Hamiltonien S.P

invited9422e7e · 21/07/2015, 11h46

Bonjour,

avez-vous déjà vu ce genre de Hamiltonien $H=v\overrightarrow{\sigma}\cdo\overrightarrow{p}$ ?

On applique un champ B, ce qui donnerait $H=v\overrightarrow{\sigma}\cdo(\overrightarrow{p}- q\overrightarrow{A})$ et on me demande de trouver les valeurs propres. Le problème c'est que je n'arrive même pas à construire les vecteurs propres. J'ai cherché sur le net et j'ai vu que ce Hamiltonien ressemblait un peu à l'équation de Dirac.

Auriez-vous une idée pour démarrer le problème ?

Je vous remercie.

invited9b9018b · 21/07/2015, 13h22

Bonjour,

Que sont v et sigma ? Un peu de contexte SVP ?

Merci

invited9422e7e · 21/07/2015, 14h01

$v$ est homogène à une vitesse et $\overrightarrow{\sigma}$ sont les matrices de Pauli.

invited9b9018b · 21/07/2015, 14h28

Bonjour,

Dans ce cas, une première étape serait déjà d'écrire l'équation qu'il faut résoudre $H \psi = E \psi$ avec $\psi = (\psi_+, \psi_-)$ (amplitudes des spins)

ça devrait ressembler un peu à l'équation de pauli

A+

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invited9422e7e · 21/07/2015, 14h47

Merci.
Le problème est que l'équation de Pauli comporte le terme $[\overrightarrow{\sigma}\cdo( \overrightarrow{p}-q\overrightarrow{A})]^{2}$
Dans mon hamiltonien, la constante $v$ apparaît et le carré disparaît.

Voulez-vous dire que ma fonction d'onde est de la forme $\psi(\overrightarrow{r})\phi_{\pm}$ où $( \overrightarrow{p}-q\overrightarrow{A})\psi= E \psi$
et $\phi_{\pm}$ la fonction d'onde associée à l'observable spin ?

invited9b9018b · 21/07/2015, 14h58

Envoyé par pianno

Merci.
Le problème est que l'équation de Pauli comporte le terme $[\overrightarrow{\sigma}\cdo( \overrightarrow{p}-q\overrightarrow{A})]^{2}$
Dans mon hamiltonien, la constante $v$ apparaît et le carré disparaît.

Oui, d'où le "un peu". On dirait une équation de pauli qu'on aurait linéarisée autour d'une certaine impulsion p = mv (en gros)

Envoyé par pianno

Voulez-vous dire que ma fonction d'onde est de la forme $\psi(\overrightarrow{r})\phi_{\pm}$ où $( \overrightarrow{p}-q\overrightarrow{A})\psi= E \psi$
et $\phi_{\pm}$ la fonction d'onde associée à l'observable spin ?

Je veux tout simplement dire que puisque $\vec{\sigma} \cdot \vec{p}$ est une matrice 2x2 elle doit agir sur un vecteur à deux composantes. Sachant ceci vous pouvez écrire H psi = E psi en écrivant psi comme un vecteur de deux composantes qui sont des fonctions de $\mathbb{R}^3$

A+

azizovsky · 21/07/2015, 15h04

Salut, tu peux l'écrire: $\frac{p}{m}\vec{\sigma}.\vec{p}=\frac{1}{m}(\vec{\sigma}. \vec{p})^{2}$ ? càd $\frac{1}{m}[\vec{\sigma}. (\vec{p}-q\vec{A})]^{2}$

invited9422e7e · 21/07/2015, 15h46

@azizosvky, pouvez-vous me donner quelques détails du calcul? j'ai vérifié l'égalité mais je n'ai pas réussi à la retrouver.

Merci

invited9b9018b · 21/07/2015, 15h52

Si v est bien une constante il n'y aucun rapport a priori avec l'opérateur $\vec{p}$
Avez vous fait ce que j'ai dit, à savoir expliciter les équations auxquelles obéissent les deux composantes $\psi_+$ et $\psi_-$ en fonction des composantes de $\vec{p}$ ? J'ai commencé rapidement de mon côté et je trouve des choses intéressantes en manipulant les équations obtenues..

A+

invited9422e7e · 21/07/2015, 16h04

Oui, j'obtient deux équa diff du premier ordre couplées entre elles. Un truc semblable à ce qu'on obtient dans des exos de première année pour le mouvement d'une particule dans un champ magnétique statique. En fait, ce qu'il me faudrait ce sont les valeurs propres du système.

Ce qui m'a réellement embrouillé, c'est la gueule de l'hamiltonien, avec le v qui est constant alors que ce n'est pas le cas d'habitude. Peut-être quand posant le Hamiltonien de cette façon, on met en évidence que la vitesse est constante et que le vecteur vitesse varie...

invited9b9018b · 21/07/2015, 16h06

Envoyé par pianno

Oui, j'obtient deux équa diff du premier ordre couplées entre elles. Un truc semblable à ce qu'on obtient dans des exos de première année pour le mouvement d'une particule dans un champ magnétique statique. En fait, ce qu'il me faudrait ce sont les valeurs propres du système.

Bah pour ça faut le travailler un peu le systeme

A+

azizovsky · 21/07/2015, 16h53

Envoyé par lucas.gautheron

Si v est bien une constante il n'y aucun rapport a priori avec l'opérateur $\vec{p}$

on traite le problème classiquement, $H=v.p=\frac{p^{2}}{m}=2E_{c}$ avec les régles de quantification $\widehat{H}=\frac{\widehat{P}^{2}}{m}=\frac{\vec{\nabla}\,^{2}}{m}=\frac{(\vec{\sigma} \circ \vec{\nabla})\,^{2}}{m}$ , si v n'est pas une vitesse, c'est autre chose.
,

invited9b9018b · 21/07/2015, 17h25

Ah, moi on m'a dit que v était une constante. Je suis bien d'accord, le terme cinétique devrait être $p^2/2m$ , c'est pour ça que j'ai demandé un peu de contexte

A+

invited9422e7e · 21/07/2015, 18h54

v est homogène à une vitesse mais on est pas censé le savoir. C'est juste une constante. Le hamiltonien libre est
$H=v(\sigma_{x}p_{x}+ \sigma_{y}p_{y})$
On lui applique un champ magnétique constant selon z. Nous avons alors
$H=v\{\sigma_{x}(p_{x}-\frac{q}{c}A_{x})+ \sigma_{y}(p_{y}-\frac{q}{c}A_{y})\}$
Sachant que B est constant, nous avons
$\overrightarrow{A}=\frac{1}{2}\overrightarrow{B}\times \overrightarrow{r}$
J'obtiens donc
$H=v\{\sigma_{x}(p_{x}+\frac{qB}{2c}y)+ \sigma_{y}(p_{y}-\frac{qB}{2c}x)\}$

@lucas: le couple d'équa diff que j'obtient est dégueulasse. Impossible donc de trouver les énergies propres en posant
$H\begin{pmatrix} \psi_{+} \\ \psi_{-} \end{pmatrix}= E \begin{pmatrix} \psi_{+} \\ \psi_{-} \end{pmatrix}$

invited9b9018b · 21/07/2015, 19h17

Si vous donnez les infos au compte goutte c'est un peu pénible... Mais en même temps ça me conforte dans ma méthode
j'ai d'abord fait les calculs sans potentiel A et c'est très simple. Et je l'ai fait dans le cas général, pas dans le plan (xy)

A+

invited9422e7e · 21/07/2015, 19h37

Dans ma question initiale je voulais seulement savoir si quelqu'un avez vu un hamiltonien de ce genre $v\overrightarrow_{\sigma}\cdo \overrightarrow{p}$ .
J'aurais très bien pu demander si quelqu'un a déjà un hamiltonien du type $\overrightarrow{S}\cdo \overrightarrow_{p}$ , ça vient exactement au même. Mais la discussion s'est approfondie au fur et à mesure.

On peut aussi tenter d'exprimer autrement le Hamiltonien $H$ , celui dont j'ai écrit dans mon dernier message. Par exemple, on obtient facilement
$H= v(\sigma_{x}p_{x}+ \sigma_{y}p_{y}) + \frac{vqB}{2c}(\sigma_{x}y - \sigma_{y}x)$

On a donc le hamiltonien libre, tout simple à étudier et un autre terme. Si ce terme pouvait commuter avec le hamiltonien libre alors ce serait parfait. C'est pourquoi j'ai vérifié si ce terme était un moment cinétique (sa forme le suggèrent). On connaît les énergies propres des opérateurs de moment cinétique. Mais j'ai vérifié les relations de commutations et la réponse est négative.

Mais j'ai pas envie de vous prendre la tête avec tout ça. Si vous avez jamais vu ce genre de Hamiltonien et si vous n'avez de recettes toute prête, ne cherchez pas à résoudre le problème.

azizovsky · 21/07/2015, 21h05

Bonsoir, il y'a plus simple, tu 'as $H\psi=E\psi$ , si tu'applique deux fois $H$ à $\psi$ , tu'aura : $v^{2} .(\vec{p}-e\vec{A})^{2}$ . (car $\vec{\sigma}\,^{2}=1$

invited9422e7e · 21/07/2015, 22h03

Merci beaucoup azizovsky. J'aurai jamais trouvé cette astuce. Ensuite, on tombe sur un problème d'oscillateur harmonique en trois dimensions.
Merci encore.

invitec998f71d · 21/07/2015, 23h01

Un spin classique est un vecteur S auquel est associé un moment magnétique mu = mu S
L'energie d'un tel spin dans un champ magnétique B est - mu.B = - mu S.B.
Voir
https://fr.wikipedia.org/wiki/Interaction_spin-orbite

invited9422e7e · 21/07/2015, 23h06

Salut,

dans ce hamiltonien, on a l'impulsion et non le champ magnétique. Dans le cas, $-\mu\cdo B$ , le traitement est très simple car seul interviennent les deux états de spin. Dans mon cas, le traitement est plus compliqué.

azizovsky · 22/07/2015, 11h48

Bonjour, j'étais entrain d'essayer de comprendre un truc, j'ai trouvé ton hamiltonien, il est utilisé pour le graphène, une simplification de : $H_{q}=v_{F} \alpha.q$ , voir :https://www.equipes.lps.u-psud.fr/GO...hanENS1110.pdf

invited9422e7e · 22/07/2015, 11h59

Salut,
C'est intéressant. J'ai trouvé que les énergies était proportionnelles à $\sqrt{n+\frac{1}{2}}$ , avec n un entier qui détermine les niveaux.
En fait, mon Hamiltonien ressemble plus à l'équation de Dirac. Mais je n'ai jamais étudié l'équation de Dirac.

Merci.

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