Exercice : masse entre deux ressorts

[invite1d872511]

Bonjour,

Je suis donc en train d'essayer de résoudre un exercice de type oscillation d'une masse entre deux ressorts, or, cela fait des années que je n'ai pas fait ça et je bloque sur quelques points.
Enoncé :
Bille de masse m enfilée sur une tige de longueur l.
Bille reliée à deux ressorts de raideurs et longueurs au repos respectives k1 et k2 et l10 et l20.
Lorsque le système est à l'équilibre, l1e et l2e sont les longueurs respectives des deux ressorts.

1)Déterminer l1e et l2e :
J'utilise le fait que la somme des forces est nulle à l'équilibre et trouve donc -k1*(l10-l1e)+k2*(l20-l2e)=0
J'utilise d'abord l1e=l-l2e pour trouver l2e puis l2e=l-l1e pour trouver l1e. Je trouve donc :
l1e=(k1*l10-k2*l20+k2*l)/(k1+k2) et l2e=(-k1*l10+k2*l20+k1*l)/(k1+k2)

2) A t=0 on écarte la bille de sa position d'équilibre et on la lâche sans vitesse initiale. Trouver l'équation différentielle satisfaite par x(t).
La bille étant sur une tige et négligeant tout frottement, on pose les forces sur l'axe Ox :
m*a=-k1*x+k2*x => x''+x*(k1-k2)/m=0 => x''+x*k/m=0 si on pose k1-k2=k.
Je ne crois pas m'être trompé jusque là. Mon soucis est pour la suite, pour trouver x(t)

3)Le discriminant de l'équation est d=(k/m)^2 et est strictement supérieur à 0. On a donc une solution de la forme :
x(t) = A1*exp(a1*t)+A2*exp(a2*t).
Je trouve a1=-k/m et a2=0 soit :
x(t) = A1*exp(-kt/m)+A2
Mon soucis est que de mémoire (et logiquement), on devrait trouver un cosinus ou un sinus or, pas de "i" dans l'exponentielle. Est-ce que quelqu'un verrait mon erreur?

Bonne soirée et merci d'avance.
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[invite1d872511]

Bon j'ai un peu avancé. Le discriminant était en fait -4*k/m et pas (k/m)^2 cependant, il n'est pas nécessairement négatif, cela dépend des valeur de k1 et k2. Du coup, pour certaines valeurs de k1 et k2, il est donc positif et je bloque.

[invite15928b85]

Bonsoir.

Vous avez un problème au niveau d'équation différentielle : m*a=-k1*x+k2*x.

Vous devez avoir : m*a=- k1*x - k2*x ; les deux ressorts sont équivalent à un seul dont la raideur serait k1 + k2.

@+

[invite1d872511]

Merci, j'avais mis le "-" pour prendre en compte le fait que la tension de k1 était dans le sens inverse de celle de k2. Pourquoi est-ce faux?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite15928b85]

Re.

Pour un écart x donné, l'un des ressort est comprimé alors que l'autre est dilaté. L'un et l'autre exerce une force de rappel sur la masse et ces deux forces de rappel sont orientées dans le même sens. Elles tendent toutes les deux à ramener la masse vers sa position de repos. Elles ont donc la forme F = - k x.

Cordialement.

[albanxiii]

Bonjour,

Pour ne pas se tromper, on peut revenir à la définition : F = -k (l-l0).

[invite1d872511]

Bonsoir.

Vous avez un problème au niveau d'équation différentielle : m*a=-k1*x+k2*x.

Vous devez avoir : m*a=- k1*x - k2*x ; les deux ressorts sont équivalent à un seul dont la raideur serait k1 + k2.

@+

Bonjour, je suis désolé mais j'ai du mal à comprendre là.
k1 et k2 sont des constantes de raideur positives.
A l'équilibre, on a T1 + T2 = 0 avec T1 et T2 les forces exercées respectivement par les ressorts 1 et 2. Donc à ce moment, T2=-T1.
Toujours à l'équilibre, les ressorts ont bougé de +-x par rapport à leur positions naturelles. On a donc k1*x - k2*x=0 ou ou -k1*x +k2*x=0 selon comment on prend l'axe. Donc on a x*(k1-k2)=0.
Du coup, en dehors de la position d'équilibre on a pour moi x2*(k1-k2)=m*a. Je ne comprends donc pas comment vous arrivez à votre expression.

[invite15928b85]

Bonsoir.

x étant la déviation par rapport à la position d'équilibre, on peut écrire x = l1-l1e = -(l2-l2e) avec l'orientation d'axe idoine.
L'équation différentielle du mouvement est alors : m x'' = -k1(l1-l1e) +k2(l2-l2e) = -(k1+k2) x

Cordialement.

[invite1d872511]

Merci bien, j'ai compris.