Problème thermique (détermination longueur tube selon température) conduction + convection

[Sebbl]

Bonjour à tous,

Tout d'abord un grand merci à la communauté de FUTURA qui m'a permis de résoudre de nombreux problèmes dans des domaines variés.

Je n'ai pas pour habitude d'ouvrir de nouvelles discussions mais là je dois avouer que je planche un peu...

Je suis actuellement confronté à un petit problème de thermique que je n'arrive pas à poser avec mon faible bagage technique dans ce domaine.
Je cherche à dimensionner la longueur d'un tube vertical en acier soudé sur une conduite chauffée (voir illustration) pour obtenir une température T2 choisie en régime permanent (supérieure à la température ambiante mais inférieure à T1).

Le but de ce montage étant de ne pas cramer l'embout de l'appareil de mesure venant se fixer sur l'extrémité de ce tube.Je ne souhaite pas utiliser de refroidisseur, ventilateur, etc... Le refroidissement du tube se fera uniquement par convection de l'air ambiant non brassé.

Je souhaiterai ensuite faire un tableur Excel pour définir la longueur L mini selon les températures T1 et T2 imposée et la nature du matériau du tube, son diamètre, et épaisseur. (ça c'est la partie facile)

J'ai du mal à poser le problème :

Faut-il bien raisonner comme une ailette semi-infini (T2=Tambiante si L est infini)? Le problème dans ce cas si on ne prend en compte uniquement la conduction le flux sera fonction de la longueur "semi-infinie" considérée. De plus il faut que j'ajoute à l'équation les pertes par convection.

Quelqu'un pourrait-il m'éclairer sur la démarche à adopter?

Merci d'avance.


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[LPFR]

Bonjour.
Ce n’est pas ma spécialité et je ne pourrais pas vous donner une réponse totale. Mais ça incitera peut-être d’autres forites à participer.
Si le tube était plein, on pourrait l’attaquer comme une ligne de résistances en série avec des résistances vers la masse entre elles. Les résistances en série correspondent à la résistance thermique du tube (pour une petite longueur) et els résistances à la masse correspondent à al résistance thermique vers l’air due à convection.
Cette conductivité (1/résistance) est plus ou moins connue suivant les géométries.
Vous pouvez regarder :
http://www.ivaldi.fr/calcultherm.html
http://www.radiateur-electrique.org/...-radiation.php
Elle tourne autour de 10-15 W/(°C.m2)
Mais il faut tenir pressent que la convection dépend de facteurs mal connus, comme les courants d’air. Ou le gros tuyau d’en bas.

Dans votre cas, il y a pire : la possibilité de convection dans le liquide du tube (de l’eau ?). Cela dépend du liquide, et surtout de son diamètre. Et je n’ai pas la moindre idée d’où on pourrait trouver des données.
De plus, le courant dans le gros tuyau, s’il est turbulent, il peut aider cette convection.

Vous pourriez nous avoir donné ce que mesure l’appareil. S’il s’agit de la pression, il vous suffirait d’utiliser un tuyau de très petit diamètre.
Au revoir.

[Sebbl]

Bonjour,

Merci pour ces pistes de réflexions.

Concernant les données du problème l'instrument de mesure est bien un capteur de pression. On considère que le diamètre du tube vertical est très inférieur à celui de la conduite principale. Par conséquent nous pouvons négliger les effets de convection à l’intérieur du tube.

Il faut également considérer que la conduite principale horizontale est calorifugée donc ses effets convectif sur le tube vertical sont négligeables également.

Finalement cela revient à considérer un tube vertical infini à l'air libre avec sa base chauffée par conduction avec une température donnée (consigne) et je veux connaitre les effets des pertes cumulées (conduction + convection) en fonction de la longueur du tube.

Je n'arrive pas à exprimer cela sous forme d'équation car j'ignore les valeurs des flux (je n'ai que des températures). Si la base de mon tube est l'origine 0 et que son axe de révolution est x. Je sais que pour x=0 T=T1.

En fait le principal problème est que je me perds entre les flux axiaux et radiaux.

En considérant la conduction uniquement sur un tube infini et en supposant que les flux soient seulement axiaux (isolation parfaite de la paroi du tube avec l'air) est-il correct de dire :

F= (lambda / longueur tube) x section tube x (T1 - T2)
Si l'on souhaite que T2= Tambiante il faut que F=0 et on peut donc connaitre la valeur de T2 en fonction de L.

Le problème est que je ne sais pas comment prendre en compte les pertes radiales en conduction. (Faut-il les prendre en compte ou seulement intégrer les pertes radiale en convection)?

[Sebbl]

J'ai dit n'importe quoi. Si F=0 en convection on ne peut rien sortir de l'équation (mis à part que delta T=0) mais cela ne m'aide pas..

Ce problème me semblait pourtant simple aux premiers abords ...

[A voir en vidéo sur Futura]

[Boumako]

Bonjour

Ce montage est aléatoire utilisé en tant que tel, car au départ le tube sera rempli d'air (on a donc affaire à un simple problème de conduction/convection), mais petit à petit l'air sera entrainé et l'extrémité du tube sera susceptible de se retrouver à la température de la vapeur.
Il faut plutôt placer le piquage en dessous de la conduite et le remplir d'eau froide au montage. La mesure de pression devra donc prendre en compte cette hauteur de colonne de liquide supplémentaire.
Attention : Si le liquide est alimentaire il faut ne faut pas de zone morte, la mesure de pression devra se faire par l'intermédiaire d'un flexible d'huile équipé d'une membrane sur le raccordement de la conduite.

[LPFR]

Re.
Je vous fais un petit calcul (à vérifier).
Je me place en régime stationnaire.
Je considère une petite longueur de tuyau ‘dx’. La chaleur Q qui circule par unité de temps est :



Où A est la section et lambda la conductivité thermique
Mais cette petite longueur perd aussi de la chaleur par convection :



Je mesure la température par rapport à la température ambiante (si non, il faut remplacer T par T – Ta)



Où h est le coefficient de convection et R le rayon du tuyau.
Si on dérive la première équation par rapport à ‘x’ :



Donc, l’équation à résoudre est :



La solution est une exponentielle T = To e^(-ax).

Je vous laisse vérifier et évaluer ‘a’.
A+

[Boumako]

Cette solution sera valable si il ne passait rien dans le tube, malheureusement ce n'est pas le cas.

[Sebbl]

Bonjour,

Merci beaucoup LPFR pour ce calcul (j'ignorais qu'il fallait passer par la résolution d'équa diff pour ce type de problème...). Je vais me replonger dans mes cours de terminale pour résoudre tout ça (ça date!). Je reviendrai vers vous quand j'aurai des valeurs.

Merci Boumako pour ces conseils. Concernant la circulation dans le tube vertical cela doit dépendre de la vitesse du fluide dans la conduite horizontale par rapport au diamètre intérieur du tube non? Dans mon cas la conduite horizontale va voir passer les 2 phases et je souhaite éviter d’accumuler de l'eau dans des cavités pour éviter le "claquage" lorsque la vapeur sera surchauffée. Je pensais donc jouer sur la réduction du diamètre intérieur du tube et augmenter sa longueur.

[stefjm]

Donc, l’équation à résoudre est :

La solution est une exponentielle T = To e^(-ax).

Bonjour LPFR,
Juste par curiosité personnelle de ma part :
La solution complete de l'équation différentielle est en A.e^(ax)+.Be^(-ax).

Comment justifiez-vous de ne garder qu'un seul terme pour la réponse?
A quelle moment avez-vous surmodéliser? Ce qui a conduit à une solution que finalement, vous refusez.

Cordialement.

[Boumako]

Merci Boumako pour ces conseils. Concernant la circulation dans le tube vertical cela doit dépendre de la vitesse du fluide dans la conduite horizontale par rapport au diamètre intérieur du tube non? Dans mon cas la conduite horizontale va voir passer les 2 phases et je souhaite éviter d’accumuler de l'eau dans des cavités pour éviter le "claquage" lorsque la vapeur sera surchauffée. Je pensais donc jouer sur la réduction du diamètre intérieur du tube et augmenter sa longueur.

Si la conduite est verticale et placée au dessus le liquide retombera par gravité, quel que soit le diamètre, et si la conduite se vide de la vapeur arrivera en contact avec le capteur. En la plaçant en dessous il y aura effectivement un peu d'entrainement d'eau lorsque la vapeur passera d'une situation saturée à surchauffée, mais le même phénomène se produit tout au long de la conduite puisqu'il y a un peu de déperdition.
Au bout de quelques secondes de passage de vapeur surchauffé les entrainements vont stopper, et les quelques gouttelettes qui seront entrainées seront aussitôt vaporisées, donc pas de soucis à se faire de ce coté.