RR contraction des longueurs

[freemp]

Bonjour,

J'ai fait un calcul faux et je ne comprends pas où est mon erreur....

Soit R et R' deux référentiels.

V_R'/R = +V

On souhaite mesurer de combien une règle de longueur L dans R' (ref propre de la règle) va mesurer dans R.
J'appelle l'extremité gauche A et la droite B.


_____________________
A B

J'ai donc fait ceci :

xa'=gamma*(xa-v*ta)
xb'=gamma*(xb-v*tb)

ta'=gamma*(ta-[beta/c]*xa)
tb'=gamma*(tb-[beta/c]*xb)

Il faut donc évaluer :
(xb'-xa')=gamma*( (xb-xa)-V*(tb-ta))

On mesure dans R', donc on prend nécessairement ta'=tb'

donc :
(ta-[beta/c]*xa)=(tb-[beta/c]*xb)

On remplace tb-ta dans l'expression un peu plus haut

xb'-xa'=gamma*(1-(V/c)²)*(xb-xa)

xb'-xa'=(xb-xa)/gamma

Or c'est faux, je devrais trouver :

xb'-xa'=gamma*(xb-xa)

Pourriez vous me dire où je me trompe, je suis depuis 1h dessus et ça me rend fou...

Merci !
-----

[Universus]

Bonjour,

Vous voulez mesurer la longueur de la tige dans le référentiel R et ce à un temps précis pour les horloges de R, pas de R'. Dans R', la tige est immobile, donc les positions et sont constantes dans le temps ; en particulier, à tout coup. Ainsi, poser la contrainte n'est pas nécessaire pour trouver , mais ça a un grand impact sur ce que vous cherchez à calculer dans R : juste en considérant un diagramme de Minkowski, on voit que votre calcul mène à considérer dans R la position des deux extrémités en des temps différents. En fait, vous mesurez la position l'extrémité arrière de A à un moment donné, puis vous laissez la tige filer avant de mesurer la position de l'extrémité avant B : pas étonnant que la tige paraisse longue !

Quand vous écrivez

Il faut donc évaluer :
(xb'-xa')=gamma*( (xb-xa)-V*(tb-ta))

considérez et le tour est joué.

[freemp]

Bonjour,

Merci pour cette réponse, c'est un peu plus clair.

Par contre j'ai été voir du côté des diagrammes de minkowski (je ne connaissais pas vraiment).

J'ai trouvé ceci : http://spiral.univ-lyon1.fr/rich-med...et%20temps.swf

Et peut être pourriez vous m'éclairer sur un point :

En fait je n'ai pas trop compris dans leurs explications comment on construit l'axe x'.

En effet, je comprends bien que les deux intersections avec les bonhommes bleues dans R sont simultanés dans R', mais pourquoi la droite qui relie ces deux points est une droite de simultanéïté.

Autrement dit, pourquoi tous les points sur cette droite sont simultanés entre eux ?
Les intersections avec les deux bonhommes je veux bien, mais pour le reste je comprends pas trop.

Merci !!!

[Universus]

J'ai trouvé ceci : http://spiral.univ-lyon1.fr/rich-med...et%20temps.swf

Et peut être pourriez vous m'éclairer sur un point :

En fait je n'ai pas trop compris dans leurs explications comment on construit l'axe x'.

En effet, je comprends bien que les deux intersections avec les bonhommes bleues dans R sont simultanés dans R', mais pourquoi la droite qui relie ces deux points est une droite de simultanéïté.

Autrement dit, pourquoi tous les points sur cette droite sont simultanés entre eux ?
Les intersections avec les deux bonhommes je veux bien, mais pour le reste je comprends pas trop.

Merci !!!

Ce n'est pas évident ! Il faut une certaine réflexion pour s'en convaincre, comme un calcul. La bonne réponse est parce que les transformations de Lorentz sont linéaires, de sorte que des droites (horizontales dans le référentiel propre) sont envoyées sur des droites (inclinées dans le référentiel impropre) de même nature : droite de simultanéité vers droite de simultanéité, etc.

Ça ne vous convainc peut-être pas. Je vous pose donc la question : pourquoi l'émetteur se trouve-t-il sur cette droite inclinée ? Tentons un argument plus imagé.

Imaginez deux autres bonhommes bleus, un à mi-chemin entre le premier et le second, l'autre à mi-chemin entre le second et le troisième, se déplaçant tous à la même vitesse. (Par hypothèse, parmi les trois premiers, les deux aux extrémités étaient à égales distances de celui du milieu.) Supposons que celui du milieu émette un signal que ses deux voisins retransmettent à leur autre voisin et renvoie aussi à l'émetteur : dans le référentiel propre aux cinq personnes, on a un diagramme de ce genre

A B C D E
|\ | /|\|/ |
A B C D E
| | \|/| |
A B C D E

L'alignement n'est pas génial, mais je ne réussis pas mieux... Je ne tenterai pas d'esquisser ce qui se passe dans le référentiel impropre...

Dans tous les cas, ça nous fait comprendre pourquoi dans l'animation l'émetteur (C ici) est sur la ligne bleue inclinée joignant A et E : c'est parce que si B et D étaient présents et s'ils relayaient les signaux à A, à C et à E comme ci-dessus, les trois réceptions (ou les quatre, C en recevant deux) seraient simultanées dans le référentiel propre et le seraient donc aussi dans tout autre référentiel. Quitte à faire intervenir d'autres bonhommes de la sorte, on voit que la ligne inclinée représente bien (dans le référentiel impropre) la ligne de simultanéité horizontale considérée dans le référentiel propre.

[A voir en vidéo sur Futura]

[azizovsky]

Bonjour, il y'a cette animation: https://www.youtube.com/watch?v=C2VMO7pcWhg.

[freemp]

D'accord, je comprends mieux.

Merci beaucoup pour ce message !

J'aurai une dernière question si possible sur l'utilisation de la quadrivitesse.

En fait j'ai du mal à comprendre comment on l'utilise en pratique, parce que ok, ça suit la transformation de lorentz, donc on a :



Mais ce que j'ai du mal à voir c'est la signification de

En effet, on a : dans R
Du coup dans R', je remplace les dx par des dx' ?
En gros, as t'on : ????

Parce que en fait pour moi une dérivée d'une grandeur dans R ou dans R', c'est la même chose, ce qui compte c'est fait on dx/dt ou dx'/dt' car ces deux quantités là pour le coup sont différentes.

J'arrive pas à retrouver la composition de vitesses relativistes avec le quadrivecteur vitesse...

Merci encore !

[invite06459106]

[QUOTE=freemp;5209520]

En fait j'ai du mal à comprendre comment on l'utilise en pratique

QUOTE]

[invite06459106]

Bonsoir,

En fait j'ai du mal à comprendre comment on l'utilise en pratique

Pour l'explication,la 4-vitesse a pour composante les dérivées par rapport à tau, des composantes du 4-vecteur position dans l'espace-temps que tu as du voir.
Désolé pour le message précédent, ça fait que de bugger....
Je remets le lien pour l'application.

http://api.viglink.com/api/click?for...relativite.pdf
En espérant que ça marche...
Cordialement,
Edit: ca fonctionne, voir le chapitre 2 page 97 Notation Quadridimensionnelle.
(en espérant être repris si je dis des c.......ies.

[Universus]

D'accord, je comprends mieux.

Merci beaucoup pour ce message !

J'aurai une dernière question si possible sur l'utilisation de la quadrivitesse.

En fait j'ai du mal à comprendre comment on l'utilise en pratique, parce que ok, ça suit la transformation de lorentz, donc on a :



Mais ce que j'ai du mal à voir c'est la signification de

En effet, on a : dans R
Du coup dans R', je remplace les dx par des dx' ?
En gros, as t'on : ????

Parce que en fait pour moi une dérivée d'une grandeur dans R ou dans R', c'est la même chose, ce qui compte c'est fait on dx/dt ou dx'/dt' car ces deux quantités là pour le coup sont différentes.

J'arrive pas à retrouver la composition de vitesses relativistes avec le quadrivecteur vitesse...

Merci encore !

Oui, en gros, c'est ça. L'expression s'évalue en « remplaçant » chaque composante par la composante appropriée mesurée dans le référentiel . Par exemple, où les sont composantes de la vitesse de l'objet d'intérêt mesurée par le référentiel R. En raison de la dilatation du temps, . Dans le référentiel , si l'objet d'intérêt a une vitesse , alors .

Si est la vitesse relative de à , alors les deux systèmes de coordonnées inertiels sont liés via la transformation de Lorentz et donc

.

Par exemple, si et si (c'est-à-dire si ), alors



d'où nous tirons , et donc . En réarrangeant les termes et en prenant le carré






D'où, en prenant la racine positive,

[freemp]

Waow...
franchement merci !!
Je pense avoir compris !

je m'étais emmêlé les pinceaux avec les 3 vitesses, mais en reprenant le calcul proprement ça tombe juste.

Bonne journée !

[azizovsky]

Salut , j'ai touvé une méthode simple pour avoir l'expression de la composition des vitesses en RR sans passer par la dérivation des TL :

(1)

(1') (R'par rapport R) :facteur de Lorentz

(2)

(2') (R"/R') et :facteur de Lorentz

on remplace (2)et (2') dans (1)









on montre qu'il existe un
d'où

avec

[azizovsky]

en effet, la composition de deux TL est une TL .(on sait qu'elles forment un groupe).

[Universus]

Salut , j'ai touvé une méthode simple pour avoir l'expression de la composition des vitesses en RR sans passer par la dérivation des TL :

[...]



on montre qu'il existe un
d'où

avec

[...]
en effet, la composition de deux TL est une TL .(on sait qu'elles forment un groupe).

On peut conclure votre raisonnement sans user du fait que les transformations de Lorentz forment un groupe : il suffit de montrer que le réel satisfaisant est ; cela n'a rien de bien difficile et correspond beaucoup à la fin de mon calcul.

Un avantage cependant de la démonstration via les quadrivecteurs est que nous n'utilisons que deux référentiels inertiels (et un troisième objet) et donc une seule transformation de Lorentz ; dans votre approche, il y a trois référentiels inertiels et donc trois transformations de Lorentz (l'une étant la composition des deux autres). Or, le troisième objet n'a pas à appartenir à un référentiel inertiel, bien que nous puissions toujours lui en associer un instantanément ; aussi, pour que vos calculs précis s'appliquent, il faudrait bien choisir les conditions initiales des trois repères. Au final, ça ne change rien, mais il y a de prime abord un peu plus de travail pour « mettre la table ».

[azizovsky]

Bonsoir, merci Universus pour les précisions, j'aime bien tes méthodes de traiter les sujets (soit math ou physique).

[freemp]

J'aurai en fait une dernière petite question :

Pour traiter la dynamique on a deux relations :

dP/dto = F*U

et l'équivalent du pfd :

dP/dt=F

Les deux sont vraiment équivalentes ?

Merci.

[Universus]

Bonsoir, merci Universus pour les précisions, j'aime bien tes méthodes de traiter les sujets (soit math ou physique).

Merci, c'est gentil ; je fais de mon mieux !

Pour traiter la dynamique on a deux relations :

dP/dto = F*U

et l'équivalent du pfd :

dP/dt=F

Les deux sont vraiment équivalentes ?

Je ne sais pas trop comment interpréter « équivalentes » ici.

La relation relativiste, ayant une composante temporelle, contient de prime abord plus que le principe fondamental de la dynamique : c'est lié à la puissance fournie lors de l'accélération d'une masse.

La prescription relativiste liant le quadrivecteur P à la masse d'une particule est celle ayant un sens identique pour tous les observateurs inertiels : il faut passer par les quadrivecteurs et écrire . En ce sens, cela imite bien ce qui se passe dans la relation classique. Si la masse est constante, alors on a où est la quadri-accélération : ses composantes spatiales, dans un système de coordonnées inertielles donné, correspondent à l'accélération spatiale que l'observateur mesure. En ce sens aussi, la relation relativiste implique aussi le fameux F=ma de Newton.

Ce qui change surtout, c'est ce qu'on doit entendre par « accélération constante ». En mécanique classique, il n'y a aucune borne supérieure sur la vitesse, de sorte qu'il est possible qu'une accélération spatiale soit constante pour des temps arbitrairement long. En physique relativiste, ce n'est plus le cas : un observateur qui mesurerait une accélération spatiale constante devrait résoudre la même équation du mouvement qu'en physique classique, dont la solution a une croissance linéaire de la vitesse, ce qui ne peut tenir éternellement considérant la vitesse limite c. Ainsi, en relativité restreinte, une accélération spatiale ne peut pas être constante arbitrairement longtemps. Par contre, la quadri-accélération peut en principe être constante pour l'éternité : contrairement à ce qu'on pourrait croire à première vue, cela n'implique pas une accélération spatiale constante.

La morale de cette histoire, c'est qu'en relativité, les relations profondes sont des relations spatio-temporelles faisant intervenir des choses comme les quadri-vecteurs (il pourrait aussi y avoir des objets plus simples ou plus compliqués, mais bon, ça doit rester défini sur l'espace-temps de manière invariante). Pour des objets se déplaçant à de petites vitesses devant c, cela donne en première approximation des résultats identiques à ceux de la mécanique classique, d'où une certaine équivalence entre les deux descriptions.