Thermodynamique, différentielle et intégrales

[robertneville]

Bonjour à tous ^^.

Alors je viens juste de sortir de ma terminale S et actuellement je suis en 1ère année de médecine à Pierre et Marie Curie.
On a fait des cours de thermodynamique et il y a certaines notions mathématiques que je n'ai pas comprises.

En terminale S on a vu les intégrales des fonctions telles que x, ou xⁿ, e^x, ln(x), e^u(x) et u'(x)/u(x) (avec u(x) une fonction usuelle).
Et on notais par exemple ∫_a^b f(x) dx = F(b) - F(a) avec F la primitive de f.
Mais là le professeur nous parle de U (l'énergie interne d'un système) comme étant une fonction d'état, et pour laquelle on a
∫₁² dU = U₂ - U₁ = △U
et le travail comme n'étant pas une fonction d'état, et pour laquelle on a
∫₁² δW = W et non pas W₂ - W₁ ou △W

Et après il dit qu'il s'agissait de différentielle totale exacte pour U et de différentielle inexacte pour W.

Alors mes questions sont les suivantes :
-Y-a-t-il une différence entre intégrale et différentielle ? Si oui qu'est ce qu'une différentielle ?
-Qu'est ce qu'une différentielle totale exacte et une différentielle inexacte ?
-Où est la différence entre le dx de terminale et celui qu'on nous présente ici ?
-Où est la différence entre dx et △x ?

PS : j'ai compris la différence entre ce qui est fonction d'état et ce qui ne l'est pas

Merci à ceux qui me répondrons
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[lucas.gautheron]

Bonsoir,

Je ne sais pas quel est le programme de mathématiques en médecine. Mais j'ai peur que pour quelques notions mettant en jeu les différentielles, vous soyez contraints de rester "frustré" un petit moment. Je veux dire par là qu'on ne vous donnera peut être pas tous les outils pour saisir toutes les subtilités qui se cachent derrière ces notions.

Je vais essayer de donner quelques éléments quand même, dans l'ordre qui m'arrange :

Où est la différence entre dx et △x ?

△x, c'est une différence entre deux valeurs quelconques d'un même paramètre et : c'est un intervalle fini dont on peut toujours lui donner une valeur (grande ou petite)
Par exemple, pour l'énergie U, on aurait, avant et après une transformation : , , donc △U = 400 J.
Quand on écrit un petit "d" (dx, ou dU), on fait référence à une variation infinitésimale. On ne peut plus lui donner de valeur : cela correspond à quelque chose d'arbitrairement proche de 0. C'est un cas limite si vous voulez.
Dans les intégrales comme vous les avez apprises (de Riemann), on écrit dx justement parce la fonction est découpée en petite intervalles infiniment petits. Si vous vous souvenez bien, on a du vous les présenter comme l'aire sous la courbe, qui s'obtient comme limite des aires des rectangles de base et de hauteur f(x) quand tend vers 0 qu'elle contient : http://homeomath.imingo.net/methrect.htm
Puisque a vocation à être infiniment petit, on écrit alors "dx".

Y-a-t-il une différence entre intégrale et différentielle ? Si oui qu'est ce qu'une différentielle ?

Ce ne sont vraiment pas les mêmes choses ! La différentielle correspond à une variation élémentaire, c'est à dire une variation "infiniment petite". L'intégrale correspond à une somme continue d'éléments infinitésimaux.
Par exemple, comme vous l'avez écrit : est la variation d'énergie interne entre deux "instants" bien distincts. Mais si vous découpez votre transformation en petites transformations infinitésimales (correspond à des états "infiniments proches"), vous pouvez écrire que la variation globale est la somme des variations élémentaires : c'est l'intégrale.

Où est la différence entre le dx de terminale et celui qu'on nous présente ici ?

En terminale, dx était une notation réservée aux intégrales. Désormais, le symbole d peut aussi correspondre à la différentielle d'une fonction, c'est-à-dire la variation infinitésimale de cette fonction lorsqu'on fait varier ses paramètres de façon infinitésimale. Par exemple, pour une fonction f d'une seule variable, on peut écrire : df(a) = f'(a) dx ( comme vous vous en souvenez, on peut approcher une fonction au voisinage d'un point par la tangente à celle-ci en ce point, d'équation , ce qui donne l'approximation : . En manipulant des intervalles infinitésimaux (en se rapprochant arbitrairement de a), les Delta deviennent des d droits et l'approximation devient "exacte". (c'est un peu plus subtil que cela....)

Qu'est ce qu'une différentielle totale exacte et une différentielle inexacte ?

Une différentielle totale est la variation infinitésimale d'une vraie fonction (appelons la U), comme je viens de la décrire. Elle a la propriété suivante : si vous sommez les petites variations de U en faisant varier ses paramètres d'un point A à un point B, alors le résultat quevous trouvez ( ) ne dépend pas de la façon dont vous avez fait varié ces paramètres (du chemin suivi lors de la transformation) mais uniquement des points de départ et d'arrivée. Pour une tellle fonction, .

Ce n'est pas le cas d'une "différentielle inexacte" a priori. Une différentielle inexacte n'est pas la variation élémentaire d'une vraie grandeur. Il peut s'agir du travail d'une force non conservative par exemple.

A+