Diverses question sur les gaz de Fermions

[invite8f6d0dd4]

Bonjour à tous.

J'aurai diverses questions en Physique statistique sur les gaz de Fermions :

On considère un réseau cristallin et un potentiel periodique.

Le hamiltonien est donc : H=p²/2m + V(r)

Avec V(r+a)=V(r) (r et a sont des vecteurs).

Du coup T(a) : l'opérateur de translation commute avec V car on a une periodicité et avec p²/2m (ça c'est vrai tout le temps).

Ensuite il est écrit ceci :



Est ce parce que, ce qui importe comme on a un problème periodique c'est que la norme de PSI soit periodique ce que traduit cette équation, est ce bien la raison ?

Ensuite, il est dit que l'état propre est délocalisé dans tout le cristal, c'est parce que la norme de PSI est periodique encore une fois (êtes vous ok avec moi ?).

Et on dit ensuite qu'avoir un état délocalisé revient à dire qu'on a un spectre d'énergies continues.

Et là je ne comprends pas.

Je suis d'accord que quand on a une onde plane on a un spectre d'énergies continues, et qu'une onde plane est délocalisée sur tout l'espace.

Mais pourquoi si on a une onde délocalisée alors forcément le spectre des énergies est continu ?

Merci beaucoup.
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[invite8865c38b]

si on a un réseau périodique, alors comme pour tout problème périodique il est aisé et commode de passer dans l'espace des k (ou des impulsions ce qui revient quasiment au meme). Une fois cela étant fait on peut montrer que les états propres sont à k fixe (et donc impulsion fixe p=hk/2pi). Qui dit impulsion déterminé dit incertitude sur la position (heisenberg)

Par conséquent les états propres sont délocalisés dans l'espace.

Je pense qu'en faisant une petite recherche sur le théorème de Bloch (et les états de bloch) vous trouverez des remarques plus précises si vous en avez besoin.

[invite8f6d0dd4]

Salut.

En gros ce que vous dites revient à ceci ?

On a un problème périodique spatialement, donc décomposable en séries de Fourier avec différents vecteurs d'ondes possibles, mais discrétisés.

Les vecteurs d'ondes étant discrétisés, on a les impulsions qui le sont aussi et donc des dispersions nulles (un ensemble discrétisé ne comporte pas de dispersion, il faut qu'on aie du continu pour que ce soit le cas).

Mais ça me fait penser à quelque chose de ""paradoxal"" (enfin pas vraiment mais je ne sais pas comment le dire).

On a tout de même une incertitude sur l'impulsion vu que quand on va les mesurer on va avoir un ensemble de valeurs possibles (mais ces valeurs sont discrètes donc c'est mieux que du continu).

Du coup physiquement on ne connait pas vraiment avec certitude l'impulsion.

Mais mathématiquement en utilisant Heisenberg on constate qu'on a quand même un Delta x infini => délocalisation sur tout l'espace.

Donc en gros, on ne connait pas vraiment l'impulsion, mais on a quand même une délocalisation sur tout l'espace, c'est un peu particulier non ?

Est-ce bien le cas ?

Merci !

[invite93279690]

Salut.

En gros ce que vous dites revient à ceci ?

On a un problème périodique spatialement, donc décomposable en séries de Fourier avec différents vecteurs d'ondes possibles, mais discrétisés.

Les vecteurs d'ondes étant discrétisés, on a les impulsions qui le sont aussi et donc des dispersions nulles (un ensemble discrétisé ne comporte pas de dispersion, il faut qu'on aie du continu pour que ce soit le cas).

Mais ça me fait penser à quelque chose de ""paradoxal"" (enfin pas vraiment mais je ne sais pas comment le dire).

On a tout de même une incertitude sur l'impulsion vu que quand on va les mesurer on va avoir un ensemble de valeurs possibles (mais ces valeurs sont discrètes donc c'est mieux que du continu).

Du coup physiquement on ne connait pas vraiment avec certitude l'impulsion.

Mais mathématiquement en utilisant Heisenberg on constate qu'on a quand même un Delta x infini => délocalisation sur tout l'espace.

Donc en gros, on ne connait pas vraiment l'impulsion, mais on a quand même une délocalisation sur tout l'espace, c'est un peu particulier non ?

Est-ce bien le cas ?

Merci !

Salut,

La manière dont je le comprends est la suivante :

1- l'existence d'un confinement en MQ induit la discretisation des niveaux d'energies entre autres observables.

2- un electron dans un metal peut être considéré comme une particule quasi-libre dans une boite de taille macroscopique L

3- la taille non-infinie de la boite correspond a un potentiel confinant qui induit une discretisation des niveaux d'énergie (entre autres choses)

4- de manière effective, si la longueur d'onde (thermique) de de Broglie est très petite devant la taille de la boite L, alors toute la physique du problème est très bien approchée par un continuum d'états

5- la périodicité du potentiel perturbateur induit une discretisation "macroscopique" des niveaux d'energies en les séparant en bandes séparées par des gaps d'énergie et ou chaque bande correspond a un spectre continu de niveaux d'énergie

Conclusion - Il y a au moins deux échelles de distance a prendre en compte : l'échelle de longueur du morceau de metal L qui est macroscopique et induit un quasi-continuum d'énergie et la période du réseau cristallin beaucoup plus petite, qui induit une partition du spectre d'énergie en paquets ou bandes continues bien séparées par des zones d'énergie interdites.

[A voir en vidéo sur Futura]