Corps rigide, lagrangien, petites oscillations

[invite945d3fbd]

Bonjour a tous, je bloque sur un probleme d'un examen final de 2003 (je me prépare pour un examen qui aura lieu le 7 mars). Le voici:
--------------------------------------------------------
Un demi-cylindre d'épaisseur négligeable, de rayon a et de masse M peut rouler sans glisser sur le plan horizontal z=0, avec son axe parrallele a l'axe des x. Sur sa surface intérieure, une particule de masse m glisse sans friction, contrainte a se mouvoir dans le plan yz. Le systeme est porté dans un champ gravitationnel uniforme -g .
1)Combien de degrés de liberté possede le systeme? Écrire le lagrangien.
2)Trouver la configuration d'équilibre stable et écrire le lagrangien correspondant aux petites oscillations.
3)Trouver les fréquences d'oscillations et leur modes normaux; décrire qualitativement ces derniers.
4)Si initialement le systeme est au repos et en équilibre stable et que l'on donne une impulsion a la particule de masse m, trouvez les équations du mouvement et résolvez-les.
-------------------------------------------------------
1)Je dirais 1 degré de liberté. En effet, si on me donne la position de la particule de masse m, je pourrais en théorie connaitre celle du demi-cylindre (son mouvement n'est pas indépendent de celui de la particule de masse m).
Pour le lagrangien: il est clair qu'il va etre la somme de 2 lagrangiens, celui de la particule de masse m () et celui du demi-cylindre ( avec ). Le demi-cylindre va osciller par rapport a un axe horizontal parallele a l'axe des x, et situé a la hauteur de son centre de masse.
Pour la particule de masse m: .
Pour le demi-cylindre de masse M: . Cependent phi et theta sont lié (quoique je ne suis pas si sur de leur relation). Je crois que . Ce qui fait (corrigez-moi si je me trompe). Par conséquent le lagrangien total serait . Il ne me reste plus qu'a calculer I, le moment d'inertie du semi-cylindre par rapport a son axe de rotation. J'ai donc besoin de calculer la hauteur de son centre de masse et c'est la que je bloque.
J'ai considéré un semi-cylindre de longueur L. Mathématiquement . Dans mon cas dM vaut ou A est l'aire de la base du semi-cylindre de a . Et c'est la que je bloque. Je n'arrive pas a exprimer cette aire. J'ai besoin de trouver l'arc de cercle signalé par une fleche dans l'image jointe. Si je le nomme "S", l'aire A vaut SL, ou L est la longueur du demi-cylindre. Merci pour toute aide.
-----