Système à n corps / Lagrangien

[invitebc0b0c0f]

Bonjour,

ma prof de formalisme lagrangien et hamiltonien nous à sorti un exemple pour illustrer les coordonnées généralisées : le système à n corps, cependant j'ai des problèmes de compréhension suite à ses notations.
Voici son énoncé :

Soit n points matériels de masses {} en interaction mutuelle et soumis à des forces extérieures conservatives.
Forces intérieures: et


Force extérieure: avec i [1,n]

Ce qui donne le Lagrangien :


et l'équation de Lagrange :


avec :

Ce qui donne l'équation du mouvement : qui est l'équation fondamentale que l'on retrouvve avec Newton (ouf, enfin terminer, ça ne m'a prit qu'une heure...)

Viennent alors mes 3 questions :
- le changement d'indice k (remplaçant i à partir de l'équation de Lagrange) sert-il uniquement à ne pas confondre le i de la particule que l'on fixe, avec celui de la somme qui décrit toutes les particules ?

- pouvez-vous m'expliquer :

- je trouve qu'il y a un petit problème de rigueur, sans pour autant trouver une solution. Entre deux particules, le vecteur position de la particule j par rapport à i, pour le potentiel, s'écrit , alors pourquoi ma prof (je n'ai pas trouvé sur internet de démo pour ce système) écrit ? Je trouve que ça n'a pas de sens... Ca devrait être . Mais, en effet, après il y aura un problème pour les équations de Lagrange comme je les ais écrite (Si j'étais courageux, je réécrirai tout avec mes notations). Est-ce équivalent ? Est-ce juste que ma prof à abrégé les notations ?

Je vous remercie d'avance.
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[albanxiii]

Bonjour,

1 - dans l'expression du lagrangien, le est une variable muette, on peut la remplacer par n'importe quelle autre lettre.
Si on s'intéresse au mouvement de la particule , alors on ne peut plus utiliser comme variable muette dans les sommes qui interviennent dans l'expression du lagrangien, on doit en prendre une autre. Ici, on a pris , mais on aurait pu prendre , , etc.

2 - c'est une astuce d'écriture pour garder la double somme, sur et . Si vous la décomposez et écrivez explicitement les termes, vous retomberez sur une expression sans les mais qui sera la même (au cas où, je rappelle que si et sinon).

3 - que vous ayez un potentiel de la forme ou , l'expression de la force exercée sur la particule est la même dans les deux cas, vous êtes d'accord ? Et par définition du potentiel, cette force est ...

@+

[invitebc0b0c0f]

Merci pour votre réponse, je commençais à désespérer !

1 - dans l'expression du lagrangien, le est une variable muette, on peut la remplacer par n'importe quelle autre lettre.
Si on s'intéresse au mouvement de la particule , alors on ne peut plus utiliser comme variable muette dans les sommes qui interviennent dans l'expression du lagrangien, on doit en prendre une autre. Ici, on a pris , mais on aurait pu prendre [tex}n[/Tex], [tex}p[/Tex], etc.

D'accord, du coup, j'aurai pu éviter cette question si ma prof avait mit des k dès le début !

2 - c'est une astuce d'écriture pour garder la double somme, sur et . Si vous la décomposez et écrivez explicitement les termes, vous retomberez sur une expression sans les mais qui sera la même (au cas où, je rappelle que si et sinon).

D'accord, s'il ne s'agit là que d'une astuce, ça me suffit.

3 - que vous ayez un potentiel de la forme ou , l'expression de la force exercée sur la particule est la même dans les deux cas, vous êtes d'accord ? Et par définition du potentiel, cette force est ...

Oui, en faites, ce qui me génait, c'était la non présence des deux vecteurs position pour la dérivée partielle. Mais finalement, c'est logique. Le potentiel, lui, est défini par rapport à ces deux vecteurs, et on s'intéresse à comment il varie en modifiant dans n'importe quelle direction de l'espace la particule j uniquement... Ai-je raison ? (avec du recul j'ai limite honte de mes questions, mais bon, autant passer pour un idiot mais avoir les idées claires au final !)

En tout cas merci beaucoup pour vos réponses !

[albanxiii]

Re-bonjour,

Pour la dernière question, oui, vous avez raison.
Et moi aussi, j'ai eu un peu de mal quand j'ai commencé à passer de la théorie à la pratique en mécanique lagrangienne.... on croit comprendre le cours, mais quand il s'agit de l'appliquer, il y a des des détails pratiques qui peuvent poser problème.
Si vous êtes très motivé, je vous conseille les deux livres (un de cours + exercices corrigés et l'autre que des problèmes corrigés) de Claude Gignoux et Bernard Silvestre-Brac aux éditions EDP. Quand vous aurez fait tous les problèmes du second, vous commencerez à bien maîtriser le sujet.

@+

ps : sans vouloir faire de pub, les deux livres en question
http://laboutique.edpsciences.fr/pro...5840/Mecanique
http://laboutique.edpsciences.fr/pro...s%20de%20cours

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitebc0b0c0f]

Bonsoir,

j'ai un peu regardé vos livres, en effet ils ont l'air biens, surtout le premier qui serait une référence ! Je pense vraiment que je vais l'acheter, merci beaucoup pour vos conseils albanxiii !

A+.

[albanxiii]

Re,

De rien, mais ne négligez pas le second (même si l'ensemble n'est pas donné !), pour ma part j'ai vraiment compris le cours (1er tome) après avoir travaillé les problèmes (2nd tome).

@+