Landau-système de points en interaction

[invitef8678d9d]

salut à tous,

dans le landau de mécanique, après avoir affirmé que la fonction de lagrange d'un système de points sans interaction entre eux dans un référentiel galiléen s'écrivait :

L=somme des mivi^2

on passe à un système de points en interaction, cad pour deux points, la présence de l'un dans l'espace influe sur le mouvement de l'autre.

Pour tenir compte de cette interaction dans la loi du mouvement, dans la fonction de lagrange du système on rajoute une quantité dont la forme dépend du caractère de l'interaction et dont la dépendance se fait uniquement sur la configuration du système ( ensemble des positions de chaque points )

j'aimerais savoir pourquoi cette quantité ne peut pas dépendre des vitesses de chacun des points constituants le système, pouvez-vous me donner des arguments ( assez solides ) pour m'en convaincre.

merci pour vos réponse.
mattcharr
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[Amanuensis]

Ils font une distinction entre les "processus mécaniques purs" et les autres. Les "purs" sont traitables avec un lagrangien tel que décrit. Pour les autres, un premier exemple est donné au chapitre 25: lire l'intro de ce chapitre.

[invitef8678d9d]

Qu'appellez-vous " phénomènes mécanique purs ? "

Cela signifie t-il que prendre en compte les interactions entre les différents constituants sort du cadre de de la mécanique et déborde sur une autre théorie comme celles des champs par exemple ? Les interactions résultent d'un phénomènes qui ne peut pas être décrit par de simples considérations mécaniques ?

[Amanuensis]

Je ne fais que rapporter ce qui est dit dans le Landau, en traduisant "purely mechanical process".

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitef8678d9d]

Car à priori, dans la construction, on rajoute un terme au Lagrangien pour rendre les équations du mouvement "couplées" ce qui rend compte des interactions entre les différents constituants.
Mais on aurait très bien pu dire que ce terme dépend des vitesses, non ? On impose que ce terme dépend uniquement des r1,r2,...,rn mais pourquoi ?
Quel est l'argument physique qui permet d'exclure la dépendance des vitesses ?

[invitef8678d9d]

Désolé, je n'ai peut-être pas été assez précis dans ma question, je me place au début du chapitre 5 quand il rajoute un terme au lagrangien pour rendre compte des interactions...

[Amanuensis]

J'avais compris.

Je n'ai pas la réponse à la question, je me contente d'indiquer que quand ils veulent traiter un cas où la vitesse intervient dans l'interaction, au chapitre 25, ils ne le traitent pas avec un lagrangien.

Ils semblent donc diviser les questions en deux catégories, celles qu'on peut traiter avec un lagrangien de la forme indiquée chapitre 5, qu'ils appellent "processus mécaniques purs", et les autres.

C'est assez surprenant, j'en conviens, puisque le lagrangien avec l'interaction électromagnétique classique a bien un terme dépendant de la vitesse.

[invitef8678d9d]

Un peu plus loin, il explique que le fait que l'énergie potentielle dépende uniquement des coordonnées a pour conséquence qu'un changelent de position de l'un des points a un effet INSTANTANÉ sur tout les autres ( l'interaction se propage instantanément )
Auriez-vous une explication ?

[Amanuensis]

C'est inhérent à la formule du lagrangien qui est présenté: la position des autres points matériels est celle au présent, sans retard dû à une propagation.

Je pense qu'il faut voir ces modèles comme des idéalisations, incluant des hypothèses simplificatrices non nécessairement conformes à la "réalité". L'effet "instantané" en est une.

Cela est "corrigé" avec les champs, sujet du tome 2.

Bref, il ne faut pas prendre le modèle exposé dans les premiers chapitres comme décrivant une réalité, mais le voir comme un modèle dont les applications pratiques sont des approximations acceptables de phénomènes ne respectant pas les propriétés "idéales" comme l'interaction instantanée, mais en sont "suffisamment proches". (Le plus gros de la physique est comme ça!)

[albanxiii]

Bonjour,

Auriez-vous une explication ?

Le tome 1 traite de la mécanique classique, newtonienne, mais dans la formulation lagrangienne et hamiltonienne.
Je suis sur que toutes les énergies potentielles et interactions que vous avez rencontrées jusqu'à maintenant (si vous n'avez pas abordé la relativité) ont la même propriété d'instantanéité.

@+

[invitef8678d9d]

Le fait qu'on adopte un point de vue classique et qu'on impose l'énergie potentielle dépendant uniquement des coordonnée ne me gène pas. C'est juste que je ne vois pas comment démontrer, à partir de l'hypothèse que l'interaction est instantanée, que l'énergie potentielle ne peut dépendre que des coordonnées ou plus simplement, comment démontrer que l'énergie potentielle dépend des coordonnées et des vitesses => l'interaction se propage à vitesse finie ?

[invitef8678d9d]

Si on pose U(r,v) et qu'on remplace dans les équations de Lagrange, on obtient quelque chose d'à priori pas impossible, mais en allant plus loin on doit parvenir à la conclusion que dans ce cas l'interaction se propage de manière instantanée.

[invited9b9018b]

Bonsoir,

Je crois que vous déformez un peu les propos du Landau Lifshitz (j'ai vérifié).

Comme l'a indiqué Amanuensis, la forme de Lagrangien proposée pour un système fermé ().
Evidemment il y a beaucoup d'hypothèses derrière (notamment celles contenues dans le principe de moindre action...), mais pas mal de cas restent décrit par ce lagrangien (par exemple la gravitation newtonienne).

Ce qui est dit ensuite est que, par conséquent, dans un système suivant un Lagrangien de cette forme, les interactions se propagent à une vitesse infinie puisque l'effet d'un corps sur un autre ne dépend que de leurs positions au même instant.
Or, il est ajouté que ce fait - la propagation instantanée - est nécessaire, sans quoi la relativité galiléenne serait violée (si la propagation se faisait à une vitesse finie, cette vitesse devrait dépendre du référentiel inertiel choisi).

Donc, si certains cas de figures sont mis de côté, c'est parce qu'ils ne sont pas cohérents avec les hypothèses faites au départ (temps absolu et transformations galiléennes).
Ces cas sont traités dans un cadre plus consistant dans le tome 2.

A+

[invitef8678d9d]

Compris ! Merci à tous pour vos réponses, cela m'éclaire un peu plus.
Donc si on suppose que l'interaction se propage à vitesse finie, on mettrai U(r1(t-tau), r3(t-tau), ..., rn(t-tau)) avec tau le temps de propagation du signal et non U(r1(t), r2(t), ..., rn(t)) comme il l'est envisagé ici. De sorte que dans l'équation du mouvement de la particule a soit ma.dva/dt=des termes qui dépendent de la position des particules à l'instant t-tau ( "un vecteur force envoyé à l'instant t-tau " ). Autrement dit, l'information " on est dans cette position à l'instant t " se propage et a un effet à l'instant t+tau. Est-ce une bonne vision des choses selon vous ?
Mais j'ai encore un problème d'ordre mathématique, que vaut le gradient ( " dérivé selon le vecteur ri " ) de U(r1(t-tau), r2(t-tau), ..., ri(t-tau), ..., rn(t-tau)), je vois mal ce que cela représente dans ce cas-ci.

[azizovsky]

Salut, un exemple ici : http://en.wikipedia.org/wiki/Li%C3%A...hert_potential.

[albanxiii]

Re,

Donc si on suppose que l'interaction se propage à vitesse finie, on mettrai U(r1(t-tau), r3(t-tau), ..., rn(t-tau)) avec tau le temps de propagation du signal et non U(r1(t), r2(t), ..., rn(t))

Enfin, presque, parce que ça n'est pas le même pour toutes les positions, et pire, pendant ce temps les particules ont bougés, donc les ne sont plus les mêmes non plus.
Mais cela se traite très bien et se résout (cf. le lien d'azizzovsky sur les potentiels de Lienard et Wiechert, ou bien pour infiniment plus de détails, le cours de théorie classique des champs de Alain Laverne).

@+