Chauffage d'un tube par l'intérieur

[invite14018184]

Bonjour à tous,

Je viens vous demander votre aide pour un projet d'école d'ingénieur (donc pas d'énoncé et je crée ma propre modélisation). Je ne vous donnerai malheureusement pas beaucoup d'informations sur le but de ce projet ni le contenu à cause de la confidentialité.

Je voudrai à l'heure actuelle chauffer un cylindre (tube) par l'intérieur avec une résistance chauffante. J'aimerai connaître la variation de température en fonction du temps sur la partie extérieure du cylindre, puisque c'est cette température que je veux avoir avec une valeur exacte (ex : 60°C). Je pourrai mettre un capteur mais je ne peux pas toucher à la surface extérieure.
J'ai fais beaucoup de recherches (nous n'avons pas de cours de transferts thermique dans mon école donc merci internet) mais je n'arrive pas à définir mon modèle correctement.

Objectif : connaître la variation de température de la surface extérieure de mon cylindre en fonction de la valeur de la puissance dissipée par effet joule de ma résistance. Sachant que je ne sais pas s'il faut tenir compte de la convection ou non. Et je veux le pont le plus haut de mon cylindre qui est posé à l'horizontal. Donc si vous avez directe la réponse je vous aime !

Dans la partie solide j'utilise mon équation de la chaleur en fonction temps (sans sources interne) dans les conditions de Fourier avec un milieu limité, donc là j'ai trouvé les formules qui vont bien. Mais le soucis reste la modélisation au niveau de l'air afin d'obtenir sa température en fonction du temps ainsi que pour la résistance (je pense la trouver avec une datasheet de résistance thermique). J'ai de la convection naturelle dans l'air puisque je n'ai pas d'écoulement, j'utilise donc la loi de Newton. Mais je la comprend pas trop cette formule, n'ayant jamais traité en prépa la convection je n'arrive pas à me rendre compte de ce quelle fait et de ce à quoi elle sert. Je considère que la distance entre la résistance et la paroi du cylindre est assez faible pour considérer qu'il n'y a pas de perturbation. Mais j'arrive à cette limite de modélisation car la loi de Newton ne me donne pas la température en fonction du temps.

Peut-être que je dois reprendre l'équation de la chaleur en ajoutant le terme de la loi de Newton (en transformant le flux en quantité de chaleur). Mais du coup j'ai ma température du système global avec ça, non ? (pas juste au niveau de l'air)

J'ai pensé aussi faire le calcul en utilisant une source de chaleur interne mais j'ai toujours ce problème de convection. Mais si vous avez un tuyau sur comment chauffer un tuyau (même pas fait exprès ! =) ) j'aimerais bien svp .

Voilà, j'espère avoir été clair. Désole si ça ne l'est pas mais ça ne l'est pas spécialement pour moi aussi . mais s'il faut je vous éclaircis le problème un peu plus mais je ne pourrai pas aller bien loin =)

Un grand merci est bien adapté =)
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[Boumako]

Bonjour

Il est toujours compliqué de décrire précisément un système avec des mots ; je pense que tu gagnerai du temps à faire un petit schéma explicatif.

[invite14018184]

Bonsoir,

effectivement un schéma est plus adapté mais je n'en voyais pas l'intérêt vu que c'était un cylindre avec un résistance à l'intérieur et que je dois définir un modèle. Voilà tout de même le schéma avec la modélisation que je pense. Je ne sais pas s'il est assez précis.



Cordialement.

[invite14018184]

Je n'ai pas précisé mais on est dans l'air ambiant (prenons 22°C ça me semble pas mal). Et le cylindre est un métal mais ça ne change pas grand chose il me semble.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Boumako]

Bonjour

Même si le schéma est basique c'est tout de suite plus clair. Donc visiblement la résistance n'est pas en contact avec le tube.

Il faut décomposer le problème en plusieurs équations:
- L’élévation de température de la résistance, qui est fonction de sa capacité thermique massique et de la puissance apportée, cette puissance correspondant à ce que l'on apporte par effet joule moins ce qui est perdu par dissipation. La dissipation se décompose en 2 parts : Une partie cédée à l'air par convection (avec P_conv fonction de la différence de température entre la résistance et l'air), et une part cédée par rayonnement directement au tube à travers la couche d'air.
- L’élévation de température de la couche d'air, fonction de la température de la résistance et celle du tube.
- L’élévation de température du tube, fonction de la capacité thermique massique du tube et de la puissance apportée par l'échange par convection air/tube interne et le rayonnement produit par la résistance moins ce qui est perdu par échange externe
- En toute rigueur il faudrait prendre en compte les effets de conduction à travers l’épaisseur du tube, mais la conduction d'un métal étant grande devant les autres échanges en présence on peut considérer que la température est la même partout.

Voici maintenant le détail des calculs :
- Pour la puissance par effet joule je suppose que tu sais faire

- La puissance échangée par rayonnement est égal à S * * * ( (T_resistance)⁴ - (T_tube)⁴ )
avec S la surface de la résistance, son émissivité et la constante de Stephan-Boltzmann, les températures étant exprimées en K

- Les coefficients d'échange résistance air interne et air interne tube sont assez difficiles à estimer dans les conditions données. En fouillant dans le "Advances in heat transfert" j'ai pu trouver une corrélation permettant plutôt d'exprimer l'échange entre la résistance et le tube (par couche d'air interposée) sans se préoccuper de la température de la couche d'air.

P cédée = 2 * * L * k_eff * (T_resistance - T_tube) / ln(D_{interne tube}/D_resistance)
L étant la longueur du tube (la résistance faisant la même longueur) et k_eff la conductivité effective, c'est à dire la conductivité de la couche d'air corrigée par les effets de convection. Plus la convection est faible (petit volume, faible différence de températures) et plus k_eff tend vers la conductivité de l'air k.

Le rapport k_eff / k = 0.386(Ra*)1/4(Pr / (0.861+Pr))^1/4
avec Pr le nombre de Prandtl (pour l'air = 0.72), Ra le nombre de Rayleight

Ra = Ra_d (ln(D_{interne tube} /D_resistance)⁴ / (d³ * (D_{interne tube}^-3/5 + D_resistance^-3/5)⁵)
avec d la distance de séparation entre la résistance entre la résistance et le tube et Ra_d le nombre de Rayleight corrigé pour la distance entre la résistance et le tube.

Ra_d = (g * B * ² * Cp * (T_resistance -T_tube) * d³ ) / k
avec g = 9.81, B le coefficient d'expansion thermique de l'air (on peut prendre 0.0034 K-1), la masse volumique de l'air, Cp sa chaleur massique

- Le coefficient d'échange convection tube/air peut être approximée avec la relation h = 1.32 * (Dt / d)^1/4, avec Dt la différence de température entre le tube et l'air ambiant, et d le diamètre de la résistance. Pour la part radiative la relation est la même que donnée plus haut, en remplaçant la température du tube par l'ambiant.

[Boumako]

Un point que j'oubliais de préciser : La relation ne fonctionne que pour un Ra compris entre 10² et 10⁷. En dessous on prend K_eff = k, au dessus je n'ai pas de corrélation.

[invite14018184]

Bonjour,

Ca faisait longtemps que j'avais pas eu l'occasion de faire des calculs de ce genre . Merci beaucoup pour votre aide, mais j'ai besoin de savoir si vous avez raisonné en régime stationnaire ou variable svp ? car à aucun moment je ne vois le temps intervenir (à moins en énergétique dès le début => ce que je peux directement faire avec le premier principe de la thermodynamique)

Sinon merci bien pour les différents transferts, c'est vrai que moi je prenais en compte la conduction dans le métal, l'épaisseur étant est très fine donc l'échange se fait presque instantanément (c'était pour être rigoureux, il faudra que je vois avec notre contact jusqu'à quel point on doit être rigoureux, car au final ce calcul est pour optimiser les temps)

[Boumako]

Toutes les formules sont valables en instantané, donc il faut faire intervenir le temps pour connaitre l'évolution en température. Je ne suis pas sur qu'il soit possible de tout poser sous forme d'une équation (en tout cas je ne saurais pas le faire) : Il faudra certainement passer par une méthode d'approximation numérique.
En ce qui concerne l'équation dynamique de conduction dans le métal il est inutile de s'y pencher, car les corrélations permettant de calculer la convection ont une marge d'erreur beaucoup plus significative.

[invite14018184]

Merci bien, je vais m'y pencher un peu plus alors.

[Chanur]

Bonjour,

Indépendamment des calculs, tu écris :

Je pourrai mettre un capteur mais je ne peux pas toucher à la surface extérieure.

Pourquoi ne pas utiliser un capteur sans contact (infra-rouges) ?