Bonjour,
Je me pose en ce moment une question de physique théorique. J'ai une idée du résultat, mais je ne connais pas assez bien les outils pour la résoudre complétement.

Le problème:

SU(2) agit sur sa représentation irréductible de dimension N+1 (Je la note V), donc peut être considéré comme un sous groupe de SU(N+1).
Je m’intéresse aux classes à droite de l'action de SU(2) sur SU(N+1), ie à tous les ensembles U*SU(2) possibles, pour U dans SU(N+1).
Par exemple, j'aimerai bien trouvé un représentant de chaque classe.

J'ai l'impression qu'il y a (N+1)!/2 telles classes: en tout cas, il y en a au moins ce nombre.

En effet:

Si on prend pour base de V une base de Dicke (je vais très vite, mais je peux mieux expliquer ce que c'est!):
Avec mes notations de physicien, c'est |0>, |1>, ..., |N> ou |m> a un spin m selon dans la direction z (ie Sz |m> = m|m>: souvent la convention est d'aller de -N/2 à N/2 mais ici je vais de 0 a N).

On peut, pour chaque permutation p à N+1 éléments, définir la matrice de SU(N+1) qui transforme la base |0>, |1>, ..., |N> en la base |p(0)>, |p(1)>, ..., |p(N)>.

Alors seul 2 permutations sont dans SU(2): c'est la permutation identité et la permutation 0<->N, 1<->N-1, 2<->N-2, ...
(ça se fait bien)

Et à ces deux permutations près, toutes les permutations donnent des classes différentes.


Mon problème est de montrer qu'il n'y a pas d'autre classe.


Je ne sais pas trop comment faire ceci: est ce que la mesure de Haar permet de faire ce genre de chose? Je sais juste qu'elle existe, mais je n'ai vraiment jamais fait ce genre de chose...
Par exemple, est ce que vouloir démontrer que la mesure de Haar de SU(2) est 2/(N+1)! a un sens?
 (en prenant la mesure de Haar de SU(N+1))) Je verrais bien un argument comme ça... Mais je ne sais pas faire ce genre de choses.


Bon, je suis allé relativement rapidement n'étant pas sur que ça intéresse quelqu'un. Mais je peux être bcp plus précis!