Physique statistique : limite thermo

[freemp]

Bonjour,

Je souhaiterais savoir pourquoi à la limite thermodynamique, on considère que (dans l'ensemble grand canonique), le nombre de particule N et sa moyenne grand canonique se confondent.

J'ai du mal à me le représenter.

Merci.
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[van_fanel]

ma phy stat remonte à "loin" mais instinctivement j'aurais tendance à regarder du coté de .

En effet, si , alors les variations de N sont petites et on peut approximer N au premier ordre par sa valeur moyenne <N>.

[gatsu]

Bonjour,

Je souhaiterais savoir pourquoi à la limite thermodynamique, on considère que (dans l'ensemble grand canonique), le nombre de particule N et sa moyenne grand canonique se confondent.

J'ai du mal à me le représenter.

Merci.

Salut,

Il y a au moins deux manières de se representer la chose :

1- Purement statistique (on peut voir cette approche comme du "bottom-up" car il part de la construction de l'ensemble grand canonique a partir de l'ensemble canonique)

2- En imposant le caractère extensif ou intensif de certaines grandeurs thermodynamiques une fois ces dernières identifiées avec des moyennes d'ensemble en physique statistique (on peut voir cette approche come "top-down" car il part de l'ensemble grand canonique tel quel et utilise les propriétés thermodynamiques que cet ensemble doit satisfaire dans la limite thermodynamique pour rendre l'ensemble coherent)

Je vais brievement décrire chacun de ces raisonnements :

1- le point de vue statistique peut se comprendre aisément si on partitionne une boite de volume contenant particules en phase fluide en deux parties et avec volumes et et nombre de particules et de telle sorte que , et .

est a present une variable aléatoire dans l'ensemble canonique disons.

En l'absence de champ extérieur il vient que que la probabilité d'avoir particules dans le volume est binomiale et s'écrit :



Pour cette distribution classique, la moyenne et la variance peuvent s'exprimer analytiquement et sont egales a :



et



Les fluctuations relatives a la moyenne ont donc une amplitude qui est de l'ordre de



qui n'est rien d'autre qu'une forme de la loi des grands nombre. L'idée est donc que la variable aléatoire (que l'on peut interpreter comme la moyenne arithmétique de variables de Bernouilli) est donc une très bonne approximation de la valeur moyenne réelle a mesure que cette dernière est grande.

2- Pour la version "thermodynamique", il faut se placer directement dans l'ensemble grand canonique et interpreter la fonction génératrice correspondante (le log de la grande fonction de partition) comme étant égal a ou est la pression dans le système et le volume.
En utilisant les propriétés de la fonction génératrice, on trouve assez facilement que les fluctuations du nombre de particules dans le volume sont reliées a la dérivée partielle de par rapport au potentiel chimique .

Il faut ensuite utiliser une identité thermodynamique (dont je ne me souviens plus du nom) qui permet de relier cette dérivée partielle a la compressibilité isotherme du fluide. En imposant le caractère intensif de ce paramètre, on tombe alors sur une estimation des fluctuations relatives qui s'écrivent (le calcul en detail est fait ici ) :



en accord avec la derivation statistique.