Energie d'un solide animé de 2 rotation

[CZ48]

Re,

La question précédente, m'en a soulevé une autre. En reprenant le même dessin. l'énergie contenue dans un objet en rotation est 1/2Jw². Le bras tourne autour de l'axe rouge à la vitesse 'w', le petit disque possède une inertie J autour de l'axe rouge. Le petit disque tourne autour de lui même à la vitesse 'w1', il possède une inertie J1 autour de cet axe. L'énergie du petit disque est bien 1/2*J1*w1²+1/2*J*w² si 'w' et 'w1' sont dans le même sens et -1/2*J1*w1²+1/2*J*w² si 'w' et 'w1' sont dans des sens différents ?


a++
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[CZ48]

Bon, j'étais un peu vite en besogne, c'est pas aussi simple ici aussi mais le résultat est bien différent avec 'w' et 'w1' dans le même sens et 'w' et 'w1' de sens contraire, non ? car si je prends un point et que je convertis en vitesse linéaire cela ne donne pas la même chose à cause du carré, d'un côté on fait (x+delta)² et de l'autre on a (x-delta)² le delta étant la vitesse modifiée à cause de 'w1'. Je sais pas si c'est assez compréhenssible.

[Dynamix]

L' énergie cinétique par rapport à un référentiel bras qui tourne , n' est pas la même que par rapport à un référentiel fixe .

[CZ48]

Ce que je souhaite savoir c'est si le sens de rotation du petit disque change la somme de l'énergie de l'ensemble. Si non, comment les calculs finissent par être les mêmes alors qu'il y a un carré ? (voir image autre question car elle n'est pas validée, c'est la même). Si on éclate le petit disque en mille morceaux, est ce qu'on récupère la même énergie lorsque w1 est dans un sens ou dans l'autre (avec une vitesse w non nulle) ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[Dynamix]

La rotation du petit disque par rapport à quoi ?
Par rapport au référentiel fixe , le sens de rotation (signe de ω3) ne change pas l' énergie dans le référentiel fixe .

[Amanuensis]

Par symétrie, l'énergie est la même, il me semble.

En prenant une image miroir par rapport à un plan perpendiculaire à l'axe rouge on change l'un des sens de rotation sans changer l'autre.

[CZ48]

@Dynamix: le petit disque tourne sur lui même noté w2 sur le dessin (je me suis trompé dans le message) et le bras tourne à la vitesse w1 autour du centre rouge. Donc le signe de w2 ne change pas l'énergie ?

@Amanuensis: je ne comprends pas l'image du miroir.

Si l'énergie est la même, quand je regarde un point externe et un point interne au petit disque les vitesses sont:

(w1*d+w2(d+2r)) pour le point externe et (w1d-w2d) pour le point interne, si w2 dans le même sens que w1

(w1*d-w2(d+2r)) pour le point externe et (w1d+w2d) pour le point interne, si w2 dans le sens contraire a w1

avec 'd' la longueur du bras et 'r' le rayon du petit disque

En prenant les énergies cinétiques, on met au carré les vitesses et la somme n'est pas nulle, bon après ce n'est peut être pas une bonne méthode, dites moi svp.

[Dynamix]

Par symétrie, l'énergie est la même, il me semble.

Oui : ω²​ est toujours positif .

[Amanuensis]

Oui : ω²​ est toujours positif .

C'est en supposant la formule! J'indiquais un raisonnement sans aucune supposition sur la formule.

[Amanuensis]

@Amanuensis: je ne comprends pas l'image du miroir.

Comme la figure n'était pas validée, j'avais considéré que les deux axes étaient perpendiculaires. Mon premier message ne s'applique pas, désolé.

[Dynamix]

le petit disque tourne sur lui même noté w2

Oui , mais ça ne me dit pas dans quel référentiel est définit ω2
Tu mesure l' angle de rotation par rapport au bras ou par rapport au référentiel fixe ?

[CZ48]

@Dynamix: L'axe rouge est fixe, je sais pas si c'est la réponse que tu veux ? Sinon le calcul des vitesses post#7 est en absolu

@Amanuensis: est ce que le calcul des vitesses linéaires est valable ? ou alors je dois inclure un autre paramètre ?

[Amanuensis]

On va poser la question autrement: si w2=0, est-ce que le point intérieur du petit disque est toujours le même (fixe par rapport au bras, juste à côté)? Comme par exemple la Lune autour de la Terre?

[CZ48]

oui, je pense, arf je viens de comprendre, oui w2 est relatif au centre vert et w1 relatif au centre rouge

[Dynamix]

Non !
On mesure l' angle d' une droite par rapport à une droite de référence . Peu importe leur intersection .
Il faut donc déterminer la droite de référence que tu utilise pour mesurer tes angles . Peu importe le centre .

[CZ48]

Quel angle ? J'ai juste pris 2 points (#7), un le plus loin possible et l'autre le plus près possible situé sur le petit disque. (Trace une droite passant par le bras). Après j'ai pas fait le calcul pour tous les points car s'il y a un problème pour ces deux points il y aura un problème pour tous les points je pense. Mon calcul de vitesse est sans doute faux.

[Amanuensis]

oui, je pense

Je comprends ce "oui", comme un oui à la question que j'ai posée, et donc que si w0=0 c'est comme la Lune autour de la Terre: le petit disque montre toujours la "même face" au centre rouge.

[CZ48]

tout à fait Amanuensis (w2=0) mais qu'en est il des calculs de vitesse ?

[Dynamix]

Pour que le dessin soit parlant , il faut représenter le bras avec un angle θ₁ et le petit cercle avec un rayon qui a tourné de θ_{2 .}
Et montrer les cotesθ_{1 et} θ₂

[Amanuensis]

tout à fait Amanuensis (w2=0) mais qu'en est il des calculs de vitesse ?

Je ne sais pas.

Mais pour l'énergie du disque c'est simple, c'est la somme de l'énergie de translation du centre de masse comme si la masse y était toute entière, plus l'énergie de rotation autour du centre de masse, la vitesse angulaire étant celle relative à un référentiel inertiel. C'est valable pour tout solide.

La rotation autour de l'axe rouge donne la translation: cela donne 1/2 M (w1d)². La rotation propre a pour vitesse angulaire (w1+w2) par rapport au référentiel inertiel si c'est dans le même sens, et (w1-w2) si c'est en sens opposé. Le mieux est de voir w1 et w2 comme des valeurs avec signe, le signe indiquant le sens de rotation. L'énergie en rotation est 1/2 J(w1+w2)² et dépend donc du sens de rotation, via les signes.

[CZ48]

L'énergie en rotation est 1/2 J(w1+w2)² et dépend donc du sens de rotation, via les signes.

c'est ce que je voulais savoir, merci ! c'est pour cela que je croyais qu'on pouvait additionner les vitesses de rotation (voir question précédente).

Exemple, w1=+10 rd/s, w2=-3 rd/s, l'énergie totale est 1/2M(w1d)² + 1/2J(10-3)² ?

J c'est bien l'inertie du disque autour de lui même ?

[Amanuensis]

c'est ce que je voulais savoir, merci ! c'est pour cela que je croyais qu'on pouvait additionner les vitesses de rotation (voir question précédente).

Exemple, w1=+10 rd/s, w2=-3 rd/s, l'énergie totale est 1/2M(w1d)² + 1/2J(10-3)² ?

Oui c'est ça, avec w2 relatif au bras (ce qui sera mesuré par un compte-tour fixé au bras).

J c'est bien l'inertie du disque autour de lui même ?

L'inertie par rapport à l'axe de rotation passant par son centre de masse.

[CZ48]

super ! merci

Enfin, encore un point sur l'énergie, si w1 = 10 et w2 = -3 rd/s et si le grand disque entraine le petit, alors le grand perd de l'énergie et le petit aussi ?

[Dynamix]

tout à fait Amanuensis (w2=0) mais qu'en est il des calculs de vitesse ?

La vitesse de quoi ?
D' un point du petit disque .
C' est la vitesse de son centre ω1^R plus sa vitesse circonférentielle ω2^r
^ = produit vectoriel

[Amanuensis]

super ! merci

En espérant que vous avez vu le point sur les deux manières de parler de la vitesse angulaire du disque...

Enfin, encore un point sur l'énergie, si w1 = 10 et w2 = -3 rd/s et si le grand disque entraine le petit, alors le grand perd de l'énergie et le petit aussi ?

Qu'appelez-vous "entraîner" dans le contexte?

[CZ48]

En espérant que vous avez vu le point sur les deux manières de parler de la vitesse angulaire du disque...

oui, pour moi c'est évident de parler de la vitesse angulaire relative au disque (centre vert) sinon cela ne veut rien dire, enfin je pense, comment pourrait on parler de vitesse de rotation différente par rapport au point vert ? vous me laissez perplexe.

Qu'appelez-vous "entraîner" dans le contexte?

Imaginons que les disques sont des engrenages sans friction. Le bras possède une masse. Si les vitesses de rotation sont différentes alors le grand disque va perdre de la vitesse car il va entrainer le petit (il subit un couple car le centre rouge est fixe). Le petit disque va subir aussi un couple à cause du bras qui a une masse, donc le grand disque perd de l'énergie le petit aussi: (w2-w1), alors toute l'énergie va dans le bras ? comment calculer cela ?

[Dynamix]

Si tes vitesses de rotations sont constantes , les énergies ne varient pas .

[CZ48]

Elles sont différentes w1=10 et w2 = -3 rd/s. Disons qu'à un instant 't' on "enclenche" les engrenages, sans friction (exemple théorique pour ne pas compliquer).

[Dynamix]

L' énergie totale après engrènement est égale à l' énergie totale avant engrènement .
Et le sens de rotation n' influe pas sur l' énergie cinétique vu que ω apparaît au carré .

[CZ48]

L' énergie totale après engrènement est égale à l' énergie totale avant engrènement .

oui, heureusement.

Et le sens de rotation n' influe pas sur l' énergie cinétique vu que ω apparaît au carré .

Vu l'équation d'Amanuensis avec en paramètre (w2-w1)² je pense plutôt à un transfert d'énergie vers le bras. Je pense qu'il y a bien un couple sur le grand disque et un autre sur le petit mais le bras gagne en vitesse de rotation.