Hamiltonien S.P

[invited9422e7e]

Bonjour,

avez-vous déjà vu ce genre de Hamiltonien ?

On applique un champ B, ce qui donnerait et on me demande de trouver les valeurs propres. Le problème c'est que je n'arrive même pas à construire les vecteurs propres. J'ai cherché sur le net et j'ai vu que ce Hamiltonien ressemblait un peu à l'équation de Dirac.

Auriez-vous une idée pour démarrer le problème ?

Je vous remercie.
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[invited9b9018b]

Bonjour,

Que sont v et sigma ? Un peu de contexte SVP ?

Merci

[invited9422e7e]

est homogène à une vitesse et sont les matrices de Pauli.

[invited9b9018b]

Bonjour,

Dans ce cas, une première étape serait déjà d'écrire l'équation qu'il faut résoudre avec (amplitudes des spins)

ça devrait ressembler un peu à l'équation de pauli

A+

[A voir en vidéo sur Futura]

[invited9422e7e]

Merci.
Le problème est que l'équation de Pauli comporte le terme
Dans mon hamiltonien, la constante apparaît et le carré disparaît.

Voulez-vous dire que ma fonction d'onde est de la forme où
et la fonction d'onde associée à l'observable spin ?

[invited9b9018b]

Merci.
Le problème est que l'équation de Pauli comporte le terme
Dans mon hamiltonien, la constante apparaît et le carré disparaît.

Oui, d'où le "un peu". On dirait une équation de pauli qu'on aurait linéarisée autour d'une certaine impulsion p = mv (en gros)

Voulez-vous dire que ma fonction d'onde est de la forme où
et la fonction d'onde associée à l'observable spin ?

Je veux tout simplement dire que puisque est une matrice 2x2 elle doit agir sur un vecteur à deux composantes. Sachant ceci vous pouvez écrire H psi = E psi en écrivant psi comme un vecteur de deux composantes qui sont des fonctions de

A+

[azizovsky]

Salut, tu peux l'écrire: ? càd

[invited9422e7e]

@azizosvky, pouvez-vous me donner quelques détails du calcul? j'ai vérifié l'égalité mais je n'ai pas réussi à la retrouver.

Merci

[invited9b9018b]

Si v est bien une constante il n'y aucun rapport a priori avec l'opérateur
Avez vous fait ce que j'ai dit, à savoir expliciter les équations auxquelles obéissent les deux composantes et en fonction des composantes de ? J'ai commencé rapidement de mon côté et je trouve des choses intéressantes en manipulant les équations obtenues..

A+

[invited9422e7e]

Oui, j'obtient deux équa diff du premier ordre couplées entre elles. Un truc semblable à ce qu'on obtient dans des exos de première année pour le mouvement d'une particule dans un champ magnétique statique. En fait, ce qu'il me faudrait ce sont les valeurs propres du système.

Ce qui m'a réellement embrouillé, c'est la gueule de l'hamiltonien, avec le v qui est constant alors que ce n'est pas le cas d'habitude. Peut-être quand posant le Hamiltonien de cette façon, on met en évidence que la vitesse est constante et que le vecteur vitesse varie...

[invited9b9018b]

Oui, j'obtient deux équa diff du premier ordre couplées entre elles. Un truc semblable à ce qu'on obtient dans des exos de première année pour le mouvement d'une particule dans un champ magnétique statique. En fait, ce qu'il me faudrait ce sont les valeurs propres du système.

Bah pour ça faut le travailler un peu le systeme

A+

[azizovsky]

Si v est bien une constante il n'y aucun rapport a priori avec l'opérateur

on traite le problème classiquement, avec les régles de quantification , si v n'est pas une vitesse, c'est autre chose.
,

[invited9b9018b]

Ah, moi on m'a dit que v était une constante. Je suis bien d'accord, le terme cinétique devrait être , c'est pour ça que j'ai demandé un peu de contexte

A+

[invited9422e7e]

v est homogène à une vitesse mais on est pas censé le savoir. C'est juste une constante. Le hamiltonien libre est

On lui applique un champ magnétique constant selon z. Nous avons alors

Sachant que B est constant, nous avons

J'obtiens donc


@lucas: le couple d'équa diff que j'obtient est dégueulasse. Impossible donc de trouver les énergies propres en posant

[invited9b9018b]

Si vous donnez les infos au compte goutte c'est un peu pénible... Mais en même temps ça me conforte dans ma méthode
j'ai d'abord fait les calculs sans potentiel A et c'est très simple. Et je l'ai fait dans le cas général, pas dans le plan (xy)

A+

[invited9422e7e]

Dans ma question initiale je voulais seulement savoir si quelqu'un avez vu un hamiltonien de ce genre .
J'aurais très bien pu demander si quelqu'un a déjà un hamiltonien du type , ça vient exactement au même. Mais la discussion s'est approfondie au fur et à mesure.

On peut aussi tenter d'exprimer autrement le Hamiltonien , celui dont j'ai écrit dans mon dernier message. Par exemple, on obtient facilement


On a donc le hamiltonien libre, tout simple à étudier et un autre terme. Si ce terme pouvait commuter avec le hamiltonien libre alors ce serait parfait. C'est pourquoi j'ai vérifié si ce terme était un moment cinétique (sa forme le suggèrent). On connaît les énergies propres des opérateurs de moment cinétique. Mais j'ai vérifié les relations de commutations et la réponse est négative.

Mais j'ai pas envie de vous prendre la tête avec tout ça. Si vous avez jamais vu ce genre de Hamiltonien et si vous n'avez de recettes toute prête, ne cherchez pas à résoudre le problème.

[azizovsky]

Bonsoir, il y'a plus simple, tu 'as , si tu'applique deux fois à , tu'aura :. (car

[invited9422e7e]

Merci beaucoup azizovsky. J'aurai jamais trouvé cette astuce. Ensuite, on tombe sur un problème d'oscillateur harmonique en trois dimensions.
Merci encore.

[invitec998f71d]

Un spin classique est un vecteur S auquel est associé un moment magnétique mu = mu S
L'energie d'un tel spin dans un champ magnétique B est - mu.B = - mu S.B.
Voir
https://fr.wikipedia.org/wiki/Interaction_spin-orbite

[invited9422e7e]

Salut,

dans ce hamiltonien, on a l'impulsion et non le champ magnétique. Dans le cas, , le traitement est très simple car seul interviennent les deux états de spin. Dans mon cas, le traitement est plus compliqué.

[azizovsky]

Bonjour, j'étais entrain d'essayer de comprendre un truc, j'ai trouvé ton hamiltonien, il est utilisé pour le graphène, une simplification de :, voir :https://www.equipes.lps.u-psud.fr/GO...hanENS1110.pdf

[invited9422e7e]

Salut,
C'est intéressant. J'ai trouvé que les énergies était proportionnelles à , avec n un entier qui détermine les niveaux.
En fait, mon Hamiltonien ressemble plus à l'équation de Dirac. Mais je n'ai jamais étudié l'équation de Dirac.

Merci.