Mécanique analytique, formalisme Hamiltonien

[invitedf896e76]

Bonjour,
je suis actuellement dans mes révisions pour un partiel de mécanique analytique (formalisme Lagrangien/ Hamiltonien). J'ai donc essayé de refaire l'exam de l'année passée, mais je vous avoue que je bloque sur certaines choses. Si certains(nes) d'entre vous pourraient m'éclairer ?


Le sujet traite d'une particule soumise uniquement à un champs électromagnétique extérieur (potentiel de pesanteur négligeable donc).
L'énoncé donne

le potentiel vecteur A= 1/2(B^x) (vectoriel) avec B = Bz (pas de coordonnées selon x et y)
le potentiel scalaire phi différent de 0, ne dépendant que de x et y

Le Lagrangien s'écrit donc : L=T-V = 1/2 mv² - (q(phi) + qv.(B^x)

La question posée est :
"Montrer que si phi ne dépend pas de z et si x.d(phi)/dy - y.d(phi)/dx = 0 alors le
système est encore invariance par translation le long de l’axe Oz et par
rotation autour de Oz . En déduire alors les nouvelles quantités conservées."

Je sais que c'est un peu flou, si vous avez des questions pour éclaircir, n'hésitez pas. Merci

[invited9422e7e]

Tu calcul la dérivée du lagrangien par rapport à z et tu montres qu'elle est nulle. Tu peux t'aider aussi d'Euler-Lagrange pour calculer cette dérivée si le calcul direct est difficile.
Tu fait de même pour la variable qui décrit la rotation autour de Oz.

[albanxiii]

Bonjour,

Pour l'invariance par translation, vous vous en sortirez en calculant , ou pour l'invariance par rotation autour de l'axe , en calculant , en se rappelant que l'image de dans la rotation infinitésimale de vecteur est (il faut exprimer tout ceci en fonction des coordonnées, mais c'est facile).

@+

[invitea6e91e1c]

"Montrer que si phi ne dépend pas de z et si x.d(phi)/dy - y.d(phi)/dx = 0 alors le
système est encore invariance par translation le long de l’axe Oz et par
rotation autour de Oz . En déduire alors les nouvelles quantités conservées."

Je serais curieux de savoir si l'on retrouve ce que dit Noether, à savoir :
L'invariance par translation entraîne la conservation de la quantité de mouvement;
L'invariance par rotation entraîne la conservation du moment cinétique.

[A voir en vidéo sur Futura]

[albanxiii]

Bonjour,

Evidemment que le théorème de Noether est vérifié.
Vous le connaîtriez et vous auriez fait le calcul, vous auriez évité ce hors sujet inutile pour le primo-posteur.

@+

[invitedf896e76]

Je me suis un peu renseigné auprès des autres en cours et il suffisait juste d'avoir un raisonnement non calculatoire (du fait que précédemment je devais calculer les quantités conservées avec Noether en translation et rotation.)

A savoir :

Translation :
q.phi(x,y) donne après translation q.phi(x,y) puisque phi ne dépend pas de z (énoncé)
Donc après utilisation de Noether je retrouve la même quantité conservé que si phi = 0

Rotation :
La transformation s'écrit : x +x^epsilon (tout est vectoriel et epsilon dépend juste de z car la rotation est autour de z)
Donc d'après le produit vectoriel écrit ci-dessus,
q.phi(x,y) donne après transformation q.phi(x-epsilon.y , y+epsilon.x)

et connaissant x.d(phi)/dy - y.d(phi)/dx = 0 de l'énoncé on retrouve les même invariance que phi=0.

C'est une sorte de transformation de Jauge je pense.