Deux ressorts couplés et une masse

[invitec0d40905]

Bonjour,

J'essaie de résoudre un exercice sur les oscillateurs couplés mais j'ai un peu de mal.

Une masse M est reliée à deux points A et B par deux ressorts verticaux R1 et R2, de raideurs respectives k₁ et k₂. Les deux ressorts ont la même longueur à vide l₀.

On néglige les frottements.

a) Bilan des forces

a) Établir le bilan des forces.
b) Déterminer la position d'équilibre z_éq.
c) Établir l'équation différentielle du mouvement. Le mouvement est-il harmonique ?

ΣF = P + Fr₁ + Fr₂ = mg - k₁(z₁-l₀) + k₂(z₂-l₀)

P représente le poids, Fr1 la force de rappel du ressort 1 et Fr2 celle du ressort 2.

b) Déterminer la position d'équilibre z_éq.
À l'équilibre, la somme des forces est nulle.
ΣF = 0

On a donc :

mg -k₁(z_1éq-l₀) + k₂(z_2éq-l₀) = 0

Je sais que k/m = ω₀. Là où je bloque, c'est pour trouver z_éq. J'ai l'impression que mon calcul va me donner une valeur z_1éq et une valeur z_2éq.
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[phys4]

Bonjour,

Il manque une donnée pour résoudre cela :
Définir une origine et une distance AB ?

Cela permettra d'écrire la dépendance entre Z1 et Z2, et éviter d'avoir deux variables.

[invitec0d40905]

On définit un axe Oz dont l'origine est au point A. La distance AB vaut L, avec L > 2l₀.

[phys4]

Comment avance ce problème ?
Je suppose l'axe Oz dirigé vers le haut, donc R1 est en bas et R2 en haut.
Distance AM = z allongement de R1 = z - l₀
Distance BM = L - z allongement de R2 = L - z - l₀

Si je fais la somme des forces dirigées vers z positif :
T = k₂*(L - z - l₀) - k₁*(z - l₀) - mg

La position d'équilibre z₀ s'obtient en résolvant l'équation linéaire T = 0
L'équation dynamique provient de

en utilisant z₀, vous devez obtenir une équation très simple.

[A voir en vidéo sur Futura]