les outils pour résoudre navier-stokes

[The Artist]

salut !

J'aimerais démontrer l'existence d'une solution à l'équation de Navier-Stokes en 3D. Si quelqu'un veut se joindre à moi ... Et je me demande quels sont les outils pour entreprendre une telle démonstration?

Merci
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[invite084c752c]

Hello.

Je te parle en physicien la hein, mais on ne s'amuse jamais a résoudre Navier Stokes en mécaflotte... On fait des éléments finis, et/ou un tas d'approximation. Je suis pas sur que tu aies une solution analytique a ce truc la...

[invite6b1e2c2e]

Salut,

Effectivement, tu vas avoir du mal à trouver des solutions analytiques à Navier Stokes.

Pour prouver l'existence d'une solution faible, en général, on introduit un terme fortement dissipatif qu'on fait tendre vers 0. C'est à dire on approche l'équation par la même équation avec une dissipation de la forme e* laplacien^2. Dans ce cas, pas de problème, on obtient des solutions bornées dans des espaces sympathiques. Ensuite, on fait tendre e vers 0, et on vérifie que les solutions associées au système avec e ont une valeur d'adhérence, et que cette valeur d'adhérence est bien une solution de Navier Stokes.

Aucune des étapes décrites ci-dessus n'est facile. Tu trouveras tout ça bien écris dans J.L. Lions Quelques méthodes de résolution pour des EDP non linéaires.

Je rappelle aussi que le gros problème pour Navier Stokes ,c'est l'unicité des solutions faibles, qui n'est vraie (et presque facile) que quand on suppose qu'on a une solution régulière.

Enfin, pour nos amis physiciens numériciens : Effectivement, il n'y a pas d'autres méthodes que faire des éléments finis, et résoudre. Cela dit, il n'y a pas, à ma connaissance, de résultat rigoureux justifiant que le résultat qu'on obtient avec un maillage a un vague sens : En effet, le minimum qu'on peut attendre, c'est que les fonctions calculées par éléments finis tendent vers une solution de Navier Stokes continu quand la maille tend vers 0. Eh bien, personne ne sait si c'est vrai !
En gros, ingénieurs et physiciens s'appuient sur un algorithme dont personne n'a démontré "mathématiquement" la pertinence. Je ne dis pas qu'ils font n'importe quoi, certainement pas. Ils sont confortés dans l'idée que ça marche parce que, dans un certain nombre de cas, la solution calculée numériquement colle bien à la solution observée physiquement.

__
rvz, pour une vision mathématique de Navier Stokes...

[invite084c752c]

En gros, ingénieurs et physiciens s'appuient sur un algorithme dont personne n'a démontré "mathématiquement" la pertinence.

Je viens d'en apprendre une nouvelle la... Mais bon, de toute facon, en physique, on suppose que ca marche, et si ca marche, c'est que c'etait une bonne supposition... Et comme ca marche de temps a autres...

[A voir en vidéo sur Futura]

[BioBen]

Et comme ca marche de temps a autres...

D'où la celebre phrase :
En théorie, la pratique se comporte comme la théorie. Mais en pratique...

En effet, le minimum qu'on peut attendre, c'est que les fonctions calculées par éléments finis tendent vers une solution de Navier Stokes continu quand la maille tend vers 0. Eh bien, personne ne sait si c'est vrai !

Tu as une doc là dessus à portée de main ou google est mon ami ?
Je suis pas du tout calé en méca des fluides mais ca m'interesse bien cette histoire.

[invite6b1e2c2e]

Bon, d'accord, je vais plutot donner un exemple : On discretise une équation très simple comme l'équation des ondes en 1D, avec une vitesse constante=1, via une méthode éléments finis. Alors essayer de regarder comment se comportent les ondes à hautes fréquences, et vous verrez qu'elles ne se déplacent pas à la vitesse attendue. C'est dû à la relation de dispersion numérique. (un truc atroce avec des composés de Arcsin et de sin)

Et donc aie aie aie si on prend une fonction qui possède toutes les gammes de fréquence possible.

Pour les références, je devrai en avoir, mais je sais pas ce que j'en ai fait. En plus, vu que vos avez certainement tous des niveaux un peu différents, je ne saurai pas trop quoi vous donner.

Je te conseille google avec "équation des ondes", numérique, éléments finis, dispersion par exemple.
Ou pour les anglophones, wave equation, numerical approximation, finite elements, dispersion.

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rvz

[BioBen]

En plus, vu que vos avez certainement tous des niveaux un peu différents, je ne saurai pas trop quoi vous donner.

Ouep

Je te conseille google avec "équation des ondes", numérique, éléments finis, dispersion par exemple.
Ou pour les anglophones, wave equation, numerical approximation, finite elements, dispersion.

Oki, je vais voir ce que Google me sort.
Thx
Benjamin

[The Artist]

Merci de m'avoir répondu ! Mais ma question est aussi de savoir quels sont les outils pour montrer l'existence et l'unicité d'une solution faible à Navier-Stokes. Mon niveau est un L1 de maths mais je suis pret et motivé pour étudier en auto-didacte les maths nécessaire à atteindre mon objectif. Donc j'aimerais savoir si quelqu'un (rvz ?) peut il me faire un petit programme d'étude. THX

[invite6b1e2c2e]

Salut,

Pour aborder ça, il va te falloir un petit niveau en analyse fonctionnelle. Je te recommande chaudement la lecture du Brézis, en détail et en entier.

Essentiellement, les points clés que tu ne peux pas aborder tout de suite sont les injections compactes de Sobolev les uns dans les autres (Rellich), et les injections tout court (Dites de Sobolev-Kondrachov). Tu trouveras tout ça dans Brézis.

Et puis, je ne sais pas si tu sais ce qu'est une distribution, mais si tu ne le sais pas, je te conseille le Schwartz, théorie des distributions.

Après avoir survécu à tout ça, tu devrais pouvoir commencer à t'attaquer au livre de J.L Lions que je t'ai recommandé au premier post. Il est encore possible que tu doives admettre certaines choses, mais plus trop je pense.

Sur ta longue route, il ne me reste plus qu'à te souhaiter un bon courage, et j'essaierai de t'aider si tu butes sur des points précis.

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rvz

[mtheory]

Merci de m'avoir répondu ! Mais ma question est aussi de savoir quels sont les outils pour montrer l'existence et l'unicité d'une solution faible à Navier-Stokes. Mon niveau est un L1 de maths mais je suis pret et motivé pour étudier en auto-didacte les maths nécessaire à atteindre mon objectif. Donc j'aimerais savoir si quelqu'un (rvz ?) peut il me faire un petit programme d'étude. THX

L1 ? là je crois que c'est mission impossible à court terme,le bouquin dont te parle rvz c'est du M1 de maths mini.

Plus abordable mais encore balaise c'est le Courant-Hilbert ,"méthodes de la physique mathématique" .
C'est plus pour un physicien,parce que si tu pars dans les espaces fonctionnelles de Sobolev avec un niveau L1 de maths tu vas faire glouglou....

[invite6b1e2c2e]

Salut mtheory,

Tu as peut-être raison : Les bouquins que j'ai mentionnés ne sont pas spécialement simples, encore qu'ils soient tous très bien écrits, et donnent pas mal l'intuition de ce qui se passe rééllement.

Néanmoins, si l'objectif est une preuve mathématique de l'existence de solutions à Navier Stokes, qui est un résultat difficile, il est clair qu'il faudra se taper pas mal de théorie avant.

Enfin, j'ai donné une liste de bouquins qui sont vraiment des grands classiques, et à mon sens, des étapes nécessaires pour comprendre la preuve susmentionnée. Après, si tu fais glouglou, tu es libre d'en intercaler d'autres pour t'aider à gravir les étapes. Et il est vrai que commencer par un bouquin de Maths pour physiciens, ou Méthodes mathématiques en physique, peut t'aider. (D'ailleurs, je crois que Schwartz en a fait un avec un titre dans ce gout là, et je subodore que c'est bien écrit, au vu de ses autres livres)
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rvz

[mtheory]

Salut,je connais la réputation du Brézis et j'ai déjà regardé dans le Dautray/Lions du CEA.
Ce sont effectivement de grosses et excellentes références
Mais il me semble que The Artist veut juste quelque chose de pédagogique et pour avoir des démonstrations "à la physicienne".
Evidemment,avec le niveau de rigueur demandé en maths appliqués de nos jours, ça ne serait pas suffisant,j'en conviens.
Reste qu'il doit y avoir des choses à son niveau qui doivent se démontrer en utilisant la machinerie classique vers 1930/1940 à mon avis.

En fait,justement, on sait pas très bien son niveau,sa formation et ce qu'il veut faire ou ce qu'on lui demande.

Le "Méthodes mathématiques pour la physique " de Schwartz est effectivement trés bien écrit,comme son cours d'Analyse de Polytechnique.
Cependant si The Artist veut combler des trous en Analyse pour de la physique, je lui conseillerai de lire d'abord le bouquin de Dieudonné,Calcul infinitésimal.
Lui même égratigne un peu le bouquin de Schwartz pour des raisons qui me semblent parfaitement justifiées.

[invite6b1e2c2e]

Tiens d'ailleurs, peut-être que tu sais : Je n'ai jamais lu le manuscript de Leray qui prouvait justement le théorème demandé, mais aux alentours de 1930, c'est à dire sans toute l'artillerie moderne.

Est ce lisible ? Est ce clair ? Est ce juste ?
Peut-être que ça peut faire un truc intermédiaire entre sens physique et sens mathématique, non ?

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rvz

[mtheory]

Tiens d'ailleurs, peut-être que tu sais : Je n'ai jamais lu le manuscript de Leray qui prouvait justement le théorème demandé, mais aux alentours de 1930, c'est à dire sans toute l'artillerie moderne.

Est ce lisible ? Est ce clair ? Est ce juste ?
Peut-être que ça peut faire un truc intermédiaire entre sens physique et sens mathématique, non ?

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rvz

C'est possible,je ne sais pas,ce doit être dans le Courant-Hilbert non ?

[GrisBleu]

Salut

petite digretion: il y a quelques annees, j'avais lu un livre sur la maniere de resoudre les equations differentielles dans les circuits electriques (comment un courant se reflechit sur une resistance de sortie dans un fil dispersif par exemple, hummm)

C'etait un vieux livre (des annees 40 / 50) et tout etait fait sans distributions. N'ayant pas acces aux distributions mais voulant quand meme etre rigoureux, tout etait base sur la fonction de heavyside + (si je me rapelle bien) une tres grosse dose d'analyse complexe. Au final, c'etait largement (!!) plus penible que faire des transformees de laplace avec des distributions.... beurk. Vite referme

"l artillerie moderne" a parfois du bon

vlad

[invite6b1e2c2e]

Salut Vlad,

Je suis tout à fait d'accord avec toi. Cela dit, c'est nettement plus conceptuel avec l'artillerie moderne. Ce que je veux dire, c'est qu'une même preuve peut être au choix incroyablement technique et sans prérequis théorique ou très peu technique et très théorique.
Cf par exemple toutes les preuves d'algèbre linéaire, qui repose sur le déterminant. Bien souvent, sans le déterminant, c'est très très dur de dire quoi que ce soit. Pourtant, conceptuellement, le déterminant est absolument non négligeable en algèbre linéaire.

__
rvz

[mtheory]

"l artillerie moderne" a parfois du bon

vlad

Je suis bien d'accord,mais faire du Dirac et des fonctions de Green/transformés de Laplace ne nécessite pas de faire de la théorie de la mesure de Lebesgue,des espaces de Hilbert/Banach/Sobolev et de partir dans toute la machinerie des distributions tempérées et autres théorèmes des noyaux.
Sauf si on fait de la physique mathématique ou des maths applis.
Toute la question est là.

En fait,je pars de mon expérience biaisée quand j'ai voulu lire les papiers en physique théorique de Hawking,Feynman etc...je me suis rendue compte que presque tout le programme de maths pour physicien à la Française avec les opérateurs linéaires,les espaces de Banach/Hilbert et la théorie de la mesure etc...ne servait à rien et que tout ce qui était véritablement important passait aux oubliettes ou presque.
Par contre le bouquin de Dieudonné, lui, donnait exactement ce qui était nécessaire et standard pour un physicien théoricien,contrairement aux bouquins de Schwartz et all.

Je précise,j'adore les bouquins de Schwartz qui sont superbes

Du coup, j'ai une certaine défiance envers toute cette machinerie à la Française,même si j'en reconnais la haute valeur pour la physique mathématique et l'analyse numérique avec des EDPS.
Suffit de lire le Reed Simon ou le Choquet-Bruhat pour s'en rendre compte

[invite85b7803f]

bon il te faut un espace fonctionel convenable d apres mon etude l existence et l unicité pour n>=3 est un probleme ouvert

[invite6b1e2c2e]

Salut Yassinass,

L'unicité est OK en dimension 2 ? Je n'en suis pas sûr, mais peut-être bien, les injections de Sobolev étant quand même plus sympathique en dimension 2.

Quant à l'existence, elle est par contre prouvée en n'importe quelle dimension, cf les références que j'ai déjà données.

Cordialement,
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rvz