Bonjour,
est-ce que le moment cinétique se conserve en relativité générale , par analogie avec l'impulsion (puisqu'il n' y a plus de force )? Donc est-ce que la 2ème loi de Kepler (vitesse aréolaire constante) est valable aussi ?
Je dirais que oui, dans la limite v << c et r >> R(Schwarzchild), mais je ne suis pas sûr.
Merci.
Salut,
Oui, mais en première approximation. Exactement pour les limites que tu donnes.Envoyé par benjgru
Pour des cas plus extrêmes, c'est la définition de moment angulaire qui peut devenir problématique. Sauf si tu as de jolies symétries (comme avec les TN de Schwartschild ou de Kerr).
"Il ne suffit pas d'être persécuté pour être Galilée, encore faut-il avoir raison." (Gould)
Merci. Peut-on le calculer par les formules habituelles, Sigma = OM ^p = OM ^ Gamma *mv (tout en vecteurs bien sûr)
Gamma facteur de Lorentz.
En coordonnées polaires, cela donnerait ||Sigma|| = Gamma *m* r²* Theta point = Constante puisque la force de gravité disparaît en relativité générale !
DE toutes façons c'était une force centrale, mais passons
Mais il y a des livres où il n' y a pas de Gamma, d'autres où il y a un "facteur de Schwarzchild" (1-2G*M /Rc²), des fois puissance 1, des fois puissance 1/2...
Je m' y perds un peu ! Je suppose que cela dépend des approximations considérées, mais il doit bien y avoir une formule dans le cas général mais non relativiste (v<<c et r>> R (Schwarzchild) ?
Oui, et le gamma est indispensable uniquement si la vitesse est énorme.
Et pour peu que "OM" ait un sens (essaie un peu dans un espace de courbure complètement tarabiscotée).
C'est même une façon classique de définir la masse !!!!
Imagine que tu aies une zone où tu as un astre de masse M. Ca peut-être un trou noir, une étoile à neutron, une étoile ordinaire, la planète du petit prince, etc....
Comment connaitre M ? Tu ne peux pas juste "compter la matière" car la gravité a elle-même une forme d'énergie (très difficile à définir) et intervient dans le M !!!!
Pour une étoile à neutron ce n'est pas négligeable.
Astuce : se placer assez loin où l'espace est quasi euclidien. Tu prolonge pour "lisser" l'espace même à l'endroit où il y a le corps. Et tu calcule M par la mesure des vitesses orbitales.
Avec les lois de Kepler et tout et tout et les formules classiques (avec le gamma ou sans. Généralement c'est sans, les vitesses étant souvent << c).
Calculatruc, programamstuce...
C'est bien expliqué dans le livre Gravitation de MTW.
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Merci je ne pensais pas que la loi de Kepler "classique" était encore valable en RG !!
SAlut,
Avec les approximations appropriées (dont je parlais plus haut), il n'y a aucun problème.
La gravité de Newton est tout de même un cas limite de la relativité générale (pour une gravité faible, des vitesses faibles et un champ gravitationnel quasi statique). Donc loin du corps central, c'est normal de retrouve Sir Isaac et son copain Johann (je blague évidemment, Newton est né 13 ans après la mort de Kepler).
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En fait, ce qui me tracasse derrière tout ça, c'est que en mécanique Newtonienne, grâce à la conservation du moment cinétique, la vitesse angulaire d'une particule est plus grande à l'apogée de son ellipse (autour du Soleil par exemple) qu'à son périgée. Donc le mouvement n'est pas uniforme, à un moment elle accélère, à un moment elle ralentit, etc.
Or en RG, il n ' y a plus de force de gravité, une particule a un mouvement uniforme le long de sa géodésique, donc elle tourne , mais n'accélère pas, pour parler en termes un peu lâches .
Il y a comme un paradoxe...
Où est mon erreur ?
Merci.
Dans le cas de symétrie comme le TN de Schwarzschild ou de Kerr, tu peux regarder ce qu'on appelle le vecteur de Killing qui est lié à la conservation des quantités telles que l'impulsion ou l'énergie.
OK merci, je vais regarder ça...jamais entendu parler il y a tellement d'outils en relativité générale !
Petite précision : c'est justement dans ce cas là (avance du périhélie) que Kepler n'est plus valide. Trop près du Soleil, la gravité devient assez importante que pour avoir des écarts mesurables
(avec Venus et la Terre aussi, mais faut être courageux pour mesurer et surtout calculer l'écart minuscule puisqu'il faut prendre en compte toutes les perturbations des autres planètes).
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Je suis à peu près d'accord avec les réponses précédentes, mais à noter que même si Képler n'est plus exactement valide (ne peut plus de toute façon être formulé en les terme Newtonien), il existe tout de même une conservation exacte de ce qui généralise le moment orbital Newtonien, et que l'on continue dès lors d'appeler moment orbital/angulaire (dans le cas d'une rotation autour de Schwarzschild en tout cas); cela se voit sur l'équation des géodésiques, il y a csv de l'énergie et du moment orbital (effectivement issue de l'existence de vecteur de Killing, l'un temporel -> csv de l'energie, les deux autres associés la symétrie sphérique (mais comme le mouvement est plan, seul la symétrie par l'angle phi des sphériques n'est pas triviale).
Références: tout bon bouquin de RG, Carroll, notes en lignes, le Hobson Lasenby, etc.
Merci.
Je n'ai pas de bouquins mais il y a un très bon cours ici (chap 6 surtout) :
http://astro.physics.free.fr/ et ils parlent des conservations que tu évoques JPouille.
Dans le cas a symétrie sphérique, exact, j'avais complètement oublié !!!! Merci JPouille.
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Cela signifie géométrie de Schwarzschild concrètement non ?
La symétrie sphérique impose en effet la solution de Schwarzschild (théorème de Birkhoff)
Après on peut aussi regarder les orbites autour d'un corps (ou trou noir) en rotation, axisymétrique, mais c'est affreusement (vraiment) plus compliqué
mieux vaut commencer par schwarzschild
