L'état fondamental pour une particule dans une boîte.

[khoder_mazen]

Bonjour
Quelle est la probabilité de trouver une particule (dans une boîte ou puits de potentiel carré) dans l'état fondamental ?
Merci .
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[gemozor]

Pour répondre à cette question, je pense qu'il manque beaucoup de données... Quel est l'état initial de t'as particule ? supposes tu que dans la boîte il n'y a pas de perturbation extérieure ?

Mais on peut déjà dire par exemple qu'un atome en absence de perturbation sera dans l'état fondamental (état de plus basse énergie), la probabilité de le trouver dans l'état fondamental sera donc de 1.

Par contre, par exemple si tu prends une particule qui peut être dans 2 états différents et que tu induits un couplage entre ces deux états, la probabilité de la particule va osciller entre ces deux états : ce sont les oscillations de Rabi.

[khoder_mazen]

Merci Gemozor
Mais si on a dans une etat excité nous avons une certain chance de revenir a l'etats fondamental , en sommation on a une probabilité d'etre dans l'etat fondamental, n'est ce pas ?

[Deedee81]

Salut,

Mais si on a dans une etat excité nous avons une certain chance de revenir a l'etats fondamental , en sommation on a une probabilité d'etre dans l'etat fondamental, n'est ce pas ?

Tu as deux cas.

Soit tu considères l'amplitude de chaque état, disons qu'il est dans l'état normalisé a|0>+b|1> (0 et 1 étant les niveaux). La probabilité de trouver la particule dans l'état 0 est donc |a|².
Je ne sais pas si c'est ça que tu cherches, ce n'est pas clair.

L'autre possibilité, c'est une particule dans un état excité (à 100%, b = 1) et il a une certaine probabilité de retomber dans l'état fondamental au bout du temps T. Là, c'est singulièrement plus complexe. Il faut décrire le couplage au champ électromagnétique et les calculs sont assez complexes (on en a une description plutôt bonne dans le livre de Schift Quantum Mechanics dans le cas de l'atome d'hydrogène, mais il suffit de remplacer les fonctions d'onde par celle du puits carré).

[A voir en vidéo sur Futura]

[khoder_mazen]

Mercie Deedee81 ,
Il n'y a pas de champ électromagnétique, l'energie est E(n) = (n^2)*E1 ,
alors si on fait une mesure de l'energie la reponse est : E1 ou 4*E1 ou 9*E1 , ...
Alors quelle est La probabilité de trouver la particule avec l'energie E1 ?

[gemozor]

Alors si c'est un exercice il faudrait que tu mettes l'énoncé en entier car répondre à la question sans l'énoncé c'est un peu compliqué....

[lucas.gautheron]

Une particule dans un puit de potentiel carré signifie simplement que la particule est soumise à un potentiellement de la forme :

pour et pour

Une particule dans une boite est une particule dans un potentiel carré tel que .

Pour trouver les états propres il suffit de résoudre l'équation de schrodinger (instationnaire d'abord) :



Donc pour :



et pour ,

Donc les solutions vérifient dans le puit pour E > 0 et :



Pour à l'extérieur.

Si : pour x < -l/2

Pour terminer, il faudrait, par continuité en , trouver les relations entre les différentes constantes et on aurait vraiment la réponse.
Mais ça m'emmerde de le faire dans le cas général.

Si , en revanche, il est clair que en dehors du puit. (dans l'équation c'est évident et dans la solution aussi - on trouve )

Bien. Maintenant, on peut imposer la continuité :


En ajoutant ou soustrayant ces deux équations on voit que l'un des membres doit toujours être nul. Soit A = 0 et alors le sin est nul et donc :

(n entier relatif non nul)

Ou bien B = 0 et :
(n entier relatif)

puisqu'on ne peut avoir A et B simutanément nul, les solutions sont donc de la forme :


et pour n entier naturel et dans chaque cas.

Conclusion

une particule dans une boite c'est tout bête, comme son nom l'indique, cest une particule coincé dans une certaine zone de l'espace (amplitude de présence nulle partout ailleurs). Cela correspond en fait à une particule d'énergie E très inférieure au potentiel en dehors de la boite.
Les états propres sont quantifiés et d'énergie proportionnelle au carré du nombre quantique n. l'état fondamental cest n = 1, qui correspond à un maximum de probabilité de présence au milieu de la boite, et seulement deux minimum aux bords.

A+

[khoder_mazen]

Mercie beaucoup lucas.gautheron et gemozor
Mon question n'est pas "densité de probabilité de position" mais "densité de probabilité de l'énergie" pour une particule dans une boite , spécifiquement la probabilité de trouver la particule dans l'état fondamental ?

[Deedee81]

Salut,

alors si on fait une mesure de l'energie la reponse est : E1 ou 4*E1 ou 9*E1 , ...
Alors quelle est La probabilité de trouver la particule avec l'energie E1 ?

Les données sont insuffisantes pour le dire. L'énoncé est vraiment complet ???

[lucas.gautheron]

J'ai l'impression que la question est, en supposant qu'on remplisse la boite avec des particules, quelle est leur distribution thermique.

C'est une question intéressante, parce qu'elle mène tout droit à la courbe de rayonnement du corps noir.

Donc je devine qu'il s'agit de trouver, à l'équilibre thermique, la probabilité pour une particule d'être dans un éta tdonné (ici le fondamental)
A+

[khoder_mazen]

Merci lucas.gautheron
S'il vous plaît continuer .

[azizovsky]

une particule dans une boite c'est tout bête, comme son nom l'indique, cest une particule coincé dans une certaine zone de l'espace (amplitude de présence nulle partout ailleurs). Cela correspond en fait à une particule d'énergie E très inférieure au potentiel en dehors de la boite.
Les états propres sont quantifiés et d'énergie proportionnelle au carré du nombre quantique n. l'état fondamental cest n = 1, qui correspond à un maximum de probabilité de présence au milieu de la boite, et seulement deux minimum aux bords.

A+

il y' a une probabilité non nulle de trouver la particule à l'extérieure d'un puits (boite) de potentiel (effet tunnel).

[lucas.gautheron]

Merci bien, je connais l'effet tunnel.
Mais une boite c'est une boite : un puit de potentiel INFINI.
Et pour un puit de potentiel INFINI (idéalisation), l'amplitude est nulle à l'extérieur.

Je bien montré d'ailleurs dans mon post que pour un potentiel fini, les solutions à l'extérieur étaient des ondes évanescentes ou non.

A+

[gatsu]

J'ai l'impression que la question est, en supposant qu'on remplisse la boite avec des particules, quelle est leur distribution thermique.

C'est une question intéressante, parce qu'elle mène tout droit à la courbe de rayonnement du corps noir.

Donc je devine qu'il s'agit de trouver, à l'équilibre thermique, la probabilité pour une particule d'être dans un éta tdonné (ici le fondamental)
A+

Certes, mais il faudrait deja savoir si ce sont des fermions ou des bosons, le résultat n'est carrément pas le meme, le fait que ce soit un système thermique n'est pas mentionne.

Bref, comme tout le monde l'a deja dit il manque des choses .

Une autre possibilité beaucoup plus simple est de commencer dans un état initial Co|Eo> + C1|E1> qui n'est pas un état stationnaire et va fluctuer entre l'état fondamental et l'état excite.

[khoder_mazen]

Merci beaucoup à tous .