systeme 2 corps

[invite58752483]

Il parait qu'un systeme à 2 corps a une solution analytique ;mais je n'ai trouvé absolument aucune page internet ou livre qui donne explicitement les equations solutions; et quand je donne à Maple de résoudre le systeme differentiel à "4 "equations ,4 inconnues

m1 :=123:m2 :=356:sys:=[diff(diff(xA(t),t),t)-m2*(xB(t)-xA(t))/(( (xA(t)-xB(t))^2+ (yA(t)-yB(t))^2)^(3/2)),diff(diff(xB(t),t),t)+m1*( xB(t)-xA(t))/(( (xA(t)-xB(t))^2+(yA(t)-yB(t))^2)^(3/2)),diff(diff(yA(t),t),t)-m1*(yB(t)-yA(t))/(((xA(t)-xB(t))^2+(yA(t)-yB(t))^2)^(3/2)),diff(diff(yB(t),t),t)+m2*( yB(t)-yA(t))/(( (xA(t)-xB(t))^2+ (yA(t)-yB(t))^2)^(3/2))]; dsolve(sys,{xA(t),xB(t),yA(t), yB(t)});

il ne sait pas resoudre et boucle.
Quelqu'un peut il m'aider la solution!
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[invite0224cd59]

Qu'appelles tu "système à deux corps"??
S'il s'agit de deux particules en intéraction (newtonnienne par exemple), il faut se placer dans le référentiel barycentrique pour trouver une solution.Tu créer une masse virtuelle µ= m1 + m2 qui est en mouvement autour du barycentre du système (S1, S2). On se ramène alors à un problème à un corps.
J'espère ne pas avoir répondu à côté (dans le doute je ne développe pas trop la réponse)

[invite58752483]

En effet , je parlais bien d'interaction newtonnienne(moi j'ai appliqué brut de pomme ma=F pour les 2 corps A et B).
.OK,par ta methode on a une masse m1+m2 qui tourne autour du barycentre , et après comment calcules tu le mouvement de A et B (est ce que tu refais ce que j'ai fais en prenant xA(t)=distance de A au barycentre ou quoi?

[invite0224cd59]

ben la suite est assez compliquée!!!

M1(m1).............G.......... .....M2(m2)............M(µ)
<---------------------------->
r
<-------------------------->
r

vect(GM)=vect(GM1)-vect(GM2)
vect(GM1)= -m2/(m1+m2) vect(GM)
vect(GM2)= m1/(m1+m2) vect(GM)

Le PDF donne: µ*d²(vect(GM))/dt² = vect(F) = -K/r² vect(e_r)
Puis il faut considéré que l'on a a faire a un mouvement à force centrale et que par conséquent il respecte la loi des aires et que donc on peut appliquer les formules de Binet:
µ*d²(vect(GM))/dt² =µ* -C²u²(d²u/d(theta)² + u) * vect(e_r)
avec µ = m1+m2 ; C= cte des aires = r²*d(théta)/dt et ; u = 1/r

Ensuite en ne gardant que les termes d'ordre max 2, on a

d²u/dt² + u = K/(uC²)

Je te passe la résolution de cette eq --> on arrive alors a:
1
r = ------------------------- --> eq d'une conique
K/(µC²)+ A.cos(thêta -thêta₀)

Bon courage!!!!!

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite0224cd59]

dsl je vois que mé schémas ne rendent pas très bien!!!!!

[invite58752483]

.Mais oui: Binet .J'ai tout compris à quelques petits details près:
1)si vect(GM)=vect(GM1)-vect(GM2), ça veut dire que vect(GM)=vect(GM1)+vect(M2G)=v ect(M2M1) si j'ai bien compris ,ms ds ce cas ca ne correspond pas à l'ordre des points sur le schéma ;alors qu'est ce qui est juste ?
2)Je suppose que tu voulais dire : K/(µC²)+ A.cos(thêta -thêta0)
+B.sin(thêta -thêta0)
3)Comme au final on veut genre xA(t) yA(t) xB(t) yB(t), il nous faut expliciter theta=theta(t)=omega*t ;omega:vitesse angulaire :qui vaut combien ici?
4)Je suppose qu'il faut en deduire la vitesse angulaire de M1M2 avec le rayon qui varie le long de cette droite
5)Comme mes points sont censés avoir des vecteurs vitesses(3D) qui ne sont pas forcement colinéaires , pour trouver l'axe de rotation pour omega; je suppose que je doit faire le produit vectoriel des 2 vecteurs vitesse?

[invite0224cd59]

1°) Oui en effet, il s'agit bien de GM2 - GM1 comme sur le schéma (dsl)

2°) Je n'est plus le calcul en tête, mais il me semble que cela provient du fait que, A.cos a + B.sin a = C.cos (a+phi) --> avec des conditions initiales sympas phi = 0

3°) Thêta tu le choisit comme tu veux.

4°) Tu va avoir des expressions compliquées si tu repasse en Cartésien. Si tu n'es pas obligé de le faire je te conseil de le laisser en polaire.

5°) Mouvement à force centrale ==> mvt plan!!

J'ai la flême de faire les calculs alors j'espère que de tête je n'ai pas dit trop de bétises!!