Differentes matrices de rotation ?

[invite9c7554e3]

Bonjour,

je suis en train de regarder quelque equations de mécanique et je voudrais faire une rotation d'une matrice.

Je me suis donc replonger dans les matrices de changement de base et j'ai trouvé deux démonstrations (cf. images ci dessous) :

Dans la première on exprime les vecteurs unitaires d'une base entre fonctions de ceux de l'autre base et on obtient:


Dans la seconde on exprime les composantes d'un point en fonction des composantes d'une autre point et on obtient:


Je comprends les deux démonstrations ci dessous mais et ça me perturbe pas mal car de mes souvenirs je pensais vraiment retomber sur les mêmes expressions D'ailleurs dans le cas 2 ça m'étonne de tomber là dessus.

= Sauriez vous m'expliquer "avec les mains" pourquoi cette différence ?

= et si je veux faire la rotation d'une matrice je dois donc utiliser l'expression 1 ou l'expression 2 ?


Démos:
matriceRotationVec.jpg
rotation.jpg
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[Paraboloide_Hyperbolique]

Bonsoir,

La différence entre ces deux rotations est uniquement dû au sens de rotation (si l'on compte les angles positivement suivant le sens horloger ou anti-horloger).

Prenez un repère orthonormé direct R(O; x, y, z) l'axe x pointant vers la droite et l'axe z pointant vers le haut.
Si vous appliquez R1 au vecteur (1, 0, 0) (correspondant à l'axe x) vous obtenez un nouveau vecteur qui aura subit une rotation d'angle dans le sens anti-horloger.
Si vous appliquez R2 à ce même vecteur, vous aurez un nouveau vecteur qui aura subit une rotation d'angle dans le sens horloger; c'est-à-dire d'angle dans le sens anti-horloger.

Je vous recommande de faire ce petit calcul accompagné d'un schéma pour vous en convaincre.
(Essayez également de changer le signe de l'angle dans R1 (resp. R2) et vous retomberez sur R2 (resp. R1)).

[invite9c7554e3]

merci beaucoup pour ta réponse, je vais méditer là dessus

Par contre, dans ce cas précis, la définition des angles est la même et le sens des vecteurs aussi donc lorsqu'on passe du repère initial au repere en rotation on devrait trouver la même chose pour cet exemple précis vu que toutes les définitions sont les mems dans les deux cas ?

[coussin]

C'est pas l'histoire de rotation active et passive ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitee0fcad7a]

Confusion habituelle, à laquelle tout le monde est exposé.

La première page est une égalité de vecteurs

La deuxième est une égalité de composantes.

Dernière remarque, il n'y a pas de transformation de "matrice" ici, ou en tout cas dans les images visibles (message d'erreur "Only futura-science ..."). Car cela existe aussi, example dans les similitudes de matrices

[invite9c7554e3]

Merci beaucoup pour vos intervensions

Confusion habituelle, à laquelle tout le monde est exposé.
La première page est une égalité de vecteurs
La deuxième est une égalité de composantes

Effectivement jamais remarqué ceci mais de mémoire il me semblait que dans un cas où dans l'autre on devait trouver le même résultat car le principe et le même et la rotation et définie dans le même sens...

En fait cette question est l'objet de mon message sur futura mais je l'ai peut être mal exposée. Ce que je cherche à savoir et pourquoi dans le cas d'un vecteur ou dans le cas de composantes se serait différents ?

Dernière remarque, il n'y a pas de transformation de "matrice" ici, ou en tout cas dans les images visibles (message d'erreur "Only futura-science ..."). Car cela existe aussi, example dans les similitudes de matrices

Oui ici il n'y a pas de matrice mais la question que je me pose est que si j'ai une matrice "A" dans le repère initiale et que je veux la transformée en une matrice "B" dans un repère tourné dois je utiliser :
?
ou
?

et avec quel R ?? celui déduis à partir du raisonnement sur les composantes ou celui sur les vecteurs de base ?

merci pour votre aide

[invitee0fcad7a]

Les matrices transforment toujours les composantes (d'un vecteur).


( Echauffement:
Un vecteur en dimension 3 peut écrire ou de façon équivalente


Une application linéaire (donnée par une matrice) peut se définir par son action sur n'importe quel vecteur:
ou par son action sur les vecteurs d'une base:

(mais on n'écrira pas , avec les bonnes expressions pour A,B, C, parce que c'est plus compliqué) )

Déja, on voit que les expressions des composantes A, B, C fonction de a,b,c (je te laisse le soin de les écrire) diffèrent des relations entre et


Dire maintenant qu'une application linéaire inversible est un changement de base signifie qu'un même vecteur peut se décomposer dans une première base mais aussi dans la deuxième, mais que c'est bien le même vecteur, i.e.:


Imposer cette égalité connaissant fonction de va permettre de déterminer P, Q, R, (qui diffèrent de A, B, C si les sont définis comme précédement. De souvenir, ça doit être la matrice inverse appliqué à a,b,c)

Ou si on connait d'avance P, Q, R combinaisons linéaires de a,b,c alors on peut déterminer


Je me rappelle qu'il y avait une convention bizarre sur la définition des matrices de passage . Mais supposons que chaque colonne de cette matrice correspond aux composantes d'un vecteur de la nouvelle base décomposée dans l'ancienne alors on a

ou A est la matrice dans la première base (ancienne), et N la matrice dans la nouvelle base.

(On a alors . Le fait que tu écrives transposée, n'est valable que pour les rotations pour lesquels la transposée est l'inverse)

[invitee0fcad7a]

Bon, il semble que je me soit fait avoir sur le changement de base pour les matrices.

Je recommence: a pour colonne les vecteurs de la nouvelle base exprimée en fonction de l'ancienne. On a


Il faut tester par example sur le vecteur colonne (1, 0, 0, 0), ça va donner la première colonne de P, et ça va marcher

[coussin]

Comme moyen mnémotechnique, il y a la diagonalisation d'une matrice M. On a M=PDP^-1, dans cet ordre.

[stefjm]

Comme moyen mnémotechnique, il y a la diagonalisation d'une matrice M. On a M=PDP^-1, dans cet ordre.

MP=PD (désolé... je sors)