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[Mécanique] Ref non galiléen



  1. #1
    /qp\

    [Mécanique] Ref non galiléen

    Salut


    Voilà, j'ai un petit problème sur l'exercice suivant



    Il est demandé à un moment, en éliminant N', d'établir l'équation différentielle à laquelle obéit téta, sous la forme téta point point = f(téta).

    Donc à l'aide des différentes vitesses et accélérations déterminées précedemment, j'obtient les 3 équation différentielles régissant le mouvement de M.

    projeté sur x : 0 = Nx - 2*m*a*oméga*téta point*cos(téta)
    projeté sur y : a(téta point ² * sin(téta) -téta point point*cos(téta)) = N'*sin(téta) - m*a*oméga²*(sin(téta)-2
    projeté sur z : -a(téta point point * sin(téta) + téta point ² * cos(téta)) = -m*g - N'*cos(téta)

    En exprimant N' dans la 3eme équation et en réinjectant dans la seconde, j'obtient:

    (a*tan(téta)*sin(téta) + a*cos(téta))*téta point point = m*g*tan(téta) + m*a*oméga²*(sin(téta)-2)

    Ma question était de savoir si il était possible de résoudre cette équation différentielle, et si oui comment, car on a des téta dans les cosinus et les sinus


    Merci d'avance
    A++

    -----

    Dernière modification par /qp\ ; 06/03/2006 à 20h17.

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  3. #2
    Jeanpaul

    Re : [Mécanique] Ref non galiléen

    Je pense que m devrait s'éliminer complètement.
    Ensuite, à gauche, on peut simplifier et trouver a/cos(théta)
    A droite, il faut trouver l'équation du pendule si oméga =0, il y a une erreur de signe.
    Le fait que cette équation soit encore plus compliquée que celle du pendule laisse penser qu'on ne peut pas l'intégrer.

  4. #3
    Jeanpaul

    Re : [Mécanique] Ref non galiléen

    Citation Envoyé par Jeanpaul
    A droite, il faut trouver l'équation du pendule si oméga =0, il y a une erreur de signe.
    Erreur : l'équilibre est au voisinage de théta = pi, le signe est correct.

  5. #4
    cedric

    Re : [Mécanique] Ref non galiléen

    Le probleme c'est qu'il faut lineariser cette equation.
    Le seul truc que je connais c'est de considerer la position autour du point d'equilibre --> on etudie ainsi les petites vibrations. mais bon ce n'est pas ce que tu veux......
    En tout cas en considerant un téta petit --> cos(téta)=1, sin(téta)=téta on arrive a des trucs...

  6. #5
    Jeanpaul

    Re : [Mécanique] Ref non galiléen

    Attention : on doit linéariser autour du point d'équilibre, qui n'est sûrement pas le point théta = 0.
    On trouve ce point en écrivant théta seconde = 0

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    anasno

    Re : [Mécanique] Ref non galiléen

    lineiraser je resoud pas le probleme si on suposse que :theta=theta equilibre+epsilon .

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  10. #7
    cedric

    Re : [Mécanique] Ref non galiléen

    Citation Envoyé par anasno
    lineiraser je resoud pas le probleme si on suposse que :theta=theta equilibre+epsilon .
    sisi ca aide... car ca te permet d'enlever le terme contenant mg..ainsis apres tu peux utiliser les transformées de laplace ou une methode matricielle...ou les derivées partielles...

  11. #8
    /qp\

    Re : [Mécanique] Ref non galiléen

    Salut,

    En fait ce qu'il demande par la suite, c'est de montrer que pour une certaine valeur oméga0 de la vitesse angulaire, que l'on exprimera en fonction de a et g, on a une position d'équilibre de M par rapport au cercle pour Pi/4.

    Mon équation et mes projections suivant x, y et z du premier post ne sont peut être pas fausses mais apparement il s'avère plus judicieux de rester dans la base polaire (er, etéta, x) attachée au point M et de projeté le PFD sur etéta.

    J'obtiens l'équa diff suivante:
    a*téta point point = a*oméga²*(sin(téta) - 2)*cos(téta) + g*sin(téta)

    Ensuite pour répondre à la question concernant la position d'équilibre, je suis passé par les énergies potentielles et j'arrive à
    oméga0 = racine carré( (2*g)/a)
    mais je suis pas totalement convaincu de mes manips. Si quelqu'un me confirme le résultat, ca me ferait bien plaisir
    En tout cas le résultat à l'air homogène.

    Merci

    A++

  12. #9
    cedric

    Re : [Mécanique] Ref non galiléen

    salut ,

    Tu es passé par les energies potentielles pour démontrer l'équilibre ? car si c'est juste pour trouver la valer de oméga0 il n'y a qu'a remplacer dasn l'equation de mouvement et tu trouves oméga0.
    J'ai fait le calcul pour omégaO et je tombe sur une valeur qui se rapprohe de la tienne mais avec un facteur avec des racines en plus...
    Bonne journée

  13. #10
    /qp\

    Re : [Mécanique] Ref non galiléen

    Salut,


    Effectivement, je m'étais trompé dans mon expression de oméga0.
    En passant par l'équation du mouvement et en posant téta point point égal 0, j'arrive à
    oméga 0 = racine( g/a*((racine de 2)/7 + 4/7) )

    Je sais pas vraiment en fait si il faut démontrer l'équilibre préalablement en passant par les énergies potentielles ou si la valeur de oméga0 suffit.
    La question exacte c'est "Montrer que pour une certaine valeur oméga0 de la vitesse angulaire, que l'on exprimera en fonction de a et g, on a une position d'équilibre de M par rapport au cercle pour Pi/4.
    "


    Merci de votre aide en tout cas


    A++

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