Champ électromagnétique, équations locales exercice

[VeryCuriousMan]

Bonsoir tout le monde
Je commence un chapitre où je galère vraiment (oui oui sincèrement) et j'ai un exercice que je n'arrive pas à résoudre
En utilisant les équations locales si possible, déterminer le champ électrostatique crée un tout point M par une sphère de centre O, rayon R, chargée dans ces 3 situations:
a) sa charge est uniformément répartie sur sa surface avec la densité σ0
b) sa charge est répartie dans tout le volume d'une couche sphérique d'épaisseur R2 - R1 avec la densité ρ0,
c) sa charge est répartie dans tout son volume avec la densité ρ0, sauf dans une cavité sphérique vide de centre O' tel que OO' = a
Comme la première chose à faire est de chercher les symétries du système physique, j'ai obtenue par le jeu des symétries et invariances :
Ensuite bah je sais que et (équations de Maxwell)
Mais ensuite les 3 situations c'est incompréhensible pour moi :'(
Si quelqu'un pouvait m'expliquer vraiment clairement histoire que je sois pas pommé comment résoudre le problème ça serait super cool !
Merci d'avance
-----

[albanxiii]

Bonjour,

C'est un peu du masochisme de passer par les équations locales, alors que le théorème de Gauss permet de tout faire sans peine...

Mais bon, vous avez écrit tout ce qu'il faut : pour a et b champ est radial et la divergence du champ électrique est égale à etc.

A votre place, je commencerais pas b, en écrivant l’équation de Maxwell-Gauss dans la zone chargée. Puis ensuite dans les deux autres zones. Il faut ensuite trouver comment raccorder les trois solutions aux interfaces.

a est un cas limite de b lorsque R2-R1 tend vers zéro.

Pour c vous pouvez utiliser b lorsque le rayon intérieur est nul, vous avez alors une boule chargée uniformément. Et ensuite remarquer que vous pouvez appliquer le théorème de superposition...

S'il faut commencer par a absolument, il faut connaître le théorème de Coulomb qui donne le champ électrique au voisinage d'une surface chargée (et en toute rigueur, utiliser les distributions).

@+

[LPFR]

Bonjour.
« En utilisant les équations locales » me semble du sadisme en phase terminale.
Car avec les symétries que vous avez trouvé, le problème est immédiat avec le théorème de Gauss.
Comme vous avez trouvé que le champ est radial et ne dépend qu de ‘r’, la surface de Gauss à utiliser est une sphère centrée sur le centre de symétrie. Donc



Les deux intégrales sont immédiates ou très simples.
Au revoir.

[LPFR]

Re.
Je pense que la demande des équations locales est une erreur dans l’énoncé.
L’intégrale est vraiment longue à faire et il faut connaître l’astuce pour qu’elle soit intégrable.
A+

[A voir en vidéo sur Futura]

[VeryCuriousMan]

Re,
Bon je vais voir ce que je peux faire au début
J'utilise Maxwell-Gauss pour la b) . La zone chargé est le volume d'une couche sphérique d'épaisseur R2 - R1 avec la densité soit . Du coup je fais l'égalité entre mes 2 cas ?
@LPFR Je pense que c'est effectivement plus simple mais mon exercice insiste pour que j'utilise une équation locale. D'ailleurs j'ai la méthode suivante à respecter pour montrer comment utiliser une équation locale:
-Chercher les symétries du systèmes physiques
-écrire l'équation locale concernée aux points M où l'on cherche le champ
-Intégrer chaque équation différentielle obtenue et donner l'ensemble de ses solutions mathématiques avec 1 ou 2 constantes d'intégration selon son ordre
-Déterminer les constantes d'intégration en utilisant les conditions aux limites de D
Enfin j'ai une dernière question, dans ce cas là je dois plutôt travailler en régime permanent ou régime variable ?

[VeryCuriousMan]

Ou alors je fais mais ça me semble long

[LPFR]

Ou alors je fais mais ça me semble long

Re.
Désolé, mais cette solution n’est pas celle avec les équations locales. C’est celle avec Gauss.
La solution avec les équations locales consiste à intégrer dE produit par les charges dans un volume dv
En tenant compte que, grâce aux symétries, vous n’avez à calculer que la composante radiale.
Le calcul pour la force de gravité (cas identique) d’une sphère prend deux pages.
Vous le trouverez dans la page 11-3 de ce fascicule (7 Mo) :
http://www.sendspace.com/file/ttrwye Cliquez sur: Click here to download from freespace.

Vous pouvez le transposer sans difficulté au cas électrique.
A+

[VeryCuriousMan]

J'ai regardé le lien mais il ne m'aide pas vraiment à répondre à la question. Je suis toujours au b) où j'ai seulement comme info:
l'équation de Maxwell Gauss à utiliser soit , le volume de la sphère que j'ai cité précédemment mais je sais pas si c'est bon et des intégrations à utiliser, pour l'instant j'arrive pas à avancer plus loin
j'arrive pas à faire le lien entre cette fameuse équation de maxwell et la zone chargée pour finalement déterminer le champ ...

[LPFR]

Re.
L’équation locale vous donne, pour une charge ponctuelle

Autrement dit, la loi de Coulomb.
Maintenant il fait intégrer dE pour tous les dq de l’univers (qui se limite ici à la partie de la sphère chargée).
A+

[VeryCuriousMan]

Re,
Comment êtes vous arrivé à ?
Merci

[LPFR]

Re,
Comment êtes vous arrivé à ?
Merci

Bonjour.
Comme vous, en utilisant Gauss, mais avec une seule charge élémentaire. C’est en cela que c’est une équation locale.
Au revoir.

[VeryCuriousMan]

Donc en gros, écrire l'équation locale au(x) point(s) M où l'on cherche le champ c'est d'abord trouver l'équation pour une seule charge si j'ai bien compris. Ensuite pour déterminer le champ, il faut trouver l'équation finale pour tous les charges existantes dans la zone chargée c'est bien cela ?

[LPFR]

Re.
Comme on vous l'a déjà dit, utiliser les équations locales c’est déterminer le champ en additionnant vectoriellement les champs de toutes les charges dq de votre sphère.
Et c’est du sadisme de le demander. Car par Gauss le calcul est immédiat.
Je vous conseille de changer de prof.
A+

[VeryCuriousMan]

Oui je sais c'est vraiment bête mais malheureusement j'ai pas l'air d'avoir trop le choix vu la consigne. Ensuite j'ai l'impression que la prof attend de nous qu'on utilise notamment les équations de Maxwell (ici et ) par exemple puis qu'on trouve une autre formule avec et qu'on fasse l'égalité entre les 2 pour trouver le champ de la zone chargée. Même si je suis totalement d'accord avec votre définition d'une équation locale, je ne vois pas à quel moment on peut additionner les champs de toutes les charges dq de ma sphère

[LPFR]

Re.
Peut-être que votre prof s’ect très mal exprimée et qu’elle veut que vous partiez de



(je n'ajoute pas des flèches pour les vecteurs. On est entre adultes consentants)

Puis que vous intégriez dans un volume :



Puis, en utilisant le théorème de Gauss, vous transformez l’intégrale de volume en intégrale de surface :



Et ça y est, vous vous êtes débarrassé des équations locales en redémontrant les équations intégrales.

C’est beaucoup moins sadique.
A+

[VeryCuriousMan]

ah bah effectivement ça m'a l'air beaucoup plus simple !
Par contre Gauss permet de passer de à ? C'est pas plutôt green ostrogradski ?
Merci

[LPFR]

... C'est pas plutôt green ostrogradski ?
Merci

Re.
Pour moi c’est el théorème de Gauss car c’est sous ce nom que je l’ai appris dans ma jeunesse.
Pour Wikipedia en anglais c’est :
the divergence theorem, also known as Gauss's theorem or Ostrogradsky's theorem
et pour Wikipedia en français c’est :
le théorème de flux-divergence, appelé aussi théorème de Green-Ostrogradski
Pour les russes c’est :
Формула Гаусса — Остроградского (Formula Gauss-Ostrogradski)
pour les espagnols c’est encore plus large :
teorema de la divergencia, también llamado teorema de Gauss, teorema de Gauss-Ostrogradsky, teorema de Green-Ostrogradsky o teorema de Gauss-Green-Ostrogradsky
Pour les chinois la traduction automatique donne:
Formule de Gauss , aussi connu comme le théorème de la divergence , Gauss théorème de la divergence , Gauss - Ostrog Radetzky formule ou haute - formule autrichienne
A+

[VeryCuriousMan]

Ah très bien, ça me fera de la culture générale
Pour en revenir à l'exo, une fois qu'on sait que j'aimerai essayer de l'appliquer aux 3 situations.
Par exemple le b) sa charge est répartie dans tout le volume d'une couche sphérique d'épaisseur avec la densité. Donc le dV je le remplace par le volume de la couche sphérique (je suis même pas sur de la formule) et la surface du coup comment puis je l'adapter ?

[LPFR]

Re.
Le plus important pour que ce théorème (qui est toujours valable) permette de calculer quelque chose est de trouver une surface qui permette de sortir E (son module) de l’intégrale. Il faut donc trouver une surface sur laquelle E soit perpendiculaire à la surface et de module constant. Dans ce cas la valeur de l’intégrale est bêtement E.S. cette surface n’existe que dans les problèmes l’électrostatique pour débutants.
(dans certains exercices on peut trouver des surfaces qui ne sont pas toujours perpendiculaires à E, mais dont une partie est parallèle à E ce qui donne un produit scalaire nul).
Ici les symétries permettent de trouver la bonne surface.
Et le volume est le volume entouré par la surface. Et intégrale se lit non comme dans les posts #18 ou #15, mais comme je l’ai écrit dans le post #3.
Retenez-là sous cette forme, car la charge peut être une charge ponctuelle ou surfacique sur laquelle les intégrales de volume se cassent les dents. Vous pouvez même avoir les trois en même temps. C’est à vous de vous demmbrouiller pour calculer toute la charge dans le volume, suivant les cas.
A+

[VeryCuriousMan]

Bon très bien je vais pouvoir faire la suite par moi même.
Merci d'avoir pris le temps de répondre à mes posts