...age&q=&f=false

[Scorp]

Merci pour cette info et le lien. Ca fait une question de résolue.

Pour le reste, tu as des infos ?
C'est étonnant, il n'y a pas plus de gens faisant de la mécanique des fluides sur ce forum (dommage) qui pourraient répondre à ces questions (qui me semblent assez profondes vu qu'elles touchent à la base de la théorie).

D'ailleurs, l'article mentionne bien que l'erreur commise n'est pas forcément négligeable dans certains cas (cf. la fin de l'article)

[chwebij]

salut

j'ai essayé de repotasser pour comprendre les questions que tu te posais.

/pages/rev/stokes.pdf[/url]

Le début reprend vite fait la démonstration et nous amène à cette question : comment choisir les 2 coef et ?

1) Page 3, il mentionne que le fait de ne pas connaitre précisement la relation entre et n'est pas très génante dans le cas fluide incompressible (ca je comprends bien) mais parle aussi du cas où on utilise la couche limite (boundary layer approximations: normal viscous stresses << shear stresses) : et là, je ne vois pas bien pourquoi ? (c'est peut être les termes anglais que je ne connais pas bien ?)

tout est dans la phrase

normal viscous stresses << shear stresses

ca dit que les contraintes visqueuses dans le sens de l'écoulement sont négligeables par rapport aux cisaillements. Numériquement ca equivaut à:


ce qui est normal car par exemple sur une plaque plane parallèle à l'axe x et normale à y, le gradient de vitesse pour Ux est surtout selon y et négligeable selon x.

il vient donc que le terme div U et la diagonale de Sij sont néglieables par rapport aux termes non diagonaux de Sij. Donc la seconde viscosité n'est pas nécessaire aux calculs.

sinon pour le reste du papier voilà ce que j'ai compris:

lorsque l'écoulement est compressible, la question est:
"est ce que l'hypothèse de Stoke est vraie ou est ce que la "bulk " viscosité est nulle?"

ce problème revient à connaitre la relation entre la pression mécanique qui est la force qui agit sur une surface (mouvement translationnel) et la pression thermodynamique qui est liée à l'état themodynamique du gaz (qui peut être défini via une équation d'état).

l'équilibre est atteint lorsque le gaz est monoatomique et peu dense (pas de modes internes d'énergie et hypothèse de chaos moléculaire).
cependant aux grandes densités et pour les gaz polyatomiques, le problème reste apparement ouvert et les résultats tendent à contredire l'hypothèse de Stokes

Mais bien qu'un modèle ait des limites, ca ne remet pas tout en cause. Par exemple les équations de N-S ne prennent pas en considérations les effets relativistes mais ce n'est pas un problème pour les calculs en tuyères.
De même, il y a des problèmes avec l'hypothèse de Stokes selon le retour à l'equilibre thermodynamique. les cas qui pose problèmes sont assez "exotiques" pour laisser une large plage de validité à l'hypothèse de Stokes. donc "don't worry"!!

EN tout cas, je te remercie d'avoir pointé ce problème, ca ma permis de fouiller un peu. Ca met aussi le doigt sur les dangers des calculs numériques "aveugles", c'est à dire non confrontés à l'expérience.