[Mécanique] Ref non galiléen

[invitead627bf5]

Salut


Voilà, j'ai un petit problème sur l'exercice suivant



Il est demandé à un moment, en éliminant N', d'établir l'équation différentielle à laquelle obéit téta, sous la forme téta point point = f(téta).

Donc à l'aide des différentes vitesses et accélérations déterminées précedemment, j'obtient les 3 équation différentielles régissant le mouvement de M.

projeté sur x : 0 = Nx - 2*m*a*oméga*téta point*cos(téta)
projeté sur y : a(téta point ² * sin(téta) -téta point point*cos(téta)) = N'*sin(téta) - m*a*oméga²*(sin(téta)-2
projeté sur z : -a(téta point point * sin(téta) + téta point ² * cos(téta)) = -m*g - N'*cos(téta)

En exprimant N' dans la 3eme équation et en réinjectant dans la seconde, j'obtient:

(a*tan(téta)*sin(téta) + a*cos(téta))*téta point point = m*g*tan(téta) + m*a*oméga²*(sin(téta)-2)

Ma question était de savoir si il était possible de résoudre cette équation différentielle, et si oui comment, car on a des téta dans les cosinus et les sinus


Merci d'avance
A++
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[invitea3eb043e]

Je pense que m devrait s'éliminer complètement.
Ensuite, à gauche, on peut simplifier et trouver a/cos(théta)
A droite, il faut trouver l'équation du pendule si oméga =0, il y a une erreur de signe.
Le fait que cette équation soit encore plus compliquée que celle du pendule laisse penser qu'on ne peut pas l'intégrer.

[invitea3eb043e]

A droite, il faut trouver l'équation du pendule si oméga =0, il y a une erreur de signe.

Erreur : l'équilibre est au voisinage de théta = pi, le signe est correct.

[invitebe53ee61]

Le probleme c'est qu'il faut lineariser cette equation.
Le seul truc que je connais c'est de considerer la position autour du point d'equilibre --> on etudie ainsi les petites vibrations. mais bon ce n'est pas ce que tu veux......
En tout cas en considerant un téta petit --> cos(téta)=1, sin(téta)=téta on arrive a des trucs...

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitea3eb043e]

Attention : on doit linéariser autour du point d'équilibre, qui n'est sûrement pas le point théta = 0.
On trouve ce point en écrivant théta seconde = 0

[inviteaca70417]

lineiraser je resoud pas le probleme si on suposse que :theta=theta equilibre+epsilon .

[invitebe53ee61]

lineiraser je resoud pas le probleme si on suposse que :theta=theta equilibre+epsilon .

sisi ca aide... car ca te permet d'enlever le terme contenant mg..ainsis apres tu peux utiliser les transformées de laplace ou une methode matricielle...ou les derivées partielles...

[invitead627bf5]

Salut,

En fait ce qu'il demande par la suite, c'est de montrer que pour une certaine valeur oméga0 de la vitesse angulaire, que l'on exprimera en fonction de a et g, on a une position d'équilibre de M par rapport au cercle pour Pi/4.

Mon équation et mes projections suivant x, y et z du premier post ne sont peut être pas fausses mais apparement il s'avère plus judicieux de rester dans la base polaire (er, etéta, x) attachée au point M et de projeté le PFD sur etéta.

J'obtiens l'équa diff suivante:
a*téta point point = a*oméga²*(sin(téta) - 2)*cos(téta) + g*sin(téta)

Ensuite pour répondre à la question concernant la position d'équilibre, je suis passé par les énergies potentielles et j'arrive à
oméga0 = racine carré( (2*g)/a)
mais je suis pas totalement convaincu de mes manips. Si quelqu'un me confirme le résultat, ca me ferait bien plaisir
En tout cas le résultat à l'air homogène.

Merci

A++

[invitebe53ee61]

salut ,

Tu es passé par les energies potentielles pour démontrer l'équilibre ? car si c'est juste pour trouver la valer de oméga0 il n'y a qu'a remplacer dasn l'equation de mouvement et tu trouves oméga0.
J'ai fait le calcul pour omégaO et je tombe sur une valeur qui se rapprohe de la tienne mais avec un facteur avec des racines en plus...
Bonne journée

[invitead627bf5]

Salut,


Effectivement, je m'étais trompé dans mon expression de oméga0.
En passant par l'équation du mouvement et en posant téta point point égal 0, j'arrive à
oméga 0 = racine( g/a*((racine de 2)/7 + 4/7) )

Je sais pas vraiment en fait si il faut démontrer l'équilibre préalablement en passant par les énergies potentielles ou si la valeur de oméga0 suffit.
La question exacte c'est "Montrer que pour une certaine valeur oméga0 de la vitesse angulaire, que l'on exprimera en fonction de a et g, on a une position d'équilibre de M par rapport au cercle pour Pi/4.
"


Merci de votre aide en tout cas


A++